利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線

1、利用與數(shù)求曲線的切線和公切線一.求切線方程，【例1】.已知曲線f(x)=x 3-2x2+1.(1)求在點(diǎn)P (1,0)處的切線li的方程； 求過點(diǎn)Q (2,1)與已知曲線f(x)相切的直線12的方程.提醒：注意是在某個(gè)點(diǎn)處還是過某個(gè)點(diǎn)！二.有關(guān)切線的條數(shù)【例2】.(2014?北京)已知函數(shù)f (x) =2x3- 3x.(I )求f (x)在區(qū)間-2, 1上的最大值；(II)若過點(diǎn)P (1, t)存在3條直線與曲線y=f (x)相切，求t的取值范圍； (m)問過點(diǎn) A(- 1, 2) , B (2, 10) , C (0, 2)分別存在幾條直線與曲線 y=f (x)相切？(只需寫出結(jié)論)【例3】

2、.已知函數(shù)f (x) =lnax (aw0, aC RO ,晨工)二Wlk. x(I)當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1+ef(x'+g (x) >0；(H)若f (x) >g (x) (x>1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(田)當(dāng)a=1時(shí)，記h (x) =f (x) - g (x),過點(diǎn)(1, - 1)是否存在函數(shù)片h (x)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由.【解答】解：(I)當(dāng)a=3時(shí)，原不等式可化為：1+e1n3xKl>0； x等價(jià)于，"3" K 。，解得x>!,故解集為(L +8) 3a>033(R) , n

3、ax)1 對(duì) X1 包成立，所以XXX令h(x)=-Inx, h'(工)y二*C0(k>1), xJ x可得h (x)在區(qū)間1 , +oo)上單調(diào)遞減，故h (x)在x=1處取到最大值，故1na >h (1) =0,可得a=1,故a的取值范圍為：1, +00)(m)假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)切點(diǎn) t (xo,3工口), ° X。乂 1X 1(/ _1 ) 2切線方程：y+1=、GT),將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得：In孫一+1二口 .Xo0 X0I_31_即 InK口H廣1 :0 ,設(shè) g (x) =lmt+工一則(x)二)T)尸) X KX,. x>0, g (x)在區(qū)間

4、(0, 1) , (2, +8)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1, 2) 上是減函數(shù)，故 g (x)極大=g (1) =1 >0,故 g (x)極，小=g (2) =1n2+5>0,.又 g，)=ln1+12- 6- 1 = - 1n4 - 3<0,由g (x)在其定義域上的單調(diào)性知：g (x) =0僅在(1,1)內(nèi)有且僅有一根，方程有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條.【作業(yè) 1】.(2017?莆田一模)已知函數(shù) f (x) =2x3 3x+1, g (x) =kx+1 Inx . fffv) y<1(1)設(shè)函數(shù)h&)二 '、，當(dāng)k<0時(shí)，討論h (

5、x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若過點(diǎn)P (a, -4)恰有三條直線與曲線y=f (x)相切，求a的取值范圍.三.切線與切線之間的關(guān)系【例4】.(2018?綿陽模擬)已知a, b, cCR,且?f足b2+c2=1,如果存在兩條 互相垂直的直線與函數(shù)f (x) =ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則a+/2b+Vsc 的取值范圍是 解： f '(I 【例5】.已知函數(shù)f (x) =lnx - a (x- 1) , g (x) =ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的 底數(shù). (I)設(shè)工 E (0, +8),求函數(shù) t (x)在m, m+1 (m> 0)上的 最小值;(H)過原點(diǎn)分別作曲線y=f (

6、x)與y=g (x)的切線1i, l2,已知兩切線的斜 率互為倒數(shù)，求證：a=0 或. ee) = a + ftcosx-csin x= a +"* +c2 cos(x += a +cos(x + p)令 + 尹=9,則H+> = q, &+9二區(qū).fx) - ti + cos山題意，存在士,5e我使得尸&)尸(x)=Ti即g+cosqxu+c0s4)=-1，即關(guān)廿的二次方程。、(cos自 + cos&2)a + coscos02 +1 = 0 (*)有實(shí)根所以 A = (co導(dǎo)自十 cog 仇)* 一 4cos億 35&-4 > 0 =&

