土木工程測(cè)量-第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

1、第五章第五章 測(cè)量誤差測(cè)量誤差土 木 工 程 測(cè) 量土 木 工 程 測(cè) 量教學(xué)課件的基本知識(shí)的基本知識(shí)通過(guò)前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測(cè)量方法，通過(guò)前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測(cè)量方法，對(duì)測(cè)量過(guò)程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識(shí)。本章集中講述對(duì)測(cè)量過(guò)程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識(shí)。本章集中講述有關(guān)測(cè)量誤差的基本知識(shí)，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和有關(guān)測(cè)量誤差的基本知識(shí)，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和直接觀測(cè)平差。直接觀測(cè)平差。5 測(cè)量誤差的基本知識(shí)測(cè)量誤差的基本知識(shí)對(duì)未知量進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程，稱為對(duì)未知量進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程，稱為觀測(cè)觀測(cè)。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為

2、。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為觀測(cè)值觀測(cè)值。進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，觀測(cè)值之間往往存在差異。這種差異實(shí)。進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，觀測(cè)值之間往往存在差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為質(zhì)上表現(xiàn)為觀測(cè)值觀測(cè)值與其與其真實(shí)值真實(shí)值( (簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為真值真值) )之間的差異，這種差異之間的差異，這種差異稱為稱為測(cè)量誤差測(cè)量誤差 或或 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差。5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.1 5.1.1 觀測(cè)及觀測(cè)誤差觀測(cè)及觀測(cè)誤差觀測(cè)觀測(cè)觀測(cè)值觀測(cè)值用用L Li i代表觀測(cè)值，代表觀測(cè)值，X X代表真值，則有代表真值，則有i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1)式中式中i i就是就是觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差，通常稱為，通常稱為 真

3、誤差真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。，簡(jiǎn)稱誤差。真誤差真誤差一般情況下，只要是觀測(cè)值必然含有誤差。一般情況下，只要是觀測(cè)值必然含有誤差。5 測(cè)量誤差的基本知識(shí)測(cè)量誤差的基本知識(shí)觀測(cè)誤差來(lái)源于三個(gè)方面：觀測(cè)誤差來(lái)源于三個(gè)方面：儀器、工具的精密程度；儀器、工具的精密程度；觀測(cè)者視覺(jué)鑒別能力和技術(shù)水平；觀測(cè)者視覺(jué)鑒別能力和技術(shù)水平；觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果的精度。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為的精度。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不相；觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為

4、同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)非等精度觀測(cè)。5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.2 5.1.2 觀測(cè)誤差的來(lái)源觀測(cè)誤差的來(lái)源觀測(cè)條件觀測(cè)條件一般認(rèn)為，在測(cè)量中人們總希望測(cè)量誤差越小越好，甚至趨近一般認(rèn)為，在測(cè)量中人們總希望測(cè)量誤差越小越好，甚至趨近于零。于零。在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測(cè)量目的，允許含有一定程度的誤差在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測(cè)量目的，允許含有一定程度的誤差根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即種，即=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤

5、差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法粗差粗差是一種大級(jí)量的觀測(cè)誤差，例如超限的觀測(cè)值中往是一種大級(jí)量的觀測(cè)誤差，例如超限的觀測(cè)值中往往含有粗差。粗差也包括測(cè)量過(guò)程中各種失誤引起的誤差。往含有粗差。粗差也包括測(cè)量過(guò)程中各種失誤引起的誤差。產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障等。障等。含有粗差的觀測(cè)值都不能使用含有粗差的觀測(cè)值都不能使用。在觀測(cè)中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差。在觀測(cè)中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進(jìn)行必要的，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進(jìn)行必要的重復(fù)重復(fù)觀測(cè)，通過(guò)多余觀測(cè)條觀測(cè)，通過(guò)多余觀測(cè)條件，采用必

6、要而又嚴(yán)密的件，采用必要而又嚴(yán)密的檢核檢核、驗(yàn)算驗(yàn)算等。等。=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大系統(tǒng)誤差具有積累性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大。5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在觀

