一筆畫(huà)和最短路線

1、一筆畫(huà)和最短路線一、一筆畫(huà)1. 下面的圖形可以一筆畫(huà)成嗎？如果可以，請(qǐng)你用一筆畫(huà)成（在圖上標(biāo)出箭頭）；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。A組：B組：C組： （4） （5） （6） （7）2判斷圖中的三個(gè)圖形，哪個(gè)圖形能一筆畫(huà)？為什么？請(qǐng)把能一筆畫(huà)出的圖形的畫(huà)法用字母和箭頭表示出來(lái)。3有一個(gè)郵局，負(fù)責(zé)21個(gè)村莊的投遞工作，右圖中的點(diǎn)表示村莊，線段表示道路。郵遞員從郵局出發(fā)，能不重復(fù)地經(jīng)過(guò)每一個(gè)村莊，最后回到郵局么？如果可以，請(qǐng)你用一筆畫(huà)成（在圖上標(biāo)出箭頭）；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。4下圖是一個(gè)公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重復(fù)，問(wèn)出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？5一張紙上畫(huà)有如下所示的圖，你能否用剪刀連

2、續(xù)剪下圖中的三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？ 二、最短路線1甲、乙、丙是三個(gè)鎮(zhèn)，中間有一條河把甲、丙和乙隔開(kāi)，如圖1312，要使這三個(gè)鎮(zhèn)中任何兩個(gè)鎮(zhèn)之間都有最短通路，除了在甲、丙之間修一條直線型公路外，還需要在河面上架兩座橋，使甲與乙、乙與丙之間也有通路這兩座橋應(yīng)架在什么地方最合理 2有兩條通訊路線A和B，如圖1313，通訊員從C處出發(fā)，查完兩條線后到D處，作圖表示他怎樣走路程最短（假設(shè)到達(dá)通訊線路的任何一處都可完成查線工作）？3要在兩條街道（如圖1314）A和B上各設(shè)立一個(gè)郵筒，M處是郵局，問(wèn)郵筒設(shè)在哪里才能使郵遞員從郵局出發(fā)，到兩個(gè)郵筒取完信再回到郵局的路程最短？ 4一個(gè)小蟲(chóng)從圓柱體（如圖1315

3、）的A點(diǎn)處繞圓柱體側(cè)面一周，最后爬到頂點(diǎn)B處請(qǐng)畫(huà)出小蟲(chóng)從A點(diǎn)繞到圓柱體側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短路線5如圖1316，A、B、C三點(diǎn)分別是正方體三條棱的中點(diǎn)假設(shè)一只螞蟻沿著正方體的表面從中點(diǎn)A爬到中點(diǎn)C，圖中所示路線是否為螞蟻爬行的最短路線，為什么？答案僅供參考：1如圖13-1所示，橋應(yīng)架在AB、CD位置上 2如圖13-2所示，沿CPQD走路程最短3如圖13-3所示，郵筒應(yīng)設(shè)在E、F兩點(diǎn)，沿MEFM路線為最短 4將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖13-4從A到B的直線段最短，把側(cè)面展開(kāi)圖卷成圓柱，那么直線段AB就變成圓柱體側(cè)面上的曲線AB，小蟲(chóng)沿著這條曲線爬行是最短路線5要求A到C的最短路線，可以先把

4、立方體展開(kāi)，使它相鄰兩個(gè)面處于同一平面內(nèi)螞蟻從A到C有兩條路線可以選擇：（1）將朝上的一面與朝前的一面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，連結(jié)AC，則AC一定過(guò)中點(diǎn)B，如圖13-5假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位，則由勾股定理，得：AC2=2222=8（2）把朝前和朝右的一面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，連結(jié)AC，如圖13-6同樣可以求得AC2=12+（21）2=10比較兩種路線，由于8小于10，所以沿第一條路線從A到C的路線為最短，即圖13-21所示路線是螞蟻爬行的最短路線6、甲、乙兩村之間隔一條河，如圖131現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？分析：設(shè)甲、乙兩村分別用點(diǎn)A、B表示要在河上架橋，

