概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、4.3 協(xié)方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)當(dāng)當(dāng)X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立有有. 0)()( YEYXEXE當(dāng)當(dāng)0)()( YEYXEXEX與與Y一定不相互獨(dú)立，一定不相互獨(dú)立，這這說(shuō)明量說(shuō)明量)()(YEYXEXE 在在一定程度上反映了隨機(jī)變量一定程度上反映了隨機(jī)變量X與與Y之間的關(guān)系之間的關(guān)系.定義定義1 設(shè)設(shè)Y)(X,為二維隨機(jī)向量為二維隨機(jī)向量, 若若)()(YEYXEXE 存在存在, 則稱其為隨機(jī)變量則稱其為隨機(jī)變量X和和Y的的協(xié)方差協(xié)方差, 記為記為),(YXCov即即 ),(YXCov)()(YEYXEXE 按定義按定義, 若若Y)(X,為離散型隨機(jī)向量為離散型隨機(jī)向量, 其概率分布其

2、概率分布為為), 2 , 1,(, jipyYxXPijii則則ijjijipYEyXExYXCov ,)()(),(一、協(xié)方差一、協(xié)方差的定義的定義若若Y)(X,為連續(xù)型隨機(jī)向量為連續(xù)型隨機(jī)向量, 其概率密度為其概率密度為),(yxf則則dxdyyxfYEyXExYXCov ),()()(),(計(jì)算協(xié)方差的簡(jiǎn)化公式計(jì)算協(xié)方差的簡(jiǎn)化公式:).()()(),(YEXEXYEYXCov 特別地特別地, 當(dāng)當(dāng)X與與Y獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), 有有. 0),( YXCov ),(YXCov)()(YEYXEXE 二、二、協(xié)方差的基本性質(zhì)協(xié)方差的基本性質(zhì)(1);(),(XDXXCov (2);,(),(XYCov

3、YXCov (3),(),(YXabCovbYaXCov 其中其中ba,是是常數(shù)常數(shù);(4), 0),( XCCovC為任意常數(shù)為任意常數(shù);(5);,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov 2. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系Y),2Cov(X,D(Y)D(X)Y)(X D特別地特別地, 若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則D(Y).D(X)Y)(X D例例1已知離散型隨機(jī)向量已知離散型隨機(jī)向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201

4、 XY解解容易求得容易求得X的概率分的概率分, 3 . 00 XP,45. 01 XP;25. 02 XPY的概率分布為的概率分布為,55. 01 YP,25. 00 YP, 2 . 02 YP布為布為例例1已知離散型隨機(jī)向量已知離散型隨機(jī)向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201 XY解解計(jì)算得計(jì)算得0202 . 0001 . 0)1(0)( XYE1 . 0215 . 0013 . 0)1(1 1 . 02200215. 0)1(2 . 0 2 . 0225. 0055.

5、0)1()( YE.15. 0 于是有于是有25. 0245. 013 . 00)( XE,95. 0 于是于是)()()(),cov(YEXEXYEYX .1425. 015. 095. 0 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解由由),(YX的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為數(shù)分別為: :, 010),1(4)(2 其它其它xxxxfX, 010,4)(3 其它其它yyyfY例例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量),(YX的密度函數(shù)為的密

6、度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是 dxxxfXEX)()( 102)1(4dxxxx,15/8 dyyyfYEY)()( 1034dyyy, 5/4 dxdyyxxyfXYE),()( 1108xdyxyxydx, 9/4 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是)(XE,15/8 )(YE, 5/4 )(XYE, 9/4 從而從而)()()(),cov(YEXEXYEYX ,225/4 又又

7、dxxfxXEX)()(22 1022)1(4dxxxx, 3/1 dyyfyYEY)()(22 10324dyyy, 3/2 所以所以22)()()(XEXEXD ,225/11 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是)(XE,15/8 )(YE, 5/4 )(XYE, 9/4 從而從而)()()(),cov(YEXEXYEYX ,225/4 又又)(2XE, 3/1 )(2YE, 3/2 所以所以22)()()(XEXEXD ,225/11 故故),cov(2

