中線倍長(zhǎng)法及截長(zhǎng)補(bǔ)短經(jīng)典講義

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案幾何證明中常用輔助線（一）中線倍長(zhǎng)法：例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。已知：如圖， ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，求證：AD <(AB+AC)小結(jié)：涉及三角形中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的辦法，即 中線倍長(zhǎng)法?？梢詫⒎志又芯€兩旁的兩條邊 AB、AC和兩個(gè)角/ BAD和/ CAD集中于同一個(gè) 三角形中，以利于問(wèn)題的獲解。例2、中線一倍輔助線作法A方式2:間接倍長(zhǎng)方式1:延長(zhǎng)AD到E,使 DE=AD , 連接BE方式3:僧CFLAD于F,N作BE LAD的延長(zhǎng)線于連接BE例3、AABC中，AB=5 , AC=3 ,求中線 AD的取值范圍例4、已知在

2、 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上， DE交 BC 于 F,且 DF=EF ,求證：BD=CE課堂練習(xí)： 已知CD=AB , / BDA= / BAD , AE是/ ABD的中線,求證：/ C=/BAE文檔大全作業(yè):1、在四邊形 ABCD中，AB/DC, E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段 AB與AF、2、已知：如圖，MBC 中，ZC=90 CMJ.AB 于 M, AT 平分工BAC 交CM于D,交BC于T,過(guò)D作DE/AB交BC于E,求證:CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且

3、BE=AC ,延長(zhǎng)BE交AC 于F,求證：AF=EF（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的 性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方法，在無(wú)法進(jìn)行直接證明的情形 下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請(qǐng)看幾例.例1.已知，如圖1-1 ,在四邊形 ABC麗，BO AB AD=DC BD平分/ ABC求證：/ BAD/BCB180 .分析：因?yàn)槠浇堑扔?80。，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過(guò)全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn).證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的

4、延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,彳DFL BC于點(diǎn)F,如圖1-2 BD¥分/ ABC D占DF在 RtAADEW RtACDF,；DE = DF、AD =CD RtAADE RDCDFHD，DAZ DCF又/ BAD/DAE=180 , . / BA。/ DCF=180 ,即/ BAB/BCR180 .例2. 如圖 2-1 , AD/ BG 點(diǎn) E在線段 AB上，/ ADE/CDE / DCEZ ECB 求證：CD=AHBC分析：結(jié)論是CDADfBC可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB只要再證DSDA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的 .證明：在CD

5、上截取CF=BC如圖2-2在 FCE BCE,CF =CB2FCE =/BCECE =CE .FCE BCE (SAS ,，/2=/1.又. AD/ BC /ADG/BCB180 , ./ DCEZ CDE90 , ，/2+/3=90° , / 1 + 74=90° ,3=/4.在 FDE AAD計(jì)，.FDE "ADE«DE =DE/3 =/4. .FD降 ADE(AS/A ,DF=DA. CD=DF+CF, . CDADBC例3.已知，如圖 3-1 , /1 = /2, P為 BN上一點(diǎn)，且 PDL BC于點(diǎn) D, ABBC=2BD求證：/ BAR/B

6、CR180 .分析：與例1相類似，證兩個(gè)角的和是 180。，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證 明/ BCR/EAP因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造E證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,如圖3-2. / 1=72,且 PDL BCPE=PQ在 RtA BPE與 RtA BPD43,PE = PDBP = BPRtABPE RtBPDH。，.BE=BD圖4-1. ABfBC=2BD . . ABB>DC：BaBE . . ABfDC=BE即 DGBEABAE在 RtAPE與 RtA CPD43,PE = PD %PEA "PDCAE = DCRtAAPERtA

7、CPI(SAS), / PAEZ PCD又 / BAF+Z PAE180 ,./ BAF+/BCR180例4.已知：如圖 4-1 ,在ABC43, Z C= 2/B, / 1 =求證：AB=AGCD分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CQ或在AB上截取AF=AC 證明：方法一（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至U E,使DGCE則/ CDE= / CED如圖 ./ ACB= 2/ E, / ACB= 2/ B,/ B= / E,在 ABDW AE計(jì),.1 -/2.B =/EAD =AD. .AB坐 AED（AAS ,，AB=AE又 AEAC+CEAGDC AB=AOD