7、測(cè)方法和觀測(cè)程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)在觀測(cè)方法和觀測(cè)程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響誤差的影響。如角度測(cè)量中盤左、盤右觀測(cè)，水準(zhǔn)測(cè)量中限制前后。如角度測(cè)量中盤左、盤右觀測(cè)，水準(zhǔn)測(cè)量中限制前后視視距差等。視視距差等。找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正改正。如對(duì)距離觀測(cè)值進(jìn)行尺長(zhǎng)改正、溫度改正和傾斜改正，對(duì)豎。如對(duì)距離觀測(cè)值進(jìn)行尺長(zhǎng)改正、溫度改正和傾斜改正，對(duì)豎直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。有的系統(tǒng)誤差既不便計(jì)算改。有的系統(tǒng)誤差既不

8、便計(jì)算改正，又不能采用一定的觀測(cè)方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管正，又不能采用一定的觀測(cè)方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管水準(zhǔn)器軸水準(zhǔn)器軸不垂直于不垂直于儀器豎軸儀器豎軸的誤差對(duì)水平角的影響，對(duì)于這類系統(tǒng)的誤差對(duì)水平角的影響，對(duì)于這類系統(tǒng)誤差，則只能按規(guī)定的要求對(duì)儀器進(jìn)行精確檢校，并在觀測(cè)中仔細(xì)誤差，則只能按規(guī)定的要求對(duì)儀器進(jìn)行精確檢校，并在觀測(cè)中仔細(xì)整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。偶然誤差偶然誤差在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。時(shí)，符號(hào)和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤

9、差。5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的不固定的和和難以控制難以控制的，如觀測(cè)者的，如觀測(cè)者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境也的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境也會(huì)產(chǎn)生偶然誤差。會(huì)產(chǎn)生偶然誤差。粗差粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而能夠加以改正，而偶然誤差偶然誤差是不可避免是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值中

10、占主導(dǎo)地位觀測(cè)值中占主導(dǎo)地位從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于角。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值真值180180( (表表5-1)5-1)5.1 觀測(cè)誤差概

11、述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法從表從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過(guò)率相近，最大誤差不超過(guò)16。統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：特性特性1 在一定觀測(cè)條件下的有限

12、個(gè)觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。不超過(guò)一定的限值。(范圍范圍)特性特性2 絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小?，F(xiàn)的頻率小。(絕對(duì)值大小絕對(duì)值大小)特性特性3 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。(符號(hào)符號(hào))特性特性4 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為0，即即(抵償性抵償性)(5-3)本章此處及以后本章此處及以后“ ”表示取括號(hào)中下標(biāo)變量的代數(shù)和，即表示取括號(hào)中下

13、標(biāo)變量的代數(shù)和，即i=(5-3) 0limlim21nnnnn5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法用用圖示法圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間與區(qū)間d的比值為縱坐標(biāo)，如圖的比值為縱坐標(biāo)，如圖5-1所示。這種圖稱為所示。這種圖稱為頻率直方圖頻率直方圖。5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)可以設(shè)想，當(dāng)誤差

14、個(gè)數(shù)n，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間d，圖，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該所示。該曲線稱為曲線稱為誤差分布曲線誤差分布曲線。其函數(shù)式為：其函數(shù)式為：(5-4)22221)(efy即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)均為橫坐標(biāo)的函的函數(shù)。數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差大小反映觀測(cè)精大小反映觀測(cè)精度的高低，定義為：度的高低，定義為：(5-5)nn2lim上式可知，上式可知，的大小決定的大小決定于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值的大小。的絕對(duì)值的大小。2222