7、gt; (cos- cos 02)2 > 4所以 cosq 8S© 之 2 ,又 |co$q-8他區(qū) 2 r 所以|cosq-cos刃=2所以co與q=i,s與%=-i此時(shí)方程(*)變?yōu)? = 0=0=0則a+伍+73c = V2b+V3c, b2+c2=1,，設(shè)b = sinp,a =cosB ,0b + 73c = /5sin( B +2 ,故 a+V2b+V3c C -掂 西，【解答】(I)解：t (k) W，xE(O，+8),=工巳"尸令 t' (x) >0得乂>1,令 t' (x) <0得乂<1,所以，函數(shù)t (x)在

8、(0, 1)上是減函數(shù)，在(1, +°°)上是增函數(shù)，.二當(dāng) m> 1 時(shí)，t (x)在m, m+1 (no0)上是增函數(shù)，. =t (m)= minm當(dāng)0<m< 1時(shí)，函數(shù)t (x)在m, 1上是減函數(shù)，在1 , m+1上是增函數(shù)，t (x) min=t (1) =e.(H)設(shè)12的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2, V力，貝環(huán)=/2, k2二屋(z2)=eXz=2k2 - x2=1, y2=e - k2=e.由題意知，切線11的斜率卜1=?二工，.切線l 1的方程為 1 k2 ey=K,設(shè) l 1 與曲線 y=f (x)的切點(diǎn)為(x1，y), e11 x

9、 1 e X1又 y二lnx 1 a （x1 一 1）,消去 y1, a 后整理得n 工 1 -1 =0 , a二1一 1 x! eX!令貝Um'（。二 ，二尺）,，- m （x）在（0, 1）上單調(diào)遞減，在（1, +00）上單調(diào)遞增，若 x1 C （0, 1）,m（工）=-2+巳>。，m（l）二 x 1 E A, 1）, eee1 e2而-在（L i）單調(diào)遞減，x! e eee若 x1 C （1, +oo），= m （x）在（1, +00）上單調(diào)遞增，且 m （e） =0,C11 Ax1二e,x e綜上,a=0.ee【作業(yè)2】.(2017?黃山二模)已知函數(shù)f (x) = (a

10、x2.2.33+x-1) ex+f (0).(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2)若 g (x) =e xf (x) +lnx , h (x) =ex,過 O (0, 0)分別作曲線 y=g (x)與y=h(x)的切線l i, 12,且l i與12關(guān)于x軸對(duì)稱，求證：-(日1)<a< -且2 . 22四.求公切線的方程9 22【例6】.(2018?安陽一模)已知函數(shù)二今_+J, g (x) =3e1nx ,其中e e x為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.(H)試判斷曲線y=f (x)與y=g (x)是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公切當(dāng) 乂4 且 xw0 時(shí)，f

11、' (x) <0；當(dāng) X.f (x)在(-8, 0)上單調(diào)遞減，在(0,時(shí)，f ' (x) >0.上單調(diào)遞減，在 1+8)上線.若存在，求出公切線1的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.19單調(diào)遞增;(H)假設(shè)曲線y=f (x)與y=g (x)存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處有公切線，且切 點(diǎn)橫坐標(biāo)為x°> 0,2卷+三一3目Inx。(1)'f(x0)=gt z0)(沏)=/ (叼)'k 04 T 2口，其中(2)式即出號(hào)二四e x02 行記 h(x)=4x【解答】解：(I)由+ ,得廣(K)二生壬二4K 一：, e xe x2 ex2令f '

