2011-2018新課標高考立體幾何分類匯編(理)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011-2018新課標(理科)立體幾何分類匯編一、選填題【2012新課標】（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 【解析】選。該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，此幾何體的體積為【2012新課標】（11）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【解析】的外接圓的半徑，點到面的距離，為球的直徑點到面的距離為此棱錐的體積為另：排除【2013新課標1】6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸

2、水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm312C、cm3D、cm3【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，球的體積為=，故選A.【2013新課標1】8、某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為( )A、16+8 B、8+8 C、16+16 D、8+16【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2 高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，故選.【2013新課標2】4. 已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則( )A且l

3、B且lC與相交，且交線垂直于l D與相交，且交線平行于l【解析】因為m，lm，l，所以l.同理可得l。又因為m，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線故選D.【2013新課標2】7. 一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(A )【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標系Oxyz的圖像如圖：【2014新課標1】12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）A、6 B

4、、6 C、4 D、4【解析】幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點的距離為：4， ，AC=6，AD=4，顯然AC最長?！?014新課標2】6. 如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為( ) A. B. C. D.【解析】該零件是一個由兩個圓柱組成的組合體，其體積為×32×2×22×434(cm3)，原毛坯的體積為×32×654(cm3)，切削掉部分的體積為543420(

5、cm3)，故所求的比值為?！?014新課標2】11. 直三棱柱ABC­A1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )A. B. C. D.【解析】如圖，E為BC的中點由于M，N分別是A1B1，A1C1的中點，故MNB1C1且MNB1C1，故MN綊BE，所以四邊形MNEB為平行四邊形，所以EN綊BM，所以直線AN，NE所成的角即為直線BM，AN所成的角設(shè)BC1，則B1MB1A1，所以MBNE，ANAE，在ANE中，根據(jù)余弦定理得cos ANE?！?015新課標1】6.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名

6、著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ B ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【2015新課標1】(11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ B ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【201

7、5新課標2】（6）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為【2015新課標2】（9）已知A,B是球O的球面上兩點，AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ）A36 B.64 C.144 D.256【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C【2016新課標

8、1】（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】該幾何體為球體，從球心挖掉整個球的（如右圖所示），故解得，。【2016新課標1】(11)平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（ ）(A) (B) (C) (D)【詳細解答】令平面a與平面CB1D1重合，則m = B1 D1，n= CD1 故直線m、n所成角為，正弦值為【2016新課標2】6. 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的

9、表面積為( )（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【解析】幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為由圖得，由勾股定理得：【2016新課標2】14. ，是兩個平面，m，n是兩條線，有下列四個命題：如果，那么。如果，那么如果,那么。 如果,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有  .(填寫所有正確命題的編號)【2016新課標3】9. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ B ）(A)1836 (B)5418(C)90 (D)81【2016新課標3】10. 在封閉的直三棱柱AB

10、C-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是（ B ）(A)4(B)(C)6(D)【2017新課標1】7某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（ B ）A10B12C14D16【2017新課標1】16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DB

11、C，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_?！?017新課標2】4. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【解析】該幾何體可視為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半?！?017新課標2】10.已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【解析】，分別為，中點，則，夾角為和夾角或其補角（異面線所成角為）可知，作中點，則可知為直角三角形，中，則，則中，則中，又異面線所成角為，則余弦值為?！?01

12、7新課標3】8已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）AB C D【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.【2017新課標3】16，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當直線與成角時，與成角；當直線與成角時，與成角；直線與所成角的最小值為；直線與所成角的最大值為其中正確的是_（填寫所有正確結(jié)論的編號）【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為

13、圓心，1為半徑的圓。以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系則，直線的方向單位向量，點起始坐標為，直線的方向單位向量，設(shè)點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，。那么在運動過程中的向量，設(shè)與所成夾角為，則故，所以正確，錯誤設(shè)與所成夾角為，.當與夾角為時，即，此時與夾角為，正確，錯誤【2018新課標1】7某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ B ）ABC3D2【2018新課標2】9. 在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C.

14、D. 【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.二、解答題【2011新課標】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！敬鸢浮浚ǎ┮驗? 由余弦定理得 ，從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則,。設(shè)平面PAB的法向量為n

15、=（x,y,z），則 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 【2012新課標】19. 如圖，直三棱柱中，是棱的中點，（1）證明：（2）求二面角的大小?！敬鸢浮浚?）在中， 得：同理：得：面（2）面 取的中點，過點作于點，連接 ，面面面 得：點與點重合 且是二面角的平面角設(shè)，則，既二面角的大小為【2013新課標1】18、（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1， BAA1=60°.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C

16、所成角的正弦值。【答案】（）取AB中點E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； （）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標原點，的方向為軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系，由題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 設(shè)=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 【2013新課標2】18如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E

17、分別是AB，BB1的中點，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值【答案】(1)連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即 可取n(1，1，1)同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可

18、取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為. 【2014新課標1】19如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，ABB1C（ ）證明：AC=AB1；（ ）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值【答案】（1）連結(jié)BC1，交B1C于點O，連結(jié)AO，側(cè)面BB1C1C為菱形， BC1B1C，且O為BC1和B1C的中點，又 ABB1C，B1C平面ABO， AO平面ABO，B1CAO， 又B1O=CO， AC=AB1，（2） ACAB1，且O為B1C的中點，AO=CO，又 AB=BC，BOABOC，OAOB

19、， OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸的正方向，|為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系， CBB1=60°，CBB1為正三角形，又AB=BC， A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0） =（0，），=（1，0，），=（1，0），設(shè)向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一個法向量=（1，）， cos，=， 二面角AA1B1C1的余弦值為【2014新課標2】18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.（）證明：

20、PB平面AEC；（）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【答案】（1）連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO,因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點又E為的PD的中點，所以EOPB,EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則Axyz,則D(0, ,0),則E(0, ,),=(0, ,)設(shè)B(m,0,0)(m0)，則C（m, ，0）設(shè)n(x,y,z)為平面ACE的法向量，則 即 可取=（,-1, ）又=

21、（1,0,0）為平面DAE的法向量，由題設(shè)=，即=，解得m=因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為V=【2015新課標1】（18）如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）證明：平面AEC平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值DD1C1A1EFABCB1【2015新課標2】如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點E，F(xiàn)的平

22、面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面所成的角的正弦值?！敬鸢浮俊?016新課標1】18. 如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是 （I）證明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I），又,所以平面ABEFEFDC；（II）以E為坐標原點，EF，EB分別為x軸和y軸建立空間直角坐標系（如圖），設(shè)，則，因為二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，易得,，,設(shè)平面與平面的法向量分別為和，則令，則，

23、 由，令，則，二面角E-BC-A余弦值.【2016新課標2】19. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到的位置.（I）證明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.【答案】證明：，四邊形為菱形，；又，又， 面建立如圖坐標系，,設(shè)面法向量，由得，取 同理可得面的法向量 ,， 【2016新課標3】(19)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點。（1）證明：MN平面PAB（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】【2017新課標

24、1】18. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且.（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面內(nèi)做，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系。由（1）及已知可得，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取，則，所以二面角的余弦值為?！?017新課標2】19. 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點.（1）證明：直線 平面PAB（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值【答案】（1）令中點為，連結(jié)，為，中點，為的中位線，又，又，四邊形為平行四邊形，又，（2）以中點為原點，如圖建立空間直角坐標系設(shè)，則，在底面上的投影為，為等腰直角三角形為直角