算術(shù)平方根(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

1、人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第六章第一節(jié)算術(shù)平方根贛州市贛縣石芫中學(xué)黃新杰人教版七（下）6.1平方根（第1課時(shí)）一一算術(shù)平方根教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)任務(wù)分析教 學(xué) 內(nèi) 容 解 析本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教版七年級(jí)（下）第六章實(shí)數(shù)的第一節(jié)平方根的第1課時(shí)，主要是“算術(shù)平方根”的概念和性質(zhì)的教學(xué)， 屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域.其 數(shù)學(xué)本質(zhì)是已知哥和乘方指數(shù) 2求正底數(shù)，即求正數(shù)乘方的逆運(yùn)算問(wèn)題.本節(jié)課是在七年級(jí)上冊(cè)學(xué)可了有理數(shù)的乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上安排的，是學(xué)習(xí)平方根、無(wú)理 數(shù)、實(shí)數(shù)、二次根式、一元二次方程以及解三角形等內(nèi)容的準(zhǔn)備知識(shí).由于實(shí)際計(jì)算中需要引入無(wú)理數(shù)，使數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，從而完成了初中

2、階段數(shù)的擴(kuò)展；運(yùn)算方面，在乘方的基礎(chǔ)上引入了開(kāi)方運(yùn)算，使代數(shù)運(yùn)算得以完善.因此，本節(jié)課是有助于了解平方根、開(kāi)方、n次方根的概念，為今后學(xué)習(xí)根式運(yùn)算、方程、函數(shù)等知識(shí)作鋪墊.同時(shí)也為學(xué)習(xí)有關(guān)的物理、化學(xué)公式的計(jì)算打卜扎實(shí)的基礎(chǔ).教 學(xué) 目 標(biāo)1 . 了解算術(shù)平方根的概念， 會(huì)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根， 能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示算術(shù)平方根， 了解算術(shù)平方根的性質(zhì)；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感2 .通過(guò)探究V2大小，培養(yǎng)學(xué)生估算意識(shí)，感知無(wú)限/、循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)，滲透“數(shù)形結(jié) 合”“夾逼法”等數(shù)學(xué)思想方法.3 .能運(yùn)用算術(shù)平方根的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系4 .在概念形成過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的來(lái)源

3、與發(fā)展，提高學(xué)生的思維能力；在合作交 流等活動(dòng)中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識(shí).激勵(lì)學(xué)生樹(shù)立遠(yuǎn)大理想，并為實(shí)現(xiàn)自己的理 想目標(biāo)而努力.重 點(diǎn)理解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì).難（1）理解算術(shù)平方根的意義；點(diǎn)（2）正確求出一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.學(xué) 情 分 析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)： 學(xué)生已學(xué)完有理數(shù)的乘方， 具備了乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)， 對(duì)哥中的底 數(shù)、指數(shù)等概念有了一定的了解；并且有計(jì)算正方形等幾何圖形面積的技能.這就是本節(jié)課 的教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，有助于本節(jié)學(xué)習(xí)活動(dòng)的進(jìn)行.學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：此階段的學(xué)生具有很強(qiáng)的好奇心、強(qiáng)烈的“自我”和自我發(fā)展的意識(shí)，因此對(duì)新鮮事物或新內(nèi)容特別感興趣，但缺乏學(xué)習(xí)的方法.在前面的學(xué)

4、習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具備了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流 的能力.教學(xué) 策略結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)與學(xué)生的知識(shí)能力基礎(chǔ)，擬米用探究法、類(lèi)比法、數(shù)形結(jié) 合法、夾逼法等方法進(jìn)行教學(xué) .分析、教學(xué)流程安排活動(dòng)流程圖內(nèi)容和目的活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課數(shù)學(xué)生活化，從生活中的實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，為形成算術(shù)平 方根概念做準(zhǔn)備.活動(dòng)二：知識(shí)類(lèi)比，形成概念從已有知識(shí)（二次哥運(yùn)算）入手，感知一個(gè)正數(shù) 的平方運(yùn)算與求算術(shù)平方根的互逆過(guò)程，類(lèi)比理 解概念.活動(dòng)三：理解概念，初步應(yīng)用通過(guò)文字語(yǔ)言敘述算術(shù)平方根的初步運(yùn)用，強(qiáng)化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷算