8、)()()(YXYDXDYXD . 9/1 ,75/2)()()(22 YEYEYD定義定義 設(shè)設(shè)),(YX為二維為二維隨機(jī)向量，隨機(jī)向量，, 0)( XD, 0)( YD稱稱)()(),cov(YDXDYXXY 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X和和Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)， 有時(shí)也記有時(shí)也記XY 為為. 特別地，特別地，當(dāng)當(dāng)0 XY 時(shí)，時(shí)，稱稱X與與Y不不相關(guān)相關(guān).三、相關(guān)系數(shù)的定義三、相關(guān)系數(shù)的定義注注：相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了X和和Y間間“線性相關(guān)線性相關(guān)”的的程度程度.XY 的值越的值越接近于接近于1，Y與與X線性相關(guān)程度越高；線性相關(guān)程度越高；XY 的值越的值越接近于接近于0，Y與與X線性

9、相關(guān)程度越弱；線性相關(guān)程度越弱；1 XY 時(shí)，時(shí)，Y與與X有有嚴(yán)格線性關(guān)系；嚴(yán)格線性關(guān)系；0 XY 時(shí)，時(shí)，Y與與X無(wú)線性關(guān)系；無(wú)線性關(guān)系；注意注意：只只說(shuō)明說(shuō)明Y與與X沒(méi)有線性沒(méi)有線性關(guān)系關(guān)系. 并不能說(shuō)明并不能說(shuō)明Y與與X之間沒(méi)有其它函數(shù)關(guān)系之間沒(méi)有其它函數(shù)關(guān)系.與與從而不能推出從而不能推出YX獨(dú)立獨(dú)立.0 XY 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.; 1 XY 2. 若若X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，; 0 XY 則則例例3 設(shè)設(shè)),(YX的分布律為的分布律為14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 易知易知,

10、0)( XE, 2/5)( YE, 0)( XYE于是于是, 0 XY YX,不相關(guān)不相關(guān). . 這表示這表示YX,不存不存在線性關(guān)系在線性關(guān)系, , 但但,1201, 2 YPXPYXP例例3 設(shè)設(shè)),(YX的分布律為的分布律為14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 這表示這表示YX,不存在線性關(guān)系不存在線性關(guān)系, 但但,1201, 2 YPXPYXP知知YX,不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上事實(shí)上, ,X和和Y具有關(guān)系具有關(guān)系: :,2XY Y的值完全可由的值完全可由X的值所確定的值所確定. .例例4 設(shè)設(shè) 服從服從, 上

11、的均勻分布上的均勻分布, , 且且,sin X cos Y判斷判斷X與與Y是否不相關(guān)是否不相關(guān), , 是否獨(dú)立是否獨(dú)立.解解 由于由于, 0sin21)( dXE, 0cos21)( dYE而而. 0cossin21)( dXYE因此因此),()()(YEXEXYE 從而從而X與與Y不相關(guān)不相關(guān). . 但由于但由于X與與Y滿足關(guān)系滿足關(guān)系: :122 YX所以所以X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立.例例6 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(),(2121 NYX.)()(),cov( YDXDYXXY若若),(YX服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, , 則則X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)X與與Y

12、不相關(guān)不相關(guān). .五、矩五、矩的的概念概念定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y為為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，lk,為正整為正整數(shù)，數(shù)，)(kXE為為k階階原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱k階階矩矩);)(kXEXE 為為k階階中心矩中心矩)(kXE為為k階階絕對(duì)原點(diǎn)矩絕對(duì)原點(diǎn)矩；)(kXEXE 為為k階階絕對(duì)中心矩絕對(duì)中心矩；稱稱)(lkYXE為為X和和Y的的lk 階階混合矩混合矩;)()(lkYEYXEXE 為為X和和Y的的lk 階混合中心矩階混合中心矩.六、協(xié)方差矩陣六、協(xié)方差矩陣將二維將二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量),(21XX的四個(gè)二階的四個(gè)二階中心矩中心矩,)(21111XEXEc ,)(22222XEXEc ),()

13、(221112XEXXEXEc ).()(112221XEXXEXEc 排成排成矩陣的形式：矩陣的形式： 22211211cccc對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣稱此稱此矩陣為矩陣為),(21XX的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.類似定義類似定義n維維隨機(jī)變量隨機(jī)變量),(21nXXX的協(xié)方差的協(xié)方差矩陣矩陣. 若若),cov(jiijXXc njiXEXXEXEjjii, 2 , 1,)()( 都都存在，存在， nnnnnncccccccccC212222111211為為),(21nXXX的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.稱稱4.4 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理1. 在大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果是一個(gè)與個(gè)別隨機(jī)

