24正態(tài)分布答案

1、正態(tài)分布2. 4黃金鵬學(xué)生編者：方少芳審核：預(yù)習(xí)檢測(cè)1.如圖是當(dāng) 0取三個(gè)不同值 01, 02, 03 的三種正態(tài)曲線 N(0,。2)圖象，那么 01,02,。3的 大小關(guān)系如何？2. 正態(tài)分布的30?原則正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率P( i o<X<|i+o)=,P(H-2o<X< n+2o)=,P(H-3o<X< n+3o)=(2)3。原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(w。2)的隨機(jī)變量 X只取(U 3。，u+3。)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為 3。原則.正態(tài)總體幾乎取值于區(qū)間 3 3。，口 +3o )之內(nèi)，而在此區(qū) 間外 取值的概率只有 0.0

2、02 6,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生試一試：已知隨機(jī)變量X? N(0,l),你能求岀X在區(qū)間(一 3, +8)內(nèi)取值的概率嗎？隨堂練習(xí)1. 如圖所示，是一個(gè)正態(tài)曲線.試根據(jù)該圖象寫岀其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式 求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.2.設(shè) 4? Ml/),試求：(1)P( 1<03);(2)F(3攔 5);(3)F(O5).3. 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué) 生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格X? '(110,202),且知試卷滿分150分，這個(gè)班的 (即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).課后練習(xí)1 ('-1)21. 若則

3、下列正確的是()？A.C.無最大值，有最小值有最大，值、最小值B.有最大值，無最小值D.無最大值、最小值2. 設(shè)隨機(jī)變量 &? N(2,4),則 D( : S)=().1A. 1 B. 2 C. -. D. 423. 若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布N( ,b2),則關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述正確的是().A. 仃越大，曲線越“矮胖”，(T越小，曲線越“高瘦”B. 仃越小，曲線越“矮胖”，(T越大，曲線越“高瘦”C. 仃的大小，和曲線的“高瘦”、“矮胖”沒有關(guān)系D. 曲線的“高瘦”、“矮胖”受到的影響4.已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的N(110,25), 據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)C.(100,125

4、£ >.(105,115人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？(A(90,11(95,1250值的概率 ()A(2,4C.(-2,0D.(-4,43.(0,26. 若隨機(jī)變量 &服從正態(tài)分布點(diǎn) N(0,l) ，則 &在區(qū)間 ( -3,3上取值的概率等于 (7. 期望是 2,標(biāo)準(zhǔn)差為 J 勇的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是 .8. 若隨機(jī)變量X? Ng),則P(3 < X < 7)=.9. 若一個(gè)正態(tài)總體落在區(qū)間 (0.2,+8) 里的概率是 0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線 f (x)在. 時(shí)，達(dá)到最布的概率密度函數(shù)的解10. 若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且

5、該函數(shù)的最大值為南. 求該正態(tài)分11. 若 ? N(5,l), 求 P(5<<7).12. 工廠制造的某機(jī)械零件的尺寸 X 服從正態(tài)分布風(fēng) 4 ,別，問在一次正常的試驗(yàn)中，取000 個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間 (3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？0.2,13. 在一次測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布 N(2,形)0>0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為求 X 在(0,4)內(nèi)取值的概率；(2)P(X>4).14. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 500 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果 得如下圖頻率分布直方圖：(I) 求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值？和樣本

6、方差$2 (同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)；(II) 由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布 N( ，cr2),其中“近似為樣本平均數(shù) X, CT?近似為樣本方差尸.(i) 利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ii) 某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記 X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于間(187.8,212.2) 的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果，求政.附：JEUQ12.2若Z ? N貝ijPAjLi-a<Z< / +cr) = 0.6826P(/-2cr<Z< +2cr) = 0.9544隨堂練習(xí),所以1. 解 從

7、給岀的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱，最大值是20.*=夫，解得。=屯 271-(7 271于是概率密度函數(shù)的解析式是1(x20)2,加=云礦，xC(8, + °總體隨機(jī)變量的期望是=20,方差是<r = (V2) 2=2.2. 解.4? N(1,22), .?./ = 1,o =2,(1) P( 1<4W3)=F(1 2< 芹 1+2)=P(/z-(7<vfv+(7 ) =0.682 6(2) VP(3<f<5)=P(-3vfv-l),.?.P(3<vf5S5)=|F-3<|； 5S5)-A-l<<f<

8、3)=§ R1 -4<0+4)-也-2<0+2)=萬 只/1 一 2 C7< /Z + 2 一 P(JJ. C7<+ d)=1(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(3) FCN5)=P(<fW 3)= § 1 F 3<<fW5)=§ 1 -Rl-4< 奔 1+4)=§ 1 一印 z - 2 C7<+2 o)=1(1-0.954 4)=0.022 8.3. 規(guī)范解答/z = 110, (7=20, P(XN90)=P(X 110N 20)=F(X /zN cr),，/ P(X-fi &l

9、t;-<7)+P(-<7 WX / W b)+F(X / > <7)=2P(X- fi < b)+0.6826 = 1,.P(X 一 ?<一<7)=0.158 7, (3 分).?.P(XN90) =l P(X “ X<7) = 1 0.158 7=0.841 3.54X0.841 3A45(人)，即及格人數(shù)約為45人.(6分)，/ P(XN 130)= P(X 110 N 20)=F(X N ct),.P(X <7)+ P(/Z <7)+ P(Xf/ > <7)=0.682 6+2F(X /d)= 1.(9 分).?.P

10、(X Nb)=0.158 7.-.54X0,158 7A9(人)，即130分以上的人數(shù)約為9人.課后練習(xí)9. 0.24. C 5. C 6.Cy軸對(duì)稱，即=0.10. 解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于 由于盅=擊得"=4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是1_A'2,所。=祠五e(cuò)靈，* £ ( - 8 , + 8).11. 解I. ? N(5,l), . .?正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)為=5, b=l,因?yàn)樵撜龖B(tài)曲線關(guān)于 x=5對(duì)稱,.?.F(5< <7)= XF(3< <7)= §0.954 4 = 0

11、.477 2.12. fi? LX ? 乂 4,/./z=4, o-=|,.不屬于區(qū)間(3,5)的概率為F(X?S3)+F(XN5)=1 P(3<X<5)=1-P(4-1<X<4+1)=1=1 -0.997 4=0.002 65.003,Al 000X0.003=3(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè).1)由于X對(duì)稱軸工=二 冋出不童圖.VP(0<X<2)=P(2<X<4), .P(0<X<4) = 2F(0VXV2) = 2X0.2=04(2)P(X>4)=§ R0<X<4)=；(1

12、 一 0.4)=0.3.14.【答案】(I) 200,150 ； (II) (i) 0.6826 ； (ii) 68.26.【解析】試題分析：(I)由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差.若同一組 的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo).中位數(shù)為面積等分為上2的點(diǎn).均值為每個(gè)矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值.方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值.(II) (i)由已知得，ZN(200,150), 故 P(島 <H<) =P?) B - Z ? <+0 皴 5=； (ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì) 量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,0 的產(chǎn)品件數(shù) X B( 1 0 0,0 .(,故期望 政= 100x0.6826 = 68.26.試題分析：(I)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值X和樣本方差尸分別為200x0.33 + 210x0.24+220x0.08 +如=170 X 0.02 + 180X 0.09 + 190x0.22 +230 x 0.02 = 200,站=(-30) 2 x0.02+ ( 20 尸 x0.09 + (-10)0.020.22 + 0 x 0.33 + 10x 0.24 + 20x