5、術(shù)平方根求解過(guò)程.活動(dòng)四：符號(hào)表達(dá)，感受簡(jiǎn)潔運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示算術(shù)平方根，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的 簡(jiǎn)潔美.活動(dòng)五：數(shù)形結(jié)合，感知估算數(shù)形結(jié)合，動(dòng)手操作，體驗(yàn)“夾逼法”，探究估算22的大小，感知無(wú)限/、循環(huán)小數(shù)的特征.活動(dòng)六：學(xué)以致用，強(qiáng)化新知生活數(shù)學(xué)化，學(xué)以致用，運(yùn)用算術(shù)平方根的知識(shí) 解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)概念與運(yùn)算的一致性 .活動(dòng)七：小結(jié)提升，合作交流小結(jié)反思，回顧所學(xué)的知識(shí)方法，形成體系，提 升學(xué)習(xí)方法與學(xué)生素養(yǎng).活動(dòng)八：分層作業(yè)，共同進(jìn)步關(guān)注差異，落實(shí)人文精神，使不同層次的學(xué)生都 能體會(huì)到學(xué)習(xí)的成功，獲得/、同的發(fā)展.三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)t青景，引入新課（1）同學(xué)們，在某

6、校舉行的以“中國(guó)夢(mèng)，我的夢(mèng)”為主題的繪回比賽中，歡歡同學(xué)準(zhǔn)備了一些止方形的回布，根據(jù)卜表止方形的邊長(zhǎng)，你能快速求出相應(yīng)止方形的面 積嗎？（2）填表：（表1）學(xué)生課前聆聽(tīng)歌曲 中國(guó)夢(mèng)我的夢(mèng)，欣 賞一組“中華民族復(fù)興” 的圖片.學(xué)生利用乘方的法 則進(jìn)行（表1） “已知 止方形邊長(zhǎng)求面積”運(yùn) 算；利用乘方的互逆運(yùn) 算進(jìn)行（表2） “已知正 方形的面積求邊長(zhǎng)”的 計(jì)算.創(chuàng)設(shè)中國(guó)夢(mèng)我 的夢(mèng)為主題的繪畫(huà) 活動(dòng)情景，切入課題.（表1）已知一個(gè) 正數(shù)，求這個(gè)正數(shù)的 二次哥；（表2）是已 知一個(gè)正數(shù)的二次 哥，求這個(gè)正數(shù)，即求 一個(gè)二次哥的正底 數(shù).止方形的邊長(zhǎng)/dm120.523止方形的面積/dm已知止方形的

7、邊長(zhǎng)，求面積 .（已知一個(gè)正數(shù)，求這個(gè)正數(shù)的二次哥.）問(wèn)題情境師生行為設(shè)計(jì)意圖（表2）本次活動(dòng)應(yīng)重點(diǎn)關(guān) 注：學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn) 兩道題的解答過(guò)程中對(duì) 乘方運(yùn)算及其互逆運(yùn)算 的感知.通過(guò)對(duì)比，讓學(xué) 生感知(表1)與(表2) 運(yùn)算的互逆過(guò)程，從 乘方入手，為形成“算 術(shù)平方根”的概念做 準(zhǔn)備.一 、一,，一 -2止刀形的面積/dm140.2549止方形的邊長(zhǎng)/dm(教師在學(xué)生完成的基礎(chǔ)上與學(xué)生共同總結(jié)：已知正方 形的面積求邊長(zhǎng)，實(shí)際上就是已知一個(gè)正數(shù)的二次哥， 求這個(gè)正數(shù)，即求一個(gè)二次哥的正底數(shù).)活動(dòng)2知識(shí)類(lèi)比，形成概念(1) 表1和表2中的兩種運(yùn)算有什么關(guān)系？ (互逆運(yùn)算)(2)如果表1中正方形

8、的邊長(zhǎng)用 x表示，面積用a表 示，可以得到x2 = a .在這個(gè)式子x2 =a中，a叫做x 的二次哥，正數(shù)x是二次哥運(yùn)算中的什么數(shù)？ (正底數(shù))正數(shù)x又叫做a的算術(shù)平方根.(3)歸結(jié)概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù) x的平方等于a ,即x2 = a ,那 么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析乘方運(yùn)算x2 = a中x與a的思義，由乘方運(yùn) 算定義算術(shù)平方根.引 導(dǎo)學(xué)生用文字語(yǔ)言進(jìn)行 表述算術(shù)平方根定義.教師完善并板書(shū)定義.本次活動(dòng)中，教師 應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：(1)讓學(xué)生充分經(jīng) 歷探究算術(shù)平方根定義 的過(guò)程，讓學(xué)生感受到 正數(shù)的二次哥運(yùn)算和求 二次哥的正底數(shù)運(yùn)算互 為逆運(yùn)算.(2)從特殊到一般、

