圓整章知識點(diǎn)歸納

1、第24章 圓整章知識點(diǎn)歸納第一節(jié) 圓的有關(guān)性質(zhì)知識點(diǎn)一：圓的定義 1、圓可以看作是到定點(diǎn)（圓心O）的距離等于定長（半徑r）的點(diǎn)的集合. 2、圓的特征 （1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑）. （2）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個圓上. 注意：（1）圓指的是圓周，即一條封閉的曲線，而不是圓面. （2）“圓上的點(diǎn)”指圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上.知識點(diǎn)二：圓的相關(guān)概念1、 弦與直徑：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.注意：直徑是過圓心的弦，凡是直徑都是弦，但弦不一定是直徑.因此，在提到到“弦”時，如果沒有特殊說明，不要忘記直徑這種特殊的弦.2、 弧、半圓、優(yōu)弧、

2、劣弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.大于半圓的?。ㄓ萌齻€點(diǎn)表示）叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫做劣弧如劣弧，優(yōu)弧 注意：半圓是弧，但弧不一定是半圓.半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧. 3、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.4、等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.注意：等弧的長度相等，但長度相等的弧不一定是等弧.知識點(diǎn)三：圓的對稱性1、 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸. 注意：（1）圓的對稱軸有無數(shù)條 （2）因?yàn)橹睆绞窍?，弦是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在

3、的直線”或說成“圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線”.2、 圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心，不僅如此，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合（圓的旋轉(zhuǎn)不變性）.知識點(diǎn)四：垂徑定理及推論（重點(diǎn)）1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖，AB是的直徑，CD是O的弦，AB交CD于點(diǎn)E，若ABCD，則CE=DE，=，=注意：（1）這里的垂徑可以是直徑、半徑或過圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過圓心”.（2）垂徑定理中的“弦”為直徑時，結(jié)論仍成立. 2、垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖1：CD是非直徑的弦，AB是直徑，若CE

4、=DE，則ABCD，CB=DB，AC=AD.圖1 注意：被平分的弦不是直徑，因?yàn)橹睆绞窍遥瑑芍睆交ハ嗥椒?，結(jié)論就不成立，如圖2圖2直徑AB平分CD，但AB不垂直于CD.重點(diǎn)剖析(1) 垂徑定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖問題提供了思考方法和理論依據(jù).(2)一條直線如果具有：過圓心；垂直于弦；平分弦（被平分的弦不是直徑）； 平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧，這五條中的任意兩條性質(zhì)， 那么即可推出其它三條性質(zhì)（知二得三）. 即：是直徑 = =中任意2 個條件推出其他3個結(jié)論.知識點(diǎn)五：弧、弦、圓心角之間的關(guān)系（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所

5、對的弦相等，所對的弧也相等.如圖，在中，若AOB=COD，則AB=CD，=. 2、推論：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等.定理和推論可概括為：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等.（圓心角、弧、弦關(guān)系定理）知識點(diǎn)六：圓周角定理及其推論 1、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖：CAB=COB 2、圓周角定理的推論：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等.（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90&

6、#176;的圓周角所對的弦是直徑. 如圖，若AB為直徑，則C=90°；若C為90°，則AB是直徑.注意：（1）同弧指同一條弧，同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，它們的度數(shù)都相等.等弧是指同一個圓內(nèi)能重合的弧或等圓中能重合的弧.（2）“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩類，它們一般不相等（是互補(bǔ)的）.知識點(diǎn)七：圓內(nèi)接多邊形 1、圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ). A+C=180°，B+D=180°第二節(jié) 點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系A(chǔ)知識點(diǎn)一：圓的確定1、 過一點(diǎn)作圓：只要以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的

7、距離為半徑作圓就可以 作出，這樣的圓有無數(shù)個. 2、過兩點(diǎn)作圓：經(jīng)過兩個點(diǎn)A，B作圓，只要以線段AB垂直平分線上任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A或點(diǎn)B的距離為半徑作圓就可以，這樣有圓也有無數(shù)個.3、過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓：過不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C作圓，圓心到這三個點(diǎn)的距離相等，因此，圓心在線段AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)O處，以O(shè)為圓心，以O(shè)A（或OB，OC）為半徑可作出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓，這樣的圓有且只有一個.不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓4、 要想過四點(diǎn)作圓，應(yīng)先作出經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)的圓，如果第四到圓心的距離等于半徑，則第四個點(diǎn)在圓上，否則不在圓上.方法歸納：確