15、1e5.1 觀測(cè)誤差概述觀測(cè)誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測(cè)誤差的分類及其處理方法觀測(cè)誤差的分類及其處理方法在圖在圖5-1中各矩形的中各矩形的面積是頻率面積是頻率k/n。由概率。由概率統(tǒng)計(jì)可知，頻率統(tǒng)計(jì)可知，頻率k/n就是就是真誤差出現(xiàn)在區(qū)間真誤差出現(xiàn)在區(qū)間d上上的概率的概率p()(圖圖5-2)，記，記為：為：(5-6) dfdpdnk式式(5-4)和式和式(5-6)中中f()是誤差分布的概率的是誤差分布的概率的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)密度函數(shù)。22221e5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量所進(jìn)行的一組觀測(cè)，對(duì)應(yīng)著同一在相同觀測(cè)條

16、件下，對(duì)某一量所進(jìn)行的一組觀測(cè)，對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，都種誤差分布，因此，這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，都具有同樣的精度具有同樣的精度。為了衡量觀測(cè)值的精度高低，顯然可以用前一節(jié)方法，為了衡量觀測(cè)值的精度高低，顯然可以用前一節(jié)方法，繪出頻率直繪出頻率直方圖或誤差分布表加以分析來(lái)衡量方圖或誤差分布表加以分析來(lái)衡量。但這樣做實(shí)際應(yīng)用十分不便，。但這樣做實(shí)際應(yīng)用十分不便，又缺乏一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)于精度的數(shù)值概念。這個(gè)數(shù)值應(yīng)該能反映誤差又缺乏一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)于精度的數(shù)值概念。這個(gè)數(shù)值應(yīng)該能反映誤差分布的分布的密集密集或或離散離散程度，即應(yīng)程度，即應(yīng)反映其離散度的大小反映其離散度的大小，作

17、為衡量精度，作為衡量精度的指標(biāo)。的指標(biāo)。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1 5.2.1 中中 誤誤 差差由式由式(5-5)定義的定義的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但那是理論上是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但那是理論上的表達(dá)式。在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無(wú)限多，因此實(shí)際應(yīng)用中的表達(dá)式。在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無(wú)限多，因此實(shí)際應(yīng)用中定義定義中誤差中誤差m作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)：(5-7)nm2在式在式(5-4)中，當(dāng)中，當(dāng)=0時(shí)，以中時(shí)，以中誤差誤差m代替標(biāo)準(zhǔn)差代替標(biāo)準(zhǔn)差（圖（圖53）

18、是最大值 21)(mf(5-4)22221)(efy5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1 5.2.1 中中 誤誤 差差因此在一組觀測(cè)值中，當(dāng)小誤差比較集中時(shí)，因此在一組觀測(cè)值中，當(dāng)小誤差比較集中時(shí)，m1較小，則曲線較小，則曲線形狀較陡峭，如圖形狀較陡峭，如圖5-3中中f1()，表示該組觀測(cè)精度較高；，表示該組觀測(cè)精度較高；f2()的曲線的曲線形狀較平緩，其誤差分布比較離散，形狀較平緩，其誤差分布比較離散，m2較大，表明該組觀測(cè)精度低。較大，表明該組觀測(cè)精度低。如果令如果令f()的二階導(dǎo)數(shù)等于的二階導(dǎo)數(shù)等于0，可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)：可求得曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)：01-)(222

19、22321ef=m也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，中誤差的幾何意中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)。=m (5-8)5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.2 5.2.2 相相 對(duì)對(duì) 誤誤 差差中誤差和真誤差都是絕對(duì)誤差中誤差和真誤差都是絕對(duì)誤差。在衡量觀測(cè)值精度時(shí)，單純用在衡量觀測(cè)值精度時(shí)，單純用絕對(duì)誤差有時(shí)不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。例如，分別測(cè)量了長(zhǎng)度為絕對(duì)誤差有時(shí)不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。例如，分別測(cè)量了長(zhǎng)度為100m和和200m的兩段距離，中誤差皆為的兩段距離，中誤差皆為0.02m。顯然不能認(rèn)為兩段。顯然不能認(rèn)為兩段距離測(cè)量精度相