9、 具體到抽象的數(shù)學(xué)思想 方法及歸納的能力的培 養(yǎng).從學(xué)生已有的 “乘方”運(yùn)算知識(shí)入 手，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到 x是二次哥a的正底 數(shù)，我們也將“正數(shù)x 叫做a的算術(shù)平方 根”，這樣學(xué)生容易理 解定義。經(jīng)歷從特殊到一 般的數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生親身體驗(yàn) 概念的形成過(guò)程，進(jìn) 而準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ) 言表達(dá)算術(shù)平方根的 概念，充分體現(xiàn)了學(xué) 生的主體作用，發(fā)展 學(xué)生抽象概括的能 力.活動(dòng)3理解概念，初步應(yīng)用(1)試一試：因?yàn)?2=16 ,所以是16的算術(shù)平方根；因?yàn)?.52=0.25 ,所以是0.25的算術(shù)平方根；因?yàn)?4)2=16 ,所以是的算術(shù)平方根.981(2)想一想：判斷下列說(shuō)法是否正確.5是25的算術(shù)平

10、方根；()0.01是0.1的算術(shù)平方根；()0的算術(shù)平方根是0.()(規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.)對(duì)照概念，學(xué)生先 獨(dú)立完成，再交流互補(bǔ)， 不斷完善.教師給予評(píng) 價(jià)和鼓勵(lì).本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：(1)讓學(xué)生充分經(jīng) 歷探索求一個(gè)正數(shù)的算 術(shù)平方根過(guò)程.(2)學(xué)生在自主完 成時(shí)應(yīng)讓學(xué)生什-個(gè)獨(dú) 立思考、交流意見(jiàn)的時(shí) 間和空間.結(jié)合概念，從乘 方運(yùn)算入手，運(yùn)用文 字語(yǔ)言敘述一個(gè)具體 正數(shù)的算術(shù)平方根.進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)概念的 理解，強(qiáng)化對(duì)算術(shù)平 方根概念的認(rèn)識(shí).理解規(guī)定“0的算 術(shù)平方根是0” .問(wèn)題情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)4符號(hào)表達(dá)，感受簡(jiǎn)潔（1）怎樣用符號(hào)來(lái)表示算術(shù)平方根？a的算術(shù)平方根可記為

11、后,讀作“根號(hào)a”，a叫做被 開(kāi)方數(shù).也就TE說(shuō)，在等式 x =a （x>0）中，規(guī)te x = <a .如：16的算術(shù)平方根是 4；（文字語(yǔ)言）可記為：曬=4.（符號(hào)語(yǔ)言）0.25的算術(shù)平方根是 0.5;可記為：.（符號(hào)語(yǔ)言）16的算術(shù)平方根是4;819可記為：.（符號(hào)語(yǔ)言）（2）例1:求卜列各數(shù)的算術(shù)平方根 . 0.04; 25; 100.16（師生共同歸納：求一個(gè)正數(shù) a的算術(shù)平方根的一般步驟以及算術(shù)平方根的性質(zhì).）算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根；算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1 ；被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.（3）填空：（看誰(shuí)算得又對(duì)又快?。┮粋€(gè)數(shù)的算術(shù)

12、平方根是 3,則這個(gè)數(shù)是.J8T的算術(shù)平方根是.2的算術(shù)平方根可記為 .讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué) 符號(hào)表示算術(shù)平方根， 掌握其書(shū)寫(xiě)及讀法.教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì) 照概念，運(yùn)用數(shù)學(xué)符 號(hào)表示算術(shù)平方根， 并與文字?jǐn)⑹鲞M(jìn)行對(duì) 比，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)表 示法的簡(jiǎn)潔性，培養(yǎng) 學(xué)生的符號(hào)感.通過(guò)檢測(cè)學(xué)生對(duì) 算術(shù)平方根概念的掌 握情況，規(guī)范解題格 式，讓學(xué)生進(jìn)一步體 會(huì)求算術(shù)平方根和乘 方運(yùn)算的互逆關(guān)系.歸結(jié)算術(shù)平方根 的有關(guān)性質(zhì)，加深對(duì) 概念的理解.通過(guò)逆用概念 （已知算術(shù)平方根， 求被開(kāi)方數(shù)）、概念間 的綜合運(yùn)用，進(jìn)一步 強(qiáng)化與提升概念的理 解.（第小題師生同 做，后兩小題找學(xué)生板 演.注意后兩小題的解 題格式.）學(xué)生完成