12、 (x) =0,得. 3e2xe3,x (0,+oo),貝(Jh'(x)=3(2x+e)(2x e),得h (x)在(0,上單調(diào)遞減，在 % +8)上單調(diào)遞增，又 h (0) =-e3, h盧h (e)=。，2故方程h (xo) =0在(0, +00)上有唯一實(shí)數(shù)根xo=e,經(jīng)驗(yàn)證也滿足(1)式.于是，f (xo) =g (xo) =3e, f' (xo) =g' (xo) =3,曲線y=g (x)與y=g (x)的公切線l的方程為y-3e=3 (x-e),即 y=3x.【作業(yè)3】.已知函數(shù)f (x) =lnx , g (x) =2- (x>O) x(1)試判斷當(dāng)

13、f (x)與g (x)的大小關(guān)系；(2)試判斷曲線y=f (x)和y=g (x)是否存在公切線，若存在，求出公切線 方程，若不存在，說明理由；(3)試比較 (1+1X2) (1+2X 3)(1+2O12X2O13)與 e4o21 的大小，并寫 出判斷過程.五.與公切線有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題【例 7.已知函數(shù) f (x) =blnx , g (x) =ax2-x (aCR).(I)若曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)A (1, O)處有相同的切線，求實(shí)數(shù) a、 b的值；(H)當(dāng)b=1時(shí)，若曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求證：點(diǎn)P唯一；(田)若a>O, b=1,且曲線f

14、 (x)與g (x)總存在公切線，求正實(shí)數(shù) a的最 小值.【解答】解：(I) f' (x)立，g' (x) =2ax- 1. x 曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)A (1, O)處有相同的切線，' 晨 1)=a-l=0 ,解得 a=b=1.Lb=2a-1(H )設(shè) P (xo, yo),則由題設(shè)有 Inx o=axo2 xo，又在點(diǎn) P有共同的切線，. f ' (xo) =g' (xo) , =2axc-l,xo1+孫，、11a=工,代入得 lnx o=7-xo,設(shè) h (x) =lnx -y+-x,貝U h'(x)4V(x>0),貝Uh

15、'(x)>0, h (x)在(0, +oo)上單調(diào)遞增，所以h (x) =0最多只有1個(gè)實(shí)根，從而，結(jié)合(1)可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)P只能是P (1, 0) .(田)當(dāng) a>0, b=1 時(shí)，f (x) =lnx , f' (x)=,f (x)在點(diǎn)(t, Int )處的切線方程為 y - lnt= (x-1),即yx+lnx - 1. tt與丫=2乂2-x,聯(lián)立得 ax2- (1立)x - lnt+1=0 .,曲線f (x)與g (x)總存在公切線，關(guān)于 t (t >0)的方程 = (1今)2+4a (lnt 1) =0,即(lJ)2=4a (1-lnt ) (*

16、)總有解.若t>e,則1 - lnt <0,而(1彳)2>0,顯然(*)不成立，所以0<t<e,2從而，方程(*)可化為4a=口+t).t (1-lnt)t)l+t)nt+Ll)2令 H (t)=) (0<t <e) , WJ H， 12(1-lnt) 當(dāng) 0Vt <1 時(shí)，h' (t ) <0；當(dāng) 1<t <e 時(shí)，h' (t) >0,即h (t)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在(1, e)上單調(diào)遞增.h (t)在(0, e)上的最小值為h (1) =4,.要使方程(*)有解，只須4a>4,即a>

17、1.正實(shí)數(shù)a的最小值為1.【例8】.(2017?韶關(guān)模擬).已知函數(shù)f (x) =aex (aw0) , g (x) =x2(I)若曲線c： y=f (x)與曲線C2： y=g (x)存在公切線，求a最大值.(H)當(dāng) a=1 時(shí)，F(xiàn) (x) =f (x) bg (x) cx 1,且 F (2) =0,若 F (x) 在(0, 2)內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍.【解答】解：(I)設(shè)公切線l與ci切于點(diǎn)(xi, a/i)與C2切于點(diǎn)(x2,町2),f' (x) =aex, g' (x) =2x,ae1 = 2叼z2ae f2,由知 乂2*0,代入： 一二2x2,即 X2=2x2,