5、關(guān)鍵是要選取一個(gè)最佳建橋的位置，使得從甲村出發(fā)經(jīng)過(guò)橋到乙村的路程最短即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長(zhǎng)（相當(dāng)于河的寬度），再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個(gè)求最短折線的問(wèn)題直接找出這條折線很困難，能否可以把它轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題呢？由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經(jīng)之路，且橋長(zhǎng)相當(dāng)于河寬，是一個(gè)定值，所以可以預(yù)先把這段距離扣除，只要使兩鎮(zhèn)到河邊橋頭的距離最短就可以了所謂預(yù)先將橋長(zhǎng)扣除，就是假設(shè)先走完橋長(zhǎng)，即先把橋平移到甲村，先過(guò)了橋，到C點(diǎn)，如圖132，找出C到B的最短路線，實(shí)際上求最短折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題解：如圖132過(guò)A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長(zhǎng)等于河寬

6、連BC交與乙村的河岸于F點(diǎn)，作EF垂直于河的另一岸于E點(diǎn)，則EF為架橋的位置，也就是AE+EF+FB是兩村的最短路線7、如圖133，A、B兩個(gè)學(xué)校都在公路的同側(cè)想在這兩校的附近的公路上建一個(gè)汽車站，要求車站到兩個(gè)學(xué)校的距離之和最小，應(yīng)該把車站建在哪里？8、如圖136，河流EF與公路FD所夾的角是一個(gè)銳角，某公司A在銳角EFD內(nèi)現(xiàn)在要在河邊建一個(gè)碼頭，在公路邊修建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運(yùn)到公路邊的倉(cāng)庫(kù)里去，然后返回到A處，問(wèn)倉(cāng)庫(kù)、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短分析：工人們從A出發(fā)先到河邊碼頭，再到公路的倉(cāng)庫(kù)，然后回到A處，恰好走一個(gè)三角形，現(xiàn)在要求三

7、角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別建在河岸與公路的什么位置能使這個(gè)三角形的三邊之和為最小，利用軸對(duì)稱原理作圖解：過(guò)A分別作河岸、公路的對(duì)稱點(diǎn)A、A，如圖137，連結(jié)AA，交河岸于M，交公路于N，則三角形AMN各邊之和等于直線AA的長(zhǎng)度，所以倉(cāng)庫(kù)建在N處，碼頭建在M處，使工人們所行的路程最短9、如圖138是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長(zhǎng)方體紙盒一只螞蟻要從A點(diǎn)出發(fā)在紙盒表面上爬到B點(diǎn)運(yùn)送食物，求螞蟻行走的最短路程分析：因?yàn)槭窃陂L(zhǎng)方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線問(wèn)題，往往可以轉(zhuǎn)化為平面上的最短路線問(wèn)題將螞蟻爬行經(jīng)過(guò)的兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖139，在展開(kāi)圖中，AB間的最短路線是連

8、結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線到達(dá)B點(diǎn)，需對(duì)它們進(jìn)行比較解：螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)，有三條路線可以選擇：（1）從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)， 將這兩個(gè)平面展開(kāi)在同一平面上，這時(shí)A、B間的最短路線就是連線AB，如圖139（1），AB是直角三角形ABC的斜邊，根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖139（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面，然后進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖139（3），得AB2=（2+

9、4）2+12=37比較這三條路線，25最小，所以螞蟻按圖139（1）爬行的路線最短，最短路程為5分米10、如圖1310，在圓柱形的木桶外，有一個(gè)小甲蟲(chóng)要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)已知A點(diǎn)到桶口C點(diǎn)的距離為14厘米，B點(diǎn)到桶口D點(diǎn)的距離是10厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)是7厘米如果小甲蟲(chóng)爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程是多少？分析：先設(shè)想將木桶的圓柱展開(kāi)成矩形平面，如圖1311，由于B點(diǎn)在桶內(nèi)，不便于作圖，利用軸對(duì)稱原理，作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B，這就可以用B代替B，從而找出最短路線解：如圖1311，將圓柱體側(cè)面展成平面圖形作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，AB是A、B兩點(diǎn)間的最短距