13、例1后， 教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反 思，歸納小結(jié)求一個(gè)正 數(shù)a的算術(shù)平方根的一 般步驟以及算術(shù)平方根 的性質(zhì).由學(xué)生討論交流， 共同探討填空題的解答 思路.本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：（1）問(wèn)題的解決依 據(jù)于算術(shù)平方根的概念（2）學(xué)生在活動(dòng)中 的參與意識(shí)及積極性.問(wèn)題情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)5數(shù)形結(jié)合，感知估算（1）男拼游戲：用兩個(gè)面積為1 dm的止方形拼成一個(gè)面積為2dm2的正方形.有幾種剪拼方法？面積為 2dm2的 止方形的邊長(zhǎng)是多少？（2） J2到底后多大呢？方法1:用二個(gè)面積分別為 1dn2, 2dm2, 4dn2的止方形比較它們邊長(zhǎng)的大小， 學(xué)生觀察圖形感受 J2的大小，得 到1<K

14、<2.（從“形”的角度去感知）你想進(jìn)一步感知 J2的大小嗎?方法2：借助電子表格，一步一步推導(dǎo)出J2的近似值.（夾逼法）方法3:計(jì)算器演示.（從“數(shù)”的角度去估算）（3） J2是有限小數(shù)嗎？ J2是循環(huán)小數(shù)嗎？（J2是一個(gè)小數(shù)位數(shù)無(wú)限， 且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù).這樣的數(shù)我們稱(chēng)之為無(wú)限不循環(huán)小數(shù).）這樣的數(shù)你以前見(jiàn)過(guò)嗎？是什么？（ 兀） 也和兀是有理數(shù)嗎？（它們是我們今后要學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù).）（無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)！希帕索斯是發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的A人！他為了捍衛(wèi)“無(wú)理數(shù)存在”的真理，挑戰(zhàn)權(quán)威 ，付出了寶貴的生命?。W(xué)生進(jìn)行小組合 作，動(dòng)手操作，拼接圖 形，教師巡視、觀察、 適時(shí)參

15、與、引導(dǎo).出示三邊長(zhǎng)分別為1、J2、2的的止方形， 讓學(xué)生進(jìn)行觀察比較， 在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生初步 感知J2的大小.借助電子表格、計(jì) 算器進(jìn)一步探究J2的大小.感知，2是無(wú)限 不循環(huán)小數(shù)的特征.了 解有關(guān)數(shù)學(xué)史實(shí).本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生能否熟練 地進(jìn)行圖形的剪拼.（2）電子表格、計(jì) 算器在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.在動(dòng)手操作的過(guò) 程中，培養(yǎng)學(xué)生的合 作精神與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).從“形”的角度 粗略直觀感知J2的 的大小.從“數(shù)”的角度進(jìn)一步估算/2的大小.了解“夾逼法” 中利用耳、足近似值和過(guò)剩近似值估算 J2的大小，以及數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)工具“計(jì)算器”在 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用， 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感.利用數(shù)學(xué)史實(shí)， 適

16、時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文 教育.活動(dòng)6學(xué)以致用，強(qiáng)化新知例2:自由卜落物體的高度學(xué)生審題，理解關(guān) 系式的含義，以及已知 數(shù)的意義，自主完成練 習(xí)，教師巡視，并給予 評(píng)講.本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：（1）理解關(guān)系式中 已知量與未知量；（2）能正確將已知 值代入關(guān)系式，進(jìn)行公 式變形，運(yùn)用方程思想 及算術(shù)平方根概念求 解.運(yùn)用算術(shù)平方根 的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn) 題，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模， 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn) 用算術(shù)平方根的知識(shí) 求解.生活數(shù)學(xué)化.以 增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值 的體悟.h （米）與下落時(shí)間t （秒）的關(guān)系J®為h=4.9t .有一鐵球從19.6米趣局的建筑物上自由卜落，到達(dá)地，微面需要多長(zhǎng)時(shí)間？nr