18、一今2的x 1 x_由知 a=,設(shè) g (x) ='k 4 , g (x) =' '上 ,e 1ee令 g' (x) =0,得 x=2;當(dāng) x<2 時(shí) g' (x) >0, g (x)遞增.當(dāng) x>2 時(shí)，g' (x) <0, g (x)遞減.；x=2 時(shí),g (x) ma=g (2) =,ama=-.ee(H ) F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1=ex - bx2 - cx - 1,= F (2) =0=F (0),又 F (x)在(0, 2)內(nèi)有零點(diǎn)，F(xiàn) (x)在(0, 2)至少有兩個(gè)極值點(diǎn)

19、，即F' (x) =ex-2bx-c在(0, 2)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).2_F" (x) =ex - 2b, F (2) =e2 - 4b - 2c- 1=0, c=e ,當(dāng)”護(hù)，在(0, 2)上，exL, F(x)0，.F (x)在(0, 2)上單調(diào)增，F(xiàn)' (x)沒有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng) b£時(shí)，在(0, 2)上，ex<e202b, ；F (x) <0,2F (x)在(0, 2)上單調(diào)減，F(xiàn)' (x)沒有兩個(gè)零點(diǎn)；1 2當(dāng) 上<b<時(shí)，令 F" (x) =0,彳4 x=ln2b ,2 2因當(dāng) x>ln2b 時(shí)，F(xiàn) (x

20、) >0, x<ln2b 時(shí)，F(xiàn) (x) <0,F (x)在(0, ln2b)遞減，(ln2b, 2)遞增，21所以 x=ln2b 時(shí)，.F' (x)最b=F' (ln2b ) =4b 2bln2b - -+i,2 221設(shè) G (b) =F' (ln2b) =4b-2bln2b - J+匕2 2令 G' (b) =2-2ln2b=0,得 2b=e,即b=,當(dāng) b<J時(shí)G'(b)>0;當(dāng)b> 旦時(shí)，G'(b)<0,222當(dāng) b=77時(shí)，G (b)最=G (-|-) =e+內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),G (b) =f&#

21、39; (ln2b) <0 包成立， 因 F' (x) =ex-2bx-c 在(0, 2)f2 dFy (O)=l-c=l-e>02+.F (In2a)=2b-2bln2b<0, -w(2)=e2-4b->0L乙22解得：J_zl<b<J_LL, 4422綜上所述，b的取值范圍(是乜，至昔).【作業(yè) 4】,已知函數(shù) f (x) =a (x - ) blnx (a, b RO , g (x) =x2. x(1)若a=1,曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與y軸垂直，求b的值；(2)若b=2,試探究函數(shù)f (x)與g (x)在其公共點(diǎn)處是否

22、有公切線，若存在，研究a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.六.公切線的條數(shù)問題【例9】.已知函數(shù)f (x) =lnx , g (x) =ex.(1)確定方程f (x)三內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；x-1(2)我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線，試確定曲線y=f(x) , y=g (x)公切線的條數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解答】解：(1)由題意得lnx=±L=1+-?-,X-l K-1分別作出y=lnx - 1和y的函數(shù)圖象，由圖 x-1象可知：y=lnx - 1和丫二二一的函數(shù)圖象有兩個(gè)交 x-1點(diǎn)，方程f (x)三中有兩個(gè)實(shí)根；x-1(2)解：曲線y=f (x) , y=g (x)公切

23、線的條數(shù)是2,證明如下：設(shè)公切線與f(x)=lnx , g (x)=ex的切點(diǎn)分別為(mlnm),(n,en),廿n,f' (x) =1, g' (x) =ex, x(1 n =e mn ,化簡(jiǎn)得(m-1) lnm=m+1, Inm-eL mF m當(dāng) m=1 時(shí)，(m- 1) lnm=m+1 不成立；當(dāng) m 1 時(shí)，(m 1) lnm=m+1 化為 lnm=L, in-1由(1)可知，方程lnm=Ut1有兩個(gè)實(shí)根，m-1:曲線y=f (x) , y=g (x)公切線的條數(shù)是2條.【作業(yè) 5】,已知函數(shù) f (x) =x2+2 (1 a) x4a, g (x)(a+1) 2,貝

