上海海事大學(xué)研究生1213數(shù)值分析試A卷答案

1、上海海事大學(xué)2012-2013學(xué)年第 2 學(xué)期研究生 數(shù)值分析 課程考試試卷A（答案）學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 專(zhuān)業(yè)：一 填空題（每小格2分共28分）1. 利用Seidel迭代法求解Ax=b時(shí)，其迭代矩陣是；當(dāng)系數(shù)矩陣A滿(mǎn)足 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) 時(shí)，Seidel迭代法收斂 。 x 0 1 2. 已知函數(shù)有數(shù)據(jù) f 1 9 則其線(xiàn)性L(fǎng)agrange插值多項(xiàng)式為 插值余項(xiàng)為 3. 求解常微分方程初值問(wèn)題 的Euler二步法公式為， 它是2 階方法。4. 設(shè)則差商 3 05. 5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes數(shù)值求積公式的代數(shù)精度至少具有5 次，其最高代數(shù)精度為9 6. 對(duì)于非線(xiàn)性方程的Newton迭代法公式

2、為 ，它在方程根附近是 平方 階收斂的方法。 7. 反冪法是求可逆矩陣按模最小 特征值和特征向量的計(jì)算方法QR法是計(jì)算 可逆矩陣的所有 特征值和特征向量的計(jì)算方法 8. 二求在上的一次最佳一致逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。 （已知） （7分） 解：上不變號(hào)，所以二端點(diǎn)為交錯(cuò)點(diǎn)組點(diǎn)。故：而 ，所以所以誤差三 用代數(shù)精度確定求積公式的求積系數(shù)，并指出其具有的代數(shù)精度。（7分）已知，證明求積公式余項(xiàng)為：解： 具有二次代數(shù)精度。以作Hermite二次插值，得余項(xiàng) 四 設(shè)方程組系數(shù)矩陣可逆，其擾動(dòng)方程組為證明 ： 當(dāng)時(shí)，有 和 成立（6分） 解： 由得故又， 五設(shè)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，試

3、證明： （7分）解：設(shè)的n+1階導(dǎo)數(shù)存在，則有： 當(dāng)時(shí)（）， 所以 六設(shè)方程組Ax=b有唯一解，其等價(jià)變形構(gòu)造的迭代格式為，如矩陣譜半徑，但B有一個(gè)特征值滿(mǎn)足，求證：存在初始向量，使得迭代產(chǎn)生的序列收斂于。 （7分）證明： 由， 對(duì)于B的一個(gè)特征值滿(mǎn)足，特征向量設(shè)為，故取初始向量，有，所以收斂于七在0，2上具有五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，已知，試用基函數(shù)構(gòu)造法求Hermite插值多項(xiàng)式，使其滿(mǎn)足上列插值條件，并估計(jì)誤差。（7分） 解：解：； 插值余項(xiàng)：， ，,由得 又=，八給定函數(shù)函數(shù)，對(duì)于一切，存在，且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)，迭代過(guò)程均收斂于的根。 （7分）解：，,單調(diào)，根存在條件下必唯一。迭代函數(shù)，

4、有條件，可得故： , 所以 所以九設(shè)，1. 證明：中矩形求積公式截?cái)嗾`差2. 又設(shè)，試以此構(gòu)造復(fù)合求積公式，并說(shuō)明該復(fù)合求積公式是收斂的。（9分）解：1. 令f(x)=1,x 等式成立。 ,所以是1階代數(shù)精度因此：； 故： =2.又：分劃a,b2n等分，得：，k=1,2,n，得復(fù)合公式：所以：=其中：有：十 初值問(wèn)題的解為，是由Euler法得出的數(shù)值解 證明：整體誤差 ,并說(shuō)明其收斂性。 （7分）解：對(duì)任意固定值x0,取，所以，由Euler法=所以， 對(duì)任意固定點(diǎn)，的所以收斂。十一. 對(duì)于初值問(wèn)題，試?yán)脭?shù)值積分導(dǎo)出梯形公式，證明公式是具有是二階精度的。對(duì)于梯形公式求常微分方程數(shù)值解時(shí)，當(dāng)試驗(yàn)方程，為保證數(shù)值方法的絕對(duì)穩(wěn)定性，確定其步長(zhǎng)的限制