02極限與連續(xù)

1、第二章 極限與函數(shù)一、本章學習要求與內(nèi)容提要 （一）學習要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會用兩個重要極限公式求極限4掌握極限的四則運算法則5理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，知道間斷點的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7會用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點 極限的求法，兩個重要極限，函數(shù)在一點連續(xù)的概念難點 間斷點的分類，分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號設函數(shù)在 為某個正實數(shù))時有定義，如果當自變量的絕對值無限增大時，相應

2、的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無窮”）時函數(shù)的極限或設函數(shù)為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當自變量無限增大時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時函數(shù)的極限或設函數(shù)(為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當自變量無限增大且時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負無窮”）時函數(shù)的極限或設函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在內(nèi)無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為當（讀作“趨近于”）時函數(shù)的極限或設函數(shù)在點的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，

3、則稱為當趨近于時函數(shù)的左極限或設函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的右極限或數(shù)列的極限對于數(shù)列，若當自然數(shù)無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù),則稱為當趨于無窮時數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于或若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散不存在（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理的充分必要條件是的充分必要條件是（）極限存在準則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準則若當時，有，且，則夾逼準則對自變量的其他變化過程也成立.2. 極限的四則運算法則設及都存在，則(1) ；(2) , (為任意常數(shù));(3) 上述

4、極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個重要極限(1) 一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）(2) 一般形式為 （其中代表的任意函數(shù)） 無窮小量與無窮大量在討論無窮小量與無窮大量的概念及其相關(guān)性質(zhì)時, 均以的極限變化過程為例.其他極限變化過程,有完全類似的結(jié)論（）無窮小量在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮小例如,如果，則稱當時,是無窮小量注意 一般說來，無窮小表達的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（） 無窮大量在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為

5、這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大應該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號，表示“當時, 是無窮大量” （）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（）無窮小量的運算 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量 有限個無窮小量的乘積是無窮小量 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表設在自變量的變化過程中，均是無窮小量無窮小的比較定 義記 號（）（）（） 極限與無窮小量的關(guān)系定理的充分必要條件是，其中是當時的無窮小量（）

6、 無窮小的替換定理設當時，存在，則5函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點連續(xù)的概念函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義：定義設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量的增量趨于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即 ，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，或稱是的一個連續(xù)點定義若，則稱函數(shù)在點處連續(xù) 左右連續(xù)的概念若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點處右連續(xù) 函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù)由此可知，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，存在，這個極限等于函數(shù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間

7、上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右連續(xù) 間斷點若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為函數(shù)的間斷點 間斷點的分類設為的一個間斷點，如果當時，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；否則，稱為的第二類間斷點對于第一類間斷點有以下兩種情形： 當與都存在，但不相等時，稱為的跳躍間斷點； 當存在，但極限不等于時，稱為的可去間斷點 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 設為閉區(qū)間上的連

8、續(xù)函數(shù)，且異號，則至少存在一點，使得 介值定理 設是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對介于之間的任意一個數(shù)，則至少存在一點，使得二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當為何值時，在的極限存在.解 (1),因為左極限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當=1 時， 存在且 =1小結(jié) 對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在 （3）利用極

9、限運算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2) 當時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則原式=(3) 當時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則即原式=(4) 當時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式需分子分母同時除以，將無窮大的約去，再用法則求原式=小結(jié) （）應用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用（II）求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn) 等情況，都不能直接運用極

10、限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（）對于型，往往需要先通分，化簡，再求極限，（）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，（）對分子、分母進行因式分解，再求極限，（）對于當時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限（3）利用無窮小的性質(zhì)求極限例3 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解（1） 因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即 （2）不能直接運用極限運算法則，因為當時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍

11、為無窮小定理，即得.小結(jié) 利用無窮小與無窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小結(jié) （）利用求極限時，函數(shù)的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時，函數(shù)的特點型冪指函數(shù)，其形式為型,為無窮小量，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)；（）用兩個重要極限公式求極限時，往往用三角公式或代數(shù)公式進

12、行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標準形式。(5) 利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有當 時,例5 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小結(jié) 利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯如上題 , 即得一錯誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）解 (1) 因為是初等函數(shù)，在處有定義，所以 ，(2) 函數(shù)看成由 復合而成，利用分子有理化，然后利用復合函數(shù)求極限的法則來運算 =小結(jié) 利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復合函數(shù)的極限，極限符號與函數(shù)符號可交換次序2判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性 例 7 討論函數(shù) ， 在點處的連續(xù)性 解 由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)三、學法建議1本章的重點是極限的求法及函數(shù)在一點的連續(xù)的