24、f(x)和g (x)圖象的公切線條數(shù)的可能值是 .【作業(yè) 1 解答解：(1) f ' (x) = (2x+1) (x1) 2=0, x=工或 1, x= 2- 1是h (x)的零點(diǎn);. g' (x) =k-, xk<0, g' (x) <0, g (x)在1 , +00)上單調(diào)遞減，g (x)的最大值為g (1)=k+1.k< - 1, g (1) <0, g (x)在1 , +oo)上無零點(diǎn)；k=-1, g (1) =0, g (x)在1 , +oo)上有 1 個(gè)零點(diǎn)；- 1<k<0, g (1) >0, g (e1 k) =

25、ke1 k+k<0, g (x)在1 , +8)上有 1 個(gè)零 點(diǎn)；綜上所述，k<-1時(shí)，h (x)有1個(gè)零點(diǎn)；-1&k<0時(shí)，h (x)有兩個(gè)零點(diǎn)； (2)設(shè)切點(diǎn)(t, f (t) ) , f' (x) =6x2-6x, 切線斜率 f' (t) =6t2-6t, 切線方程為 y- f (t) = (6t2-6t) (x-t),2- 切線過 P (a, -4) ,- 4-f (t ) = (6t -6t) (a-t),- 4t3 3t2- 6t2a+6ta 5=0由題意，方程有3個(gè)不同的解.令 H (t) =4t3- 3t2- 6t2a+6ta -5,

26、貝U H' (t) =12t2-6t - 12at+6a=0. t=工或 2a.a=1時(shí)，H' (t) >0, H (t)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，H (t)不可能有兩個(gè)零點(diǎn), 2方程不可能有兩個(gè)解，不滿足題意；a>!時(shí)，在(-8,工)，(a, +8)上，h' (t) >0,函數(shù)單調(diào)遞增，在(1,222a)上，H' (t) <0,函數(shù)單調(diào)遞減，H (t)的極大值為H(),極小值為H 2(a)；a<工時(shí)，在(-°°, a) , (,L, +oo)上，h' (t) >0,函數(shù)單調(diào)遞增，在(a, 22工)上，H

27、' (t) <0,函數(shù)單調(diào)遞減，H (t)的極大值為H (a),極小值為H 2弓)；要使方程有三個(gè)不同解，則 HI (-) H (a) <0,即(2a-7) (a+1) (2a2- 25a+5) >0,.a>或 a< - 1.2【作業(yè)2解答】解：由已知得f (x) =ax2+ (2a+1) xex, f (0) =0,所以f(x) = (ax2+x - 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1) xex=x (ax+2a+1) ex.若a>0,當(dāng)犬<2或x>0時(shí)，f (x) >0；當(dāng)-22<k<0時(shí)，f

28、(x) <aa0,所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 e, -2),(o, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間為a(-2-* 0). a若 a=0,f(x)=(x1)ex,f (x) =xex,當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)>0；當(dāng) x<0 時(shí)，f (x) <0,所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(2,0).若卷<0<0,當(dāng)X>-2或 x<0 時(shí)，f (x) <0;當(dāng)0<K<-2時(shí)，f (x)0,所以f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為。- 2);單調(diào)遞減區(qū)間為y, o),(氣工 +8).a若行L, F G)二斗工2匚區(qū)0，故

29、f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為+OO).22若當(dāng)犬2或x0時(shí)，f (x) 0；當(dāng)-2-工0時(shí)，f (x) 2aa0,所以f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2-L，0);單調(diào)遞減區(qū)間為 a(g, -23，(0, +8).a當(dāng)a0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(tq, -24),(0, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間a為(-2* 0)-a當(dāng)a=0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +00)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-°°, 0).,當(dāng) a40時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3, -2,)；單調(diào)遞減區(qū)間為2a(9, 0),+8).a當(dāng)a二Tj時(shí)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-°°,