14、現(xiàn)象在大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果是一個(gè)與個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無(wú)關(guān)的結(jié)果的特征無(wú)關(guān)的結(jié)果, 并且?guī)缀鯖](méi)有隨機(jī)性特征；并且?guī)缀鯖](méi)有隨機(jī)性特征；2. 大數(shù)定律以確定的形式表達(dá)了這種規(guī)律性大數(shù)定律以確定的形式表達(dá)了這種規(guī)律性,并論證了并論證了其成立的其成立的, 即從理論上闡述了這種大量的、在一定條即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性, 揭示了在事揭示了在事物表象后面的本質(zhì)特征。物表象后面的本質(zhì)特征。大數(shù)定律從理論上解決下面兩個(gè)問(wèn)題大數(shù)定律從理論上解決下面兩個(gè)問(wèn)題: (1)用頻率近似代替概率問(wèn)題用頻率近似代替概率問(wèn)題P(A)=m/n; (2)

15、討論討論n個(gè)隨機(jī)變量的平均值的穩(wěn)定性。個(gè)隨機(jī)變量的平均值的穩(wěn)定性。一、切比雪夫一、切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式定理定理1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 滿足滿足E = ,D = 2, 則對(duì)任給則對(duì)任給 0有有.122 XP.22 XP)( xfxy O ,111. 09322 XP如如取取,3 則有則有例例1 是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),給定給定 =1,2, 計(jì)算計(jì)算P(| -E |),并驗(yàn)證切比雪夫不等式。并驗(yàn)證切比雪夫不等式。解解: 123456p1/61/61/61/61/61/6E =3.5, D =35/12,P| -3.5| 1=P4.5+P2.5=2/3 35

16、/12=D /12;P| -3.5| 2=P5.5+P1.5=1/3 35/48=D /42.例例2 已知正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均是已知正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均是7300, 均方差是均方差是700, 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在血液中白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。之間的概率。解解: 設(shè)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)為設(shè)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)為 , 則則 =7300, =700,所求概率為所求概率為52009400P5200730094007300P 21002100P2100P2281.(2100)9 例例3 有有1000盞電燈盞

17、電燈,夜晚每盞燈開(kāi)燈的概率均為夜晚每盞燈開(kāi)燈的概率均為0.85,各各電燈開(kāi)和關(guān)相互獨(dú)立。估計(jì)同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)量在電燈開(kāi)和關(guān)相互獨(dú)立。估計(jì)同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)量在800至至900之間的概率。之間的概率。解解: 設(shè)設(shè) 表示同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)量表示同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)量, 則則 B(1000, 0.85), E =np=850, D =npq=1000 0.85 0.15=127.5,P(800 900)=P(| -850|0, 有有11lim1.niniPn證明證明由由,/)(,)(2nYDYEnn 根據(jù)切比雪夫根據(jù)切比雪夫等式即得等式即得221 nYPn 令令, n再再注意到概率不可能大于注意到概率不可能

18、大于1， 即證即證得結(jié)果得結(jié)果.注注： 定理表明：定理表明：對(duì)對(duì)任意任意, 0 事件事件 nY發(fā)生的概率很大，發(fā)生的概率很大，從從概率意義上指出了，概率意義上指出了，時(shí)，時(shí)，nY逼近逼近 的的確切含義確切含義.在在概率論中，概率論中，當(dāng)當(dāng)n很大很大收斂于收斂于, 記為記為 PnY把把 (*)式式表示的收斂性稱為隨機(jī)變量序列表示的收斂性稱為隨機(jī)變量序列nY依概率依概率11lim1.niniPn推論推論 設(shè)設(shè)An是是n重伯努重伯努試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是是事件事件A在在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)則對(duì)任意的任意的, 0 有有. 1lim pnnPAn(*)證明證明因?yàn)橐驗(yàn)?,(pnbnA所以所以,21nAXXXn 其中其中nXXX,21相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， 且都且都服從以服從以p為參數(shù)為參數(shù)10 分布，分布，的的因而因而nippXDpXEi