20、同。為了客觀地反映實(shí)際精度，必須引入相對(duì)誤差距離測(cè)量精度相同。為了客觀地反映實(shí)際精度，必須引入相對(duì)誤差的概念。的概念。相對(duì)誤差相對(duì)誤差K是誤差是誤差m的絕對(duì)值與觀測(cè)值的絕對(duì)值與觀測(cè)值D的比值的比值：(5-9)|1|mDDmK上式中當(dāng)上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，為中誤差時(shí)，K稱為稱為相對(duì)中誤差相對(duì)中誤差。在距離測(cè)量中還常用往返觀測(cè)值的相對(duì)較差來(lái)進(jìn)行檢在距離測(cè)量中還常用往返觀測(cè)值的相對(duì)較差來(lái)進(jìn)行檢核。核。相對(duì)較差相對(duì)較差定義為：定義為：(5-10)DDDDDD-1平均平均平均返往D相對(duì)較差是相對(duì)較差是相對(duì)真誤差相對(duì)真誤差，它反映往返測(cè)量的符合程度。，它反映往返測(cè)量的符合程度。5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)

21、衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差極限誤差極限誤差由偶然誤差的特性由偶然誤差的特性1可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差極限誤差。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差是衡量差是衡量觀測(cè)精度觀測(cè)精度的指標(biāo)，它不能代表個(gè)別觀測(cè)值真誤差的大小，的指標(biāo)，它不能代表個(gè)別觀測(cè)值真誤差的大小，但從統(tǒng)計(jì)意義來(lái)講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式但從統(tǒng)計(jì)意義來(lái)講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式(5-4)和式和式(5-6)有：有：表示真誤差落在表示真誤差落

22、在(-，+)內(nèi)的概率等于內(nèi)的概率等于0.683。同理可。同理可得：得：(5-11)683. 022221deP(5-12)2221955. 022222deP(5-13)3321997. 033222deP5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差極限誤差極限誤差上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測(cè)值中，真誤差上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測(cè)值中，真誤差在在范圍以外的個(gè)數(shù)約占誤差總數(shù)的范圍以外的個(gè)數(shù)約占誤差總數(shù)的32%；在在2范圍以外的個(gè)范圍以外的個(gè)數(shù)約占數(shù)約占4.5%；在；在3范圍以外的個(gè)數(shù)只占范圍以外的個(gè)

23、數(shù)只占0.3%。絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于3的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為3是是真誤差實(shí)際出現(xiàn)的真誤差實(shí)際出現(xiàn)的極限極限，即，即3是極限誤差：是極限誤差：極限極限=3(5-14)極限極限=3(5-14)5.2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3 5.2.3 極限極限 誤誤 差和容許誤差差和容許誤差容許誤差容許誤差測(cè)量實(shí)踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對(duì)偶然誤差的測(cè)量實(shí)踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對(duì)偶然誤差的大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，常以常以2倍倍或或3倍倍中中誤差作為偶

24、然誤差的容許值，稱為誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差容許誤差，即，即容容=22m(5-15)或或容容=33m(5-16)容容=22m(5-15)容容=33m(5-16)前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于容許前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測(cè)。誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測(cè)。5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律前面敘述了衡量一組等精度觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并指出在測(cè)量前面敘述了衡量一組等精度觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并指出在測(cè)量工作中工作中通常以中誤差作為衡量精度的指標(biāo)通常以中誤

25、差作為衡量精度的指標(biāo)。但在實(shí)際工作中，某些。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。例如，欲測(cè)量不在同一水平面上兩根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。例如，欲測(cè)量不在同一水平面上兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離D，可以用光電測(cè)距儀測(cè)量斜距，可以用光電測(cè)距儀測(cè)量斜距S，并用經(jīng)緯儀測(cè)量豎直，并用經(jīng)緯儀測(cè)量豎直角角，以函數(shù)關(guān)系，以函數(shù)關(guān)系D=Scos來(lái)推算。顯然，在此情況下，來(lái)推算。顯然，在此情況下，函數(shù)函數(shù)D的中的中誤差與觀測(cè)值誤差與觀測(cè)值S及及的中誤差之間的中誤差之間，必定有一定的關(guān)系。闡述