30、+oo)；當(dāng)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為0);單調(diào)遞減區(qū)間為(-，-2 ), 2aa(0, +00)；(2) 證明：g (x) =e xf (x) +lnx= - e x (ax2+x-1) ex+lnx=ax 2+x-1+lnx ,設(shè)12的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2, v2 ，貝肛二k?二/£上2，所以x2=1,k2y2=e, k2=e.由題意知k尸-k2=-e,所以11的方程為y= - ex,設(shè)1 i與y=g (x)的切點(diǎn)為(x1, y。，貝Uk尸屋('，二2以篁1+14二& 1詈、.1 11勺勺2町2工j又 第二ax ；+x +T+ln 町二-e* ， 即告

31、工+lnx 尚七。， 令/ % e+13 j f _e+l , 1u(。)二 g x+lnx-y* u (x)-, -wLf X在定義域上，u' (x) 0,所以(0, +oo)上，u (x)是單調(diào)遞增函數(shù)，又 u(l)二片/"。, u()=+ln。，所 以 uu(，即/e+1Je+1e+1e+1令< 町 < 1 ,1町"二,3(t)=。t 2+(e+l) t eZ(e+1 尸2e2【作業(yè)3解答解：(1)證明：設(shè)F (x) =f (x) - g (x),則F' (x)由 F' (x) =0,彳4x=3,當(dāng) 0Vx<3 時(shí)，F(xiàn)'

32、; (x) <0,當(dāng)x>3時(shí)F' (x) >0,可得F (x)在區(qū)間(0, 3)單調(diào)遞減，在區(qū)間(3, 十 8)單調(diào)遞增，所以F (x)取得最小值為F (3) =ln3 - 1>0,F (x) >0,即 f (x) >g (x);(2)假設(shè)曲線f (x)與g (x)有公切線，切點(diǎn)分別為 P (xo, Inxo)和Q (xi,2 -且).因?yàn)?f' (x),，g' (x) =4, V_工所以分別以P (x。,lnx o)和Q(xi, 2-)為切線的切線方程為 y=-+lnx o- 1, 町F3工八 6y=-7+2-.R 引1 二 3x0

33、 x j2lnx0-l=2-,即 21nx i-(3+ln3) =0.zlIf令 h (x) =2lnxiq-(3+ln3).X1 96 一所以由 h ( x)=0, 44 xi=3.町Xi顯然，當(dāng) 0<xi<3 時(shí)，h' (x) <0,當(dāng) xi>3 時(shí)，h' (x) >0,所以 h (x) min=ln3 1 >0,所以方程 2lnxi+-L (3+ln3) =0 無解, X1故二者沒有公切線.所以曲線y=f (x)和y=g (x)不存在公切線；(3) (1+1X2) (1+2X3) ?？( 1+2012X2013) >e4021.理

34、由：由(1)可得 lnx >2 (x>0),x可令 x=1+n (n+1),可得 ln (1+n (n+1) ) >2 >2 -l+n(n+l) n(n+l)1n+1則 ln (1+1X2) +ln (1+2X3) + +ln (1+2012X 2013)>2X2012- 3 (1-+1+-) =4024- 3>4021.2 2 32012 20132013即有(1+1X2) (1+2X 3)( 1+2012X2013) >e4°21.【作業(yè) 4 解答解：(I) f (x) =x - - - blnx ,x(x) =1凸-£J X由

