一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：一元二次方程一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是中考的熱點(diǎn)，它是在學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法。學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程。應(yīng)該說(shuō)，一元二次方程是本書的重點(diǎn)內(nèi)容。一、目標(biāo)與要求1.了解一元二次方程及有關(guān)概念，一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念，應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目。2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程，掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法，應(yīng)用熟練掌握以上知識(shí)解決問題。二、重點(diǎn)1一元二次方程及其它有關(guān)的

2、概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題。2.判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根；3.用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。4.運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程，領(lǐng)會(huì)降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。5.利用實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問題三、難點(diǎn)1一元二次方程配方法解題。2.通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。3用公式法解一元二次方程時(shí)的討論。4.通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程。5建立一元二次方程實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，方程解與實(shí)際問題

3、解的區(qū)別。6.由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根。三、知識(shí)框架四、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)1.一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)： (1)含有一個(gè)未知數(shù)； (2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2； (3)是整式方程。要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程。（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a0）3. 一元二次方程的一般形式：一般

4、地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）。一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。4.一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。（2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a

5、看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。配方法解一元二次方程的一般步驟：現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)移到右邊；方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程無(wú)實(shí)根（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判別式 根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示

6、，即6.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。7.分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（2）解所得的整式方程（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）知識(shí)點(diǎn)1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的

7、整式方程叫一元二次方程。例題：1、判別下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并說(shuō)明理由.(1)2x-x-3=0. （ ）(2)-y=0. （ ）(3) t=0. （ ）(4) x-x=1. （ ）(5) x-2y-1=0. （ ）(6) -3=0. （ ）(7) =2. （ ）(8)(x+2)(x-2)=(x+1). （ ）(9)3x-+6=0. （ ）(10)3x=-3. （ ）2、判斷下列方程是否為一元二次方程：3、下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A）2x2+7=0 （B）2x2+2x+1=

8、0（C）5x2+4=0 （D）3x2+(1+x) +1=05、若關(guān)于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，則a的值是 （ ）（A）2（B）2（C）0（D）不等于26、已知關(guān)于的方程，當(dāng) 時(shí)，方程為一次方程；當(dāng) 時(shí)，兩根中有一個(gè)為零。7、已知關(guān)于的方程：（1） m為何值時(shí)方程為一元一次方程；（2） m為何值時(shí)方程為一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：，其中是二次項(xiàng)，叫二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)。特別警示：（1）“”是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分；（2）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次

9、方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程化為一般形式。例題：1、指出下列一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(5)(6)2、關(guān)于的方程是一元二次方程，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3、將下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1) ；(2) 4、方程（m21）x2mx50 是關(guān)于x的一元二次方程，則m滿足的條件是（）（A）m1 （B）m0 （C）|m|1 （D）m15、關(guān)于的方程中是 ；是 ；是 。6、方程的一般形式為 。7、方程(m-5)(m-3)x+(m-3)x+5=0中，當(dāng)m為何值時(shí)，此方程為一元二次方程?知識(shí)點(diǎn)三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知

10、數(shù)的值，叫方程的解。例題：1、已知方程的一個(gè)根是1，則m的值是 。2、已知是一元二次方程的一個(gè)解，則m的值是 （ ）（A）1 （B）0 （C）0或1 （D）3、若是一元二次方程的一個(gè)根，則 。4、實(shí)數(shù)是方程 的根 （ ）（A） （B）（C） （D）5、設(shè)是一元二次方程的較大根，是較小根，那么的值是 （ ）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）26、已知關(guān)于的一元二次方程 的一個(gè)解與方程的解相同。（1） 求的值；（2） 求方程的另一個(gè)解。7、設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的值分別等于多少？知識(shí)點(diǎn)四.一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（1） 直接開平方法

11、：如果，則（2） 配方法：要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后方程兩變同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程的求根公式是；（4） 因式分解法：如果則。溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń?。例題：解方程： 1、方程的解是： （ ）（A） （B） （C） （D）2、方程的解是： （ ）（A） （B） （C） （D）3、方程的較簡(jiǎn)便的解法應(yīng)選用 。4、解下列方程：（1） （2） （3）5、解下列方程：（1）（2） （3） 6、解下列方程：（1）

12、（2）（3）7、解方程：（1）（2）知識(shí)點(diǎn)五.一元二次方程根的判別式對(duì)于一元二次方程的根的判別式是：（1） 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3） 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。溫馨提示：若方程有實(shí)數(shù)根，則有。例題：1、已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k= 。2、關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D）3、在下列方程中，有實(shí)數(shù)根 的是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、當(dāng)m滿足何條件時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根？有兩個(gè)相等實(shí)根？有實(shí)根？5、關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，試解關(guān)于的方程。6、已知關(guān)于的一元二次方程，求證：不論m

13、為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。7、將一條長(zhǎng)20m的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形。（1） 要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17平方米，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？（2） 兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12平方米嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。知識(shí)點(diǎn)六.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則。溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一元二次方程必須有實(shí)數(shù)根。例題：1、關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且滿足，則k的值為： （ ）（A） （B） （C） （D）不存在2、已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿

14、足，則m的值是 （ ）（A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或13、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則m的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、方程與方程的所有根的乘積是 5、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m,n滿足，則mn的值為 。6、設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且滿足，求m的值。7、已知：ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，問：k取何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？知識(shí)點(diǎn)七.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)（6）寫出答案。在檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)從方程本身和實(shí)際問

15、題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。例題：1、某商品原價(jià)每件25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在商品每件16元，則該玩具平均每次降價(jià)的百分率是 。2、有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字之積的二倍多5，求這個(gè)兩位數(shù)。3、一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的倍，四角各截去一個(gè)正方形，制成高是cm，容積是cm3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器。求這塊鐵皮的長(zhǎng)和寬。4、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？5、一根長(zhǎng)22cm的鐵絲（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？（2）能否圍成面積是32 cm2的矩形？并說(shuō)明理由6、西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元千克的價(jià)格出售，每天可售出