26、這種函，必定有一定的關(guān)系。闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律，稱為數(shù)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。設(shè)有一般函數(shù)設(shè)有一般函數(shù)Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)式中式中X1、X2、，Xn為可為可直接觀測(cè)直接觀測(cè)的未知量；的未知量；Z為不便于直接為不便于直接觀測(cè)的未知量。觀測(cè)的未知量。其中函數(shù)其中函數(shù)Z的中誤差為的中誤差為mZ，各獨(dú)立變量，各獨(dú)立變量X1、X2，Xn對(duì)應(yīng)的觀對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值中誤差分別為測(cè)值中誤差分別為m1,m2,mn，如果知道了，如果知道了mz與與mi之間的關(guān)系，就之間的關(guān)系，就可由各變量的觀測(cè)值中誤差來(lái)推求函數(shù)的中誤差?？捎筛髯兞康挠^測(cè)值中誤差來(lái)推求函數(shù)的中誤差。各變量的觀測(cè)值各

27、變量的觀測(cè)值中誤差與函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律中誤差與函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律。Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律設(shè)設(shè)xi(i=1、2、n)的獨(dú)立觀測(cè)值為的獨(dú)立觀測(cè)值為 li,其相應(yīng)的真誤差為其相應(yīng)的真誤差為xi。由于由于xi的存在，使函數(shù)的存在，使函數(shù)Z亦產(chǎn)生相應(yīng)的亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差真誤差Z。將。將(5-17)取全微取全微分分因誤差因誤差xi及及Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用xi及及Z代替代替dx及及dz，于是有，于是有nndxxFdxxFdxxFdz2211nnxxFxxFxxFz

28、2211式中式中 為函數(shù)為函數(shù)f對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將xi=li代入各偏導(dǎo)數(shù)中，代入各偏導(dǎo)數(shù)中，即為確定的常數(shù)，設(shè)即為確定的常數(shù)，設(shè)ixF ilxxFfiii則上式可寫(xiě)成則上式可寫(xiě)成Z=f1x1+f2x2+fnxn為了求得函數(shù)和觀測(cè)值之間的為了求得函數(shù)和觀測(cè)值之間的中誤差關(guān)系式中誤差關(guān)系式，設(shè)想對(duì)各，設(shè)想對(duì)各xi進(jìn)行進(jìn)行了了k次觀測(cè)，則可寫(xiě)出次觀測(cè)，則可寫(xiě)出k個(gè)類似上式的關(guān)系式個(gè)類似上式的關(guān)系式Z=f1x1+f2x2+fnxn5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnn

29、nxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfz將上式各式等號(hào)兩邊平方后，再相加，得將上式各式等號(hào)兩邊平方后，再相加，得njijijijinnxxffxfxfxfz, 1,22222221212上式兩端各除以上式兩端各除以knjijijijinnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212125.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律設(shè)對(duì)各設(shè)對(duì)各xi的觀測(cè)值的觀測(cè)值li為彼此獨(dú)立的觀測(cè)，則為彼此獨(dú)立的觀測(cè)，則xixj當(dāng)當(dāng)ij時(shí)，亦為時(shí)，亦為偶然誤差偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性。根據(jù)偶然誤差的特性 4 可知，可知，上式末項(xiàng)當(dāng)上式末項(xiàng)當(dāng)k時(shí)趨近于時(shí)趨近于零零，即，即故故njijijiji

30、nnkxxffkxfkxfkxfkz, 1,222222212120limkxxkji)(lim22222221212limkxfkxfkxfkznnkk根據(jù)中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的定義（根據(jù)中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的定義（5-5)，上式可寫(xiě)成，上式可寫(xiě)成22222221212nnzfff當(dāng)當(dāng)k為有限值時(shí)，可寫(xiě)為為有限值時(shí)，可寫(xiě)為：22222221212nnzmfmfmfm5.3 誤誤 差差 傳傳 播播 定定 律律上式即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。應(yīng)用上式時(shí)，必須注意：上式即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。應(yīng)用上式時(shí)，必須注意：各觀測(cè)值是相互獨(dú)立的變量，而當(dāng)各觀測(cè)值是相互獨(dú)立的變量，而當(dāng)li為未知量為未知量xi

