高等代數教案第四章線性方程組

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第四章 線性方程組一 綜述線性方程組是線性代數的主要內容之一.本章完滿解決了關于線性方程組的三方面的問題,即何時有解、有解時如何求解、有解時解的個數,這在理論上是完美的.作為本章的核心問題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個問題,從中學熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過程的實質是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應得同解方程組）,由此相應的簡化形式可得出有無解及求其解.為表述由此得到的結果,引入了矩陣的秩的概念,用它來表述相容性定理.其中實質上也看到了一般線性方程組有解時,也可用克萊姆法則來求解（由此得所謂的公式解

2、用原方程組的系數及常數項表示解）.內容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現了線性代數的重要思想（標準化方法）.線性方程組內容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問題與矩陣及所謂線性相關性關系密切；本教材用前者（矩陣）的有關問題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無窮解時）解的結構.實際上線性相關性問題是線性代數非常重要的問題,在以后各章都與此有關.另外,從教材內容處理上來講,不如先講矩陣及線性相關性,這樣關于線性方程組的四個問題便可同時討論.二 要求掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組

3、的有關理論.重點：線性方程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教學思考本節(jié)通過具體例子分析解線性方程組的方法消元法,實質是作方程組的允許變換（同解變換）化為標準形,由此得有無解及有解時的所有解.其理論基礎是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過程僅有方程組的系數與常數項參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進而化為標準階梯形,其體現了線性代數的一種重要的思想方法標準化的方法.二 內容要求主要分析消元法解線性方程組的過程與實質,以及由同解方程組討論解的情況（存

4、在性與個數）,為下節(jié)作準備,同時指出引入矩陣的有關問題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關系.三 教學過程1引例：解方程組 （1）定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2消元法的理論依據TH4.1.1初等變換把一個線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）3轉引在上面的討論中,我們看到在對方程組作初等變換時,只是對方程組的系數與常數項進行了運算,而未知數沒有參加運算,也就是說線性方程組有沒有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數和常數項,因此在討論線性方程組時,主要是研究它的系數和常數項.因而消

5、元法的過程即用初等變換把方程組化為階梯形方程組,來解決求解問題,此可轉用另一種形式表述.為此引入：4矩陣及其初等變換1）概念定義1 由個數排成的一個行列（數）表叫做一個行列（或）矩陣.叫做這個矩陣的元素；常用大寫字母A、B等表示矩陣,有時為明確矩陣記為或.定義補 由線性方程組的系數作成的矩陣叫做線性方程組的系數矩陣,用A表示；由它的系數和常數項作成的矩陣叫做線性方程組的增廣矩陣,用表示.2）矩陣的初等變換定義2 矩陣的（列）初等變換指的是對一個矩陣作下列變換（1）交換矩陣的兩行（列）； （換法變換）（2）用一個不等于零的數乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）（3）用一個數乘某行（列）后加到另一行

6、（列）.（消法變換）3）線性方程組的同解變換與矩陣的初等變換的關系顯然,對一個線性方程組施行的同解變換即一個方程組的初等變換,相當于對它的增廣矩陣施行對應的行初等變換；而化簡線性方程組相當于用行初等變換化簡它的增廣矩陣.因此將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題,這樣做不僅討論起來方便,而且能夠給予我們一種方法,就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組,而不必每次把未知量寫出（我國古代數學書九章算術（三世紀）中就是用這種方法解線性方程組的,成為算籌.）下面的問題是,化簡到什么形式、什么程度,理論上將給予解決.4）矩陣經初等變換（行、列）化為階梯形矩陣TH4.1.2設A是一個行列矩陣：,則A

7、可經過一系列行初等變換和第一種列初等變換化為如下形式：；進而化為以下形式：.其中表示不同的元素.5）用矩陣的初等變換解線性方程組對線性方程組： （1）由定理1其系數矩陣可經過行初等變換和列換法變換化為；則對其增廣矩陣作同樣的初等變換可化為,從而方程組（1）與所對應的方程組（2）在某種意義上同解（此是的一個重新排序）.下面討論（2）的解的情況：情形1：當且不全為零時,因有矛盾式（2）無解,故（1）無解.情形2：當或且時,（2）直觀上無矛盾式,且與（3） 同解.當時,（3）即為有唯一解；當時,（3）即為,于是任給一組值,可得（3）的一個解：,這也是（1）的解,由的任意性（1）有無窮多解.例1 解線