10、離，與桶口邊交于O點(diǎn)，則OB=OB，AB=AO+OB，那么A、B之間的最短距離就是AO+OB，所以小甲蟲(chóng)在桶外爬到O點(diǎn)后，再向桶內(nèi)的B點(diǎn)爬去，這就是小甲蟲(chóng)爬行的最短路線延長(zhǎng)AC到E，使CEBD，因?yàn)锳EB是直角三角形，AB是斜邊，EB=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根據(jù)勾股定理：AB2=AE2+EB2=242+72=625所以AB=25（厘米）即小甲蟲(chóng)爬行的最短路程是25厘米11、一個(gè)郵遞員投送信件的街道如圖141，圖上數(shù)字表示各段街道的千米數(shù)他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局問(wèn)走什么樣的路線最合理，全程要走多少千米？12、 圖143是一個(gè)城市道路圖，數(shù)字表示各段路的路程

11、（單位：千米），求出圖中從A到F的最短路程13、 某鄉(xiāng)有八個(gè)行政村，如圖144，點(diǎn)表示村的位置，線表示村與村之間的道路，路的長(zhǎng)度由線旁的數(shù)字表示現(xiàn)在要在這個(gè)鄉(xiāng)建立通訊網(wǎng)，沿道路架設(shè)電線，問(wèn)沿怎樣的路線架設(shè)電線最?。▎挝唬呵祝?？解：根據(jù)剪圈法將圈形網(wǎng)絡(luò)圖144轉(zhuǎn)化成了樹(shù)形網(wǎng)絡(luò)圖145，此網(wǎng)絡(luò)的總長(zhǎng)度為：13+12+4+6+16+8=69（千米）由于通訊線路是雙線，所以電線的總長(zhǎng)度為69×2=138（千米）14、仍取圖144中八個(gè)行政村的位置和線路圖，鄉(xiāng)政府要在全鄉(xiāng)沿村與村之間的道路挖渠修道，建立排灌系統(tǒng)全鄉(xiāng)的地勢(shì)是西高東低，即A村最高，依次為B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，問(wèn)

12、沿什么路線修道最合理？分析：由題意，要確定一條合理的挖渠路線，而且要省工省料，并符合“水往低處流”的客觀規(guī)律由于所修水渠是連通的，渠道可以看作是網(wǎng)絡(luò)，而且也是樹(shù)形網(wǎng)絡(luò)只是在本題中增加了“地勢(shì)不同”這一條件，所以，力求樹(shù)形網(wǎng)絡(luò)總長(zhǎng)盡可能短的情況下，所求的樹(shù)形網(wǎng)絡(luò)的方向應(yīng)該是由西向東，以A為起點(diǎn)，以距離A最遠(yuǎn)的D為終點(diǎn)采取“取短法”，所謂取短法就是剪去長(zhǎng)線，留取短線并根據(jù)方向的限制，從地勢(shì)最低點(diǎn)開(kāi)始考慮（也可從其它點(diǎn)入手考慮）D的臨近點(diǎn)有E、H、C，它們都比D地勢(shì)高，所以，這三點(diǎn)處的水都可以流入D，則只需取一條最短的即可，ED=16最短，留ED，將HD、CD去掉再看C點(diǎn)，有兩條通道HC、BC（這里所說(shuō)的通道是指地勢(shì)高的點(diǎn)通向地勢(shì)低的點(diǎn)的道路），HC比BC短，去掉BC，保留HCE點(diǎn)有三條通道FE、GE、HE，其中HE最短，保留HE，去掉FE、GEH點(diǎn)有兩條通道BH、GH，其中GH最短，保留GH，去掉BH，最后