31、的直接觀測(cè)值時(shí)，可的直接觀測(cè)值時(shí)，可認(rèn)為各認(rèn)為各li之間滿足相互獨(dú)立的條件之間滿足相互獨(dú)立的條件。利用它不難導(dǎo)出表利用它不難導(dǎo)出表5-2所列簡(jiǎn)單函數(shù)的誤差傳播定律。所列簡(jiǎn)單函數(shù)的誤差傳播定律。(5-26) 2222221221nxfxfxfzmmmmn5.4 等精度直接觀測(cè)平差等精度直接觀測(cè)平差除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中任何單個(gè)未知量除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中任何單個(gè)未知量(如某一角度，某一長(zhǎng)如某一角度，某一長(zhǎng)度等度等)的的真值真值都是無(wú)法確知的，只有通過(guò)都是無(wú)法確知的，只有通過(guò)重復(fù)觀測(cè)重復(fù)觀測(cè)，才能對(duì)其作出，才能對(duì)其作出可靠的估計(jì)可靠的估計(jì)。在測(cè)量中，重復(fù)測(cè)量的目的還在于。在測(cè)量中，重復(fù)測(cè)量的目的還

32、在于提高提高觀測(cè)成果的觀測(cè)成果的精精度度，同時(shí)也為了，同時(shí)也為了發(fā)現(xiàn)和消除粗差發(fā)現(xiàn)和消除粗差。重復(fù)測(cè)量形成了多余觀測(cè)，加之觀測(cè)值必然含有誤差，這就產(chǎn)重復(fù)測(cè)量形成了多余觀測(cè)，加之觀測(cè)值必然含有誤差，這就產(chǎn)生了觀測(cè)值之間的矛盾。為消除矛盾，必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)生了觀測(cè)值之間的矛盾。為消除矛盾，必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)則，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，對(duì)有矛盾的觀測(cè)值加以必要而又合理的則，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，對(duì)有矛盾的觀測(cè)值加以必要而又合理的調(diào)整，給以調(diào)整，給以適當(dāng)?shù)母恼m當(dāng)?shù)母恼?，從而求得觀測(cè)值的，從而求得觀測(cè)值的最佳估值最佳估值，同時(shí)對(duì)觀測(cè)，同時(shí)對(duì)觀測(cè)進(jìn)行進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估質(zhì)量評(píng)估。人們把這一數(shù)據(jù)處理的過(guò)程

33、稱作。人們把這一數(shù)據(jù)處理的過(guò)程稱作測(cè)量平差測(cè)量平差。對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，稱為對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，稱為直接觀測(cè)平差直接觀測(cè)平差。據(jù)。據(jù)觀測(cè)條件，有觀測(cè)條件，有等精度等精度直接觀測(cè)平差和直接觀測(cè)平差和不等精度不等精度直接觀測(cè)平差。直接觀測(cè)平差。平差平差結(jié)果是得到未知量最可靠的估值結(jié)果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值最可靠值)，最接近其真值，最接近其真值，稱為，稱為“最或是值最或是值”。測(cè)量平差測(cè)量平差直接觀測(cè)平差直接觀測(cè)平差最或是值最或是值5.4 等精度直接觀測(cè)平差等精度直接觀測(cè)平差在等精度直接觀測(cè)平差中，在等精度直接觀測(cè)平差中，觀測(cè)值的算術(shù)平均值是未知量的觀測(cè)值的算