8、性方程組.解：對增廣矩陣作行初等變換：所原方程組與方程組同解,故原方程組的一般解為.4.2 矩陣的秩 線性方程組可解判別法一 教學思考 1本節(jié)在上節(jié)消元法對線性方程組的解的討論的基礎上,引入了矩陣的秩的概念,以此來表述有解判定定理,在有解時從系數矩陣的秩與未知數的個數間的關系可討論解的個數,其中在有無數解時引入了一般解與通解的概念.2矩陣的秩的概念是一個重要的概念,學生易出問題.定義的表述不易理解,應指出秩是一個數（非負整數）,其含義是至少有一個階非零子式,所有大于階（若有時）子式全為0.重要的是“秩”的性質初等變換下不變,提供了求秩的另一方法初等變換法.3本節(jié)內容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯系,結

9、論具體,方法規(guī)范,注意引導總結歸納.二 內容要求1 內容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理2 要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理二 教學過程1矩陣的秩（1）定義 1）在矩陣中,任取行列（）位于這些行列交點處的元素構成的階行列式叫作矩陣的一個階子式. 2）矩陣中,不等于零的子式的最大階數叫做矩陣的秩；若沒有不等于零的子式,認為其秩為零.的秩記為秩（）或.2矩陣的秩的初等變換不變性TH4.2.1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3一般線性方程組解的理論對線性方程組： （1）由上節(jié)知,對（1）的系數矩陣可經過行初等變換和列換法變換化為；則對其增廣矩陣作同樣的初等變換可化為.則（1）與

10、相應的方程組同解；由上節(jié)討論知：當或且時,即時（1）有解；當且不全為零時,即時,（1）無解.總之：（1）有解,且在（1）有解時：當,即時有唯一解；當,即時有無窮解.此即 TH4.2.2-3線性方程組（1）有解；當,即時有唯一解；當,即時有無窮解.例1 判斷方程組有無解？有解時,求一般解.例2 對進行討論,何時方程組有解,無解；有解時求一般解.4.3 線性方程組的公式解一 教學思考1本節(jié)在理論上解決了當線性方程組有解時,用原方程組的系數和常數項將解表示出來即公式解,結論的實質是克拉默法則的應用.其中過程是在有解判定的基礎上選擇個適當方程而得,可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內容規(guī)

11、范完整,理論作用較大,實用性較小.2作為特殊的線性方程組齊次線性方程組的解的理論有特殊的結果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個數等）.二 內容要求1內容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解2要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結論三 教學過程1線性方程組的公式解本節(jié)討論當方程組 （1）有解時,用方程組的系數和常數項把解表示出來的問題公式解.處理這個問題用前面的方法消元法是不行的,因為這個過程使得系數和常數項發(fā)生了改變,但其思想即化簡得同解線性方程組的思想是重要的,所以現今能否用其它方法把（1）化簡得同解方程組且系數和常數項不變,才可能尋求公

12、式解.為此看例,考察 （2）顯然間有關系,此時稱是的結果（即可用線性表示）.則方程組（2）與同解.同樣地,把（1）中的個方程依次用表示,若在這個方程中,某個方程是其它若干個方程的結果,則可把（1）中的舍去,從而達到化簡的目的.即現在又得到化簡（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個方程的結果,而剩下的方程構成與（1）同解的方程組.現在的問題是這樣化簡到何種程度為止,或曰這樣化簡的方程組最少要保留原方程組中多少個方程.由初等變換法,若（1）的,則可把（1）歸結為解一個含有個方程的線性方程組.同樣TH4.3.1設方程組（1）有解,則可以在（1）中的個方程中選取個方程,使得剩下的個方程是這個方程的結果.因而解（1）歸結為解由這個方程組成的方程組.下看如何解方程組：此時原方程組與同解.當時有唯一解,且上述方程組的系數行列式不等于0,由克拉姆法則可得其解（公式解）.當時有無窮多解,取為自由未知量,將這些項移至等號右端得：視為任意數,由克拉姆法則可得