8、C方法二（截長(zhǎng)法）在AB上截取 AF=AC如圖4-3在 AFD AC加,AF =AC«/1 =/2AD =ADAF單 ACDSAS , DF=DC / AF氏/ ACD 又. / ACB= 2/B, / FDB= / B, . FD=FB圖4-3 AB=AF+FB=A（+Fn，AB=AGCD上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中， 時(shí)常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn) 行分析。讓掌握學(xué)生掌握好“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”對(duì)于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。作業(yè)：1、已知：如圖， ABCDI正方形，/ FAD=/FAE求證：BBDF=AE2、五邊形 ABCD呼，AB=AE, BGDE=CD

9、/ ABG/AEB180 ,求證：AD平分/ CDE實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（三）其它幾種常見(jiàn)的形式:1、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例1、如圖1:已知 AD為 ABC的中線，且/ 1 = /2, /3=/4,求證：BE+ CF> EF.文檔大全C2、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 2: AD 為ABC勺中線，且 / 1 = /2, /3=/4,求證：BE+ CF> EF.練習(xí)：已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4,求證EF= 2AD3、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例

10、如：如圖6:已知AO BD, ADL AC于A , BCL BD于B,求證：AD= BC實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)求證/ A= / D.4、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖 7: AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD例如：如圖 8:在 RtzXABC中，AB= AC Z BAC= 90° , /1 = /2, CHBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD= 2CE.6、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9; AC BD相交于。點(diǎn)，且AB= DC AO BD8、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 10: AB=

11、DC /A= /D 求證：/ ABC= / DCB.截長(zhǎng)補(bǔ)短專題訓(xùn)練作業(yè)：1、如圖，等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC , E為AD中點(diǎn)，連接 BE, CE(1)求證：BE=CE;(2)若/ BEC=90 ,過(guò)點(diǎn)B作BFXCD,垂足為點(diǎn) F,交CE于點(diǎn) G,連接DG ,求證:BG=DG+CD .文檔大全C2.如圖，DaBCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE,F為CD邊上一點(diǎn)，且滿足/ DFA=2/BAE. (1)若/ D=105° , / DAF =35° ,求/ FAE 的度數(shù)； (2)求證：AF=CD+CF.3、如圖，直角梯形(1)若 AB=6cm ,(2

12、)若 E、F、G、ABCD 中，AD / BC, / B=90 °, / D=45sinZBCA=-，求梯形ABCD的面積；一 5H分別是梯形 ABCD的邊AB、BC、CD、/EFH=/FHG,求證：HD=BE+BF .4、如圖，梯形ABCD中，AD / BC,點(diǎn)E在BC上, 且AFXAB ,連接EF.(1)若 EFXAF , AF=4 , AB=6 ,求 AE 的長(zhǎng).(2)若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證： CE=BE-AD.DA上一點(diǎn)，且滿足 EF=GH ,5.在DABCD中，對(duì)角線 BD_LBC, G為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 AABG為等邊三角形,/BAD、/CBD的平分線相交于點(diǎn)(1)若口 ABCD的面積為9石,(2)求證：AE = BE GE.E ,連接AE交BD于F ,連接GE.求AG的長(zhǎng);6.已知：如圖，在矩形 ABCD中，AP I PC. PC 交 AD 于點(diǎn) N , (1)：若 AP =s/5, AB = 1BC 3DAC是對(duì)角線.點(diǎn)P為矩形外一點(diǎn)且滿足連接DP,過(guò)點(diǎn)P作PM _L PD交AD于M . R,求矩形ABCD的面積;(2)：若 CD = PM ,求證：AC = AP + PN .Af7、如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，連接 DP,過(guò)點(diǎn)B作BE_LDP交DP 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E