34、術(shù)平均值是未知量的最最或是值或是值。即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)5.4.1 5.4.1 求求 最最 或或 是是 值值x=(l1+l2+ln)/n=l/n(5-27)觀測(cè)值觀測(cè)值與與最或是值之差最或是值之差，稱為，稱為“最或是誤差最或是誤差”，用符號(hào)，用符號(hào)vi(i=1,2,n)來(lái)表示。來(lái)表示。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)將將n 個(gè)最或是誤差個(gè)最或是誤差vi相加，有：相加，有：v=l-nx=0(5-29)即最或是誤差的總和為即最或是誤差的總和為0。式。式(5-29)可以用作計(jì)算中的檢核，若可以用作計(jì)算中的檢核，若vi值計(jì)算無(wú)誤，其總和必然為值計(jì)算無(wú)誤，其

35、總和必然為0。顯然當(dāng)觀測(cè)次數(shù)顯然當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n時(shí)時(shí)，vi=i（真誤差）。（真誤差）。Vi=li-x (i=1,2,n)(5-28)v=l-nx=0(5-29)5.4 等精度直接觀測(cè)平差等精度直接觀測(cè)平差觀測(cè)值中誤差觀測(cè)值中誤差由于獨(dú)立觀測(cè)中單個(gè)未知量的由于獨(dú)立觀測(cè)中單個(gè)未知量的真值真值X是無(wú)法確知的，是無(wú)法確知的，因此因此真誤差真誤差i也是未知的，所以不能直接應(yīng)用也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-7)求得求得中中誤差誤差。但可用有限個(gè)等精度觀測(cè)值。但可用有限個(gè)等精度觀測(cè)值li求出求出最或是值最或是值x后，再后，再按公式按公式(5-28)計(jì)算計(jì)算最或是誤差最或是誤差，用最或是誤差，用最或是誤差vi

36、計(jì)算觀測(cè)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。5.4.2 5.4.2 評(píng)評(píng) 定定 精精 度度(5-34)式式(5-34)是等精度觀測(cè)中是等精度觀測(cè)中用最或是誤差計(jì)算中誤差用最或是誤差計(jì)算中誤差的的公式。公式。12nvm5.4 等精度直接觀測(cè)平差等精度直接觀測(cè)平差最或是值的中誤差最或是值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值為次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值為l1,l2,，ln,中誤差為中誤差為m。最或是值最或是值x 的中誤差的中誤差M的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：5.4.2 5.4.2 評(píng)評(píng) 定定 精精 度度根據(jù)誤差傳播定律，有：根據(jù)誤差傳播定律，有：(5-

37、35)nnnnnllllx12111(5-36)221221221)()()(mmmMnnn所以所以(5-37)顧及式顧及式(5-34)，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下：，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下：(5-38)1(2nnvMnmM5.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差在對(duì)某一未知量進(jìn)行非等精度觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差也在對(duì)某一未知量進(jìn)行非等精度觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差也各不相同，各觀測(cè)值便具有不同程度的可靠性。在求各不相同，各觀測(cè)值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可未知量的最可靠估值靠估值時(shí)，就不能像等精度觀測(cè)那樣簡(jiǎn)單地取算術(shù)平均值，因?yàn)闀r(shí)，就不能像等精度觀測(cè)那樣簡(jiǎn)單

38、地取算術(shù)平均值，因?yàn)檩^可靠的觀測(cè)值，應(yīng)對(duì)最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。較可靠的觀測(cè)值，應(yīng)對(duì)最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。不等精度觀測(cè)值的可靠性，可用稱為觀測(cè)值不等精度觀測(cè)值的可靠性，可用稱為觀測(cè)值“權(quán)權(quán)”的數(shù)值來(lái)表的數(shù)值來(lái)表示。示。“權(quán)權(quán)”是權(quán)衡輕重的意思，觀測(cè)值的精度愈高，其權(quán)愈大。例是權(quán)衡輕重的意思，觀測(cè)值的精度愈高，其權(quán)愈大。例如，對(duì)某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測(cè)，但每組內(nèi)各觀測(cè)值是如，對(duì)某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測(cè)，但每組內(nèi)各觀測(cè)值是等精度的。設(shè)第一組觀測(cè)了等精度的。設(shè)第一組觀測(cè)了4次，其觀測(cè)值為次，其觀測(cè)值為l1、l2、l3、l4；第二組觀第二組觀測(cè)了測(cè)了3次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為l1、