17、問(wèn)題情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)7小結(jié)提升，合作交流(1)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我知道了，我學(xué)會(huì)了，我發(fā)現(xiàn)了(2)在探索知識(shí)的過(guò)程中， 體驗(yàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？數(shù)形結(jié)合思想；夾逼法、用信息技術(shù)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的方法.學(xué)生反思后充分發(fā) 表自己的意見(jiàn)，教師傾 聽(tīng).本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：(1)積極評(píng)價(jià)/、同 層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)課的 /、同認(rèn)識(shí).(2)通過(guò)小結(jié)明確 本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，思 想方法.通過(guò)回顧、梳理、 反思，使學(xué)生對(duì)所學(xué) 知識(shí)得到充分的消化 和吸收，理順各知識(shí) 點(diǎn)間的關(guān)系.培養(yǎng)學(xué) 生善于反思的良好習(xí) 慣，倡導(dǎo)學(xué)生要善于 發(fā)現(xiàn)、勇于探索、敢 于創(chuàng)新.活動(dòng)8分層作業(yè)，共同進(jìn)步1 .必做題：習(xí)題6.1第1

18、題，第2題.2 .選做題：請(qǐng)你觀察卜列計(jì)算過(guò)程：因?yàn)?2=1，所以<1 =1 ；因?yàn)?112 = 121，所以 121= = 11 ；因?yàn)?1112= 12321，所以 J12321 = 111 ； 由此猜想： $2345654321 = .3 .課外知識(shí)閱讀：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)和根號(hào)的由 來(lái).教師布置作業(yè)，學(xué) 生按要求獨(dú)立完成.本次活動(dòng)中教師應(yīng) 重點(diǎn)關(guān)注：(1) /、同層次的學(xué) 生對(duì)算術(shù)平方根的掌握 程度，應(yīng)有針對(duì)性的分 析與點(diǎn)評(píng).(2)學(xué)生的動(dòng)手能 力和數(shù)形結(jié)合思想的培 養(yǎng).關(guān)注學(xué)生差異， 設(shè)置分層作業(yè)，使不 同層次的學(xué)生均能體 會(huì)到由學(xué)習(xí)的成功帶 來(lái)的成就感，實(shí)現(xiàn)“不 同的人在數(shù)學(xué)上獲

19、得 /、同的發(fā)展”目標(biāo).通過(guò)課外知識(shí)的 閱讀，豐富學(xué)生的數(shù) 學(xué)知識(shí)，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng) 學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素 養(yǎng).附：板書(shū)設(shè)計(jì)6.1算術(shù)平方根1、如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于算術(shù)平方根.即：如果x2 =規(guī)定：0的算術(shù)平方根是2、例題a,那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的a ,那么 x= Ja( x>0).o.學(xué)生板演附錄：課外閱t材料：兩則第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 根號(hào)的由來(lái)1、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)起因于無(wú)理數(shù) J2的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上的一次重要事件，發(fā)生于大約公元前400年左右的古希臘時(shí)期，自根號(hào)二的發(fā)現(xiàn)起，到公元前 370年左右，以無(wú)理數(shù)的定義出現(xiàn)為結(jié)束標(biāo)志。這次危機(jī)的出現(xiàn)沖擊了 一直以來(lái)在西

20、方數(shù)學(xué)界占據(jù)主導(dǎo)地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，同時(shí)標(biāo)志著西方世 界關(guān)于無(wú)理數(shù)的研究的開(kāi)始。直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事實(shí)的發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人感 到迷惑不解。它不僅違背了畢達(dá)哥拉斯派的信條，而且沖擊著當(dāng)時(shí)希臘人持有的“一切量都可以用 有理數(shù)表示”的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發(fā)現(xiàn)的這個(gè)矛盾，叫做希帕索斯悖論。畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而 、切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比 ”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由 畢

21、達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù) 理的誕生。小小22的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā) 現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這 一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有

22、理數(shù)。 這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的22的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的 是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方 數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱(chēng) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)2、根號(hào)的由來(lái)現(xiàn)在，我們都習(xí)以為常地使用根號(hào)（如 L, 3廠等等），并感到它使用起來(lái)既簡(jiǎn)明又方便，那 么，根號(hào)是怎樣產(chǎn)生和演變成現(xiàn)在這種樣子的呢？古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“廠”表示平方根；印度人在開(kāi)平方時(shí)，在被開(kāi)方數(shù)的前面寫(xiě)上ka;阿拉伯人用48表示J48; 1840年前后，德國(guó)人用一個(gè)點(diǎn)".”來(lái)表示平方根，兩點(diǎn)".”表示4次方 根，三個(gè)點(diǎn)"”表示立方根，比如，.3