35、于曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即f' (1) =0,即1+1-b=0,b=2;(2)假設(shè)f (x) , g (x)的圖象在其公共點(diǎn)(xq, y°)處存在公切線,由 f (x) =a (x- -) 2lnx，得 f' (x)一"一濘*,g' (x) =2x, Y_ 2由 f ' (xo) =g' (xo),得 廣=2xo, 即 2xo3 - axo2+2xo - a=0,即(xo2+1) (2xo-a) =0,則 xo,2又函數(shù)的定義域?yàn)?0, +8),當(dāng)a00時(shí)，xo=-|-<

36、0,則f (x) , g (x)的圖象在其公共點(diǎn)(xo, yo)處不存在公切線;21n m2=月一,24當(dāng)a>0時(shí)，令f (旦)=g (2)，工222即三fl=ln且，822_o令 h (x)=工 b - ln , (x>0),則 h（x）在（0, 2）遞減，（2, 9 遞增.且 h（2）=3<0,且當(dāng) X一0 時(shí)，h （x） 一+OO；當(dāng) x一+00時(shí)，h （x） 一+oo, .h （x）在（0, +oo）有兩個(gè)零點(diǎn)，萬程2_L=1n且在（0, +oo）解的個(gè)數(shù)為2. 82綜上：當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)f （x）與g （x）的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f

37、（x）與g （x）的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，a的值有2個(gè).在導(dǎo)數(shù)的練習(xí)中，常見這一類題型：已知含有/'（父）的一個(gè)不等式，以及 /（）的一些其他性質(zhì)，讓解不等式或者比較大小。這類題型的常用思路是emph構(gòu)造函數(shù),下面舉例說明。1 . /（£ 1是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)廠 >p時(shí)，/+1）工）+力/（工） v o且八-9=o 則不等式/（£）> “的解集是（）+oc）PLOj-U（L+）C（-oo. - 1）Z?.( oo, - 1) U (0. 1 i分析：觀察條件給的不等式一 + 1)+ 2z/(.r) 0,它的左邊是9(注)=1)/11)的導(dǎo)函數(shù)

38、。故構(gòu)造 ,并把題中/(?)的其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化成q(；r)的性質(zhì)，把要求解的不等式也轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式。解答:令小)=+ 1) /，:當(dāng)w 。時(shí)/或=(7 + 1) r+ 2工/、'由/3k奇函數(shù)得g(r)也是奇函數(shù)，由八一1.)=。得。(- 1) =可得處”的“草圖”如下：而不等式/ ) ”等價(jià)于“3 。由“草圖”易知解集為-8, -i)u (o, ij,選Q拓展：怎樣構(gòu)造出合適的函數(shù)呢？ 一般考慮一下三個(gè)模型:/)=，曰1"+門力特別地，當(dāng)以=1時(shí),有"企)Y = /+/廣；當(dāng)H = -1時(shí)，有工)_工尸(工)一/工)T )工*產(chǎn)產(chǎn)*-二巴以特別地，當(dāng)值=1時(shí)，有口

39、產(chǎn)."上“一"()+ /(');當(dāng)” =1時(shí)，有（“/1=巴1/工l«/U） +的/+"Q）我們可以對(duì)比這三個(gè)模型求導(dǎo)后的形式與題中給出不等式的形式，確定H或者E。下面再舉幾個(gè)例子：2 .已知函數(shù)/（T）的定義域?yàn)镽%/1-1） = 2,對(duì)任意1- e r, rs） > 2,則不等式）紅+ 4的解集是（）樂（-L1）(37( L +x)分析：觀察條件中給出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以構(gòu)造gr） = f3一 2一 4。再把/1f%勺其他性質(zhì)也都轉(zhuǎn)化成“上1的性質(zhì)。解答：構(gòu)造亦1= ,門上電.二4則/但=:_ 2>q,血三）湎上遞增。由/& 1） = 2知,。（一。=0,而不等式/> 2上+ 4即為“ 沙工解集為"L +艾）,選13 o3.已知,（工為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且?。?duì)于工ZTR恒成立，且七為自然對(duì)數(shù)的底,4Ml頌 網(wǎng)2012萬產(chǎn)巴強(qiáng)）叵H1）。二型）2012）”叫旭/(201