39、l2、 l3。這些觀測(cè)值的可靠程度都相同，。這些觀測(cè)值的可靠程度都相同，每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測(cè)結(jié)果，即每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測(cè)結(jié)果，即(5-39)32321lllL414321llllL5.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差對(duì)于觀測(cè)值對(duì)于觀測(cè)值L1、L2來(lái)說(shuō)，彼此是不等精度觀測(cè)，故最后結(jié)果應(yīng)來(lái)說(shuō)，彼此是不等精度觀測(cè)，故最后結(jié)果應(yīng)為：為：(5-40)34347213214321LLlllllllL權(quán)只有相對(duì)意義，起作用的不是其絕對(duì)值，而是其比權(quán)只有相對(duì)意義，起作用的不是其絕對(duì)值，而是其比值，權(quán)通常用字母值，權(quán)通常用字母p表示，且恒取正值。表示，且恒取正值。5.5 不等

40、精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差一定的中誤差，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布，即對(duì)應(yīng)著一定的一定的中誤差，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布，即對(duì)應(yīng)著一定的觀測(cè)條件。觀測(cè)值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，觀測(cè)條件。觀測(cè)值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，也可根據(jù)中誤差來(lái)定義觀測(cè)值的權(quán)。也可根據(jù)中誤差來(lái)定義觀測(cè)值的權(quán)。5.5.1 5.5.1 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系設(shè)設(shè)n個(gè)不等精度觀測(cè)觀測(cè)值的中誤差分別為個(gè)不等精度觀測(cè)觀測(cè)值的中誤差分別為m1，m2，mn，則，則權(quán)可以用下式來(lái)定義：權(quán)可以用下式來(lái)定義：其中其中可取為任意正常數(shù)可取為任意正常數(shù)。(5-42)22221,21nmnmmp

41、pp前面所舉的例子，前面所舉的例子， l1、l2、l3、l4和和l1、 l2、 l3是等精度觀測(cè)，是等精度觀測(cè)，觀觀測(cè)值的中誤差為測(cè)值的中誤差為m，則第，則第1組的組的算術(shù)平均值算術(shù)平均值L1的中誤差的中誤差m1可以根據(jù)可以根據(jù)式式(5-37)得：得：mm411同理，可得第同理，可得第2組算術(shù)平均值組算術(shù)平均值L2的中誤差為：的中誤差為：mm3125.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差在式在式(5-42)中分別代入中分別代入m1和和m2，得：，得：5.5.1 5.5.1 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系式中式中為任意常數(shù)。設(shè)為任意常數(shù)。設(shè) =m2, 則則L1、L2的權(quán)為的權(quán)為由上式可知，由上式可知，權(quán)與中誤差的平方成反比。任意選擇權(quán)與中誤差的平方成反比。任意選擇值，可以值，可以使權(quán)變?yōu)楸阌谟?jì)算的數(shù)值使權(quán)變?yōu)楸阌谟?jì)算的數(shù)值。L1：3222412221mmmmppL2：=m2p1=4 , p2=35.5 不等精度直接觀測(cè)平差不等精度直接觀測(cè)平差5.5.1 5.5.1 權(quán)與中誤差的關(guān)系權(quán)與中誤差的關(guān)系例例59對(duì)某一角度進(jìn)行了對(duì)某一角度進(jìn)行了n次觀測(cè)，求算術(shù)平均值的權(quán)。次觀測(cè)，求算術(shù)平均值的權(quán)。由例由例59可知，可知，取一測(cè)回角度觀測(cè)值之權(quán)為取一測(cè)回角度觀測(cè)值之權(quán)為1，則，則n個(gè)測(cè)回觀測(cè)個(gè)測(cè)回觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán)為值的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故