8、定一個圓的圓心的方法，只需作出此圓任意兩條弦的垂直平分線，其交點(diǎn)就是圓心.知識點(diǎn)二：三角形的外接圓1、 三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個項(xiàng)點(diǎn)可以作一個圓，2、 這個圓叫做三角形的外接圓.3、 三角形的外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心，如圖：是ABC的外接圓，點(diǎn)O是ABC的外心.（1）三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓的半徑.（2）一個三角形有且只有一個外接圓，而一個圓卻有無數(shù)個內(nèi)接三角形. （3）三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn). 知識點(diǎn)三：反證法：（1）假設(shè)命題

9、的結(jié)論不成立（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確.知識點(diǎn)四：直線和圓的位置關(guān)系 1、直線與圓相離 直線與圓無交點(diǎn)； 2、直線與圓相切 直線與圓有一個交點(diǎn)； 3、直線與圓相交 直線與圓有兩個交點(diǎn)；知識點(diǎn)五：切線的性質(zhì)與判定定理 1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； （1）兩個條件：過半徑外端；垂直半徑，二者缺一不可 即：MNOA，MN過半徑OA外端 MN是O的切線 （2）切線判定方法：（1）數(shù)量關(guān)系：若圓心到直線的距離等于半徑，則直線是圓的切線.（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是

10、圓的切線. 提示：在判定切線時，往往需要添加輔助線（連半徑證垂直或作垂直證半徑）. 2、切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn). 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心. 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出第三個.知識點(diǎn)六：切線長定理 切線長定理： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角. 即：PA、PB是O的兩條切線 PA=PB，PO平分BPA知識點(diǎn)七：三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三

11、條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓以及外心與內(nèi)心的對比圖形的名稱ABC的名稱圓心O的確定“心”的性質(zhì)“心”的位置ABC的外接圓的內(nèi)接三角形三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等銳角三角形在三角形內(nèi)，直角三角形在斜邊中點(diǎn)處；鈍角三角形在三角外ABC的內(nèi)切圓的外切三角形三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等一定在三角形內(nèi)部第三節(jié) 正多邊形和圓知識點(diǎn)一：正多邊形的定義及其相關(guān)概念 各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形. 我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑，正多邊形的每一邊所對的圓心角叫做正

12、多邊形的中心角.正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.知識點(diǎn)二：與正多邊形的有關(guān)計算（1） 正邊形的每個內(nèi)角為（2） 正邊形的每個中心角為（3） 正邊形的每個外角為 （4） 正邊形的半徑、邊心距、邊長之間的關(guān)系為（5） 正邊形的邊長、邊心距、周長，面積之間的關(guān)系為，知識點(diǎn)三：正多邊形與圓的關(guān)系 （1）把圓分成（n3）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形就是這個圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正邊形. （2）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.知識點(diǎn)四：正多邊形的性質(zhì)1、正多邊形的各邊相等，各角相等.2、正多

13、邊形都是軸對稱圖形，幾邊形就有幾條對稱軸，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形也是中心對稱圖形.3、正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個全等的直角三角形.注意：正多邊形都有一個外接圓，而圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.第四節(jié) 弧長和扇形面積知識點(diǎn)一：弧長公式： 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60° 的圓心角所對的弧長就是圓周長，所以1°的圓心角所對的弧長是，即，于是的圓心角所對的弧長為注意：在弧長公式中，和180都不帶單位“度”.知識點(diǎn)二：扇形面積公式： （其中為扇形的弧長，R為半徑）PABORr 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60° 的圓心角所對的扇形面積，所以圓心角是1°的扇形面積是，于是圓心角為的扇形面積是知識點(diǎn)三：圓錐的有關(guān)概念1、圓錐的