數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)提綱（qin,090600） (建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識(shí)點(diǎn)+重溫例題和作業(yè)+自主補(bǔ)充復(fù)習(xí)和練習(xí))1 振動(dòng)方程的導(dǎo)出，非齊次項(xiàng)的含義。振動(dòng)方程定解條件的提法（初始條件？，第一、二、三類邊值條件？）；2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出，非齊次項(xiàng)的含義。熱傳導(dǎo)方程定解條件的提法（初始條件？，第一、二、三類邊值條件？）；3 拉普拉斯方程的導(dǎo)出，泊松方程非齊次項(xiàng)的含義。拉普拉斯方程和泊松方程定解條件的提法（第一、二、三類邊值條件？三種邊值問(wèn)題？）；4 概念：線性（非線性）偏微分方程概念。定解問(wèn)題，混合問(wèn)題，初值問(wèn)題，邊值問(wèn)題。Laplace第一邊值問(wèn)題（狄利克雷問(wèn)題？），第二邊值問(wèn)題（諾伊曼問(wèn)題？）,適

2、定性，適定的。5 線性偏微分方程的疊加原理。二元二階線性偏微分方程的一般形式、分類、特征方程、三種類型的標(biāo)準(zhǔn)形式及化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法。6 a, b上帶權(quán)q(x)>0的正交函數(shù)系，模，傅里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)的算法。f(x)在上的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的算法。（）f(x)在的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的算法。（） f(x)在上的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的算法。（）（視為偶延拓到上？） f(x)在上的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的算法。（）f(x)在上的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的算法。（）7.分離變量法可解的問(wèn)題().8.能熟練求解：基本型（分離變量法？），基本型（固有函數(shù)法？）。9會(huì)解基本形，方法是（？）：。10記得邊界條件與固有函數(shù)系的

3、對(duì)應(yīng)規(guī)律。即（？）：或11會(huì)解矩形域上Laplace邊值問(wèn)題（把一個(gè)變量類比為時(shí)間t，視為基本形（I）、（II）或（III）？）。會(huì)解圓域上Laplace問(wèn)題（記得的半通解為，并用邊值條件計(jì)算系數(shù)即可？）。12行波法能解哪類問(wèn)題？（上波動(dòng)方程？）。14會(huì)解。（齊次的達(dá)朗貝爾公式法，或非齊次的更一般公式法？）。15會(huì)解。（基爾霍夫公式法，即平均值法？）。15會(huì)解。（降維法，或泊松公式法？都要會(huì)）。16傅氏變換定義式及其逆變換的定義式，微分性質(zhì)，卷積，卷積定理。拉氏變換定義式，求拉氏逆變換的留數(shù)法，微分性質(zhì)，延遲性質(zhì)，卷積，卷積定理，記得常用的一些結(jié)果例如等。17積分變換法可解哪類問(wèn)題？如何選擇變

4、換類型。（三種類型變量取值于或的無(wú)界區(qū)域？某變量取值于且該變量有足夠的初值則可關(guān)于該變量作拉氏變換，關(guān)于取值于的變量可作傅氏變換？）。18會(huì)用積分變換法求解類似課本例題和習(xí)題的定解問(wèn)題。19格林函數(shù)法能解哪種類型的問(wèn)題？（Laplace方程和泊松方程第一邊值問(wèn)題？）20三（二）維Laplace方程的基本解和球（圓）對(duì)稱解。格林第一、二公式。三維調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式。21調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)（無(wú)流出？平均值公式？極值原理？）。諾伊曼問(wèn)題有解的必要條件及其證明，狄利克雷問(wèn)題解的唯一性及其證明。（用無(wú)流出？極值原理？）22區(qū)域上的格林函數(shù)。（，？，由狄利克雷問(wèn)題解的唯一性可知其唯一？）。狄利克雷問(wèn)題的解是

5、唯一的（？），可表示為？（？）23如何求解狄利克雷問(wèn)題？（1）找特殊狄利克雷問(wèn)題的解；(2) ,，？24若求得了某區(qū)域上的格林函數(shù)（唯一？），則上的一切Laplace方程和泊松方程的第一邊值問(wèn)題都有解（唯一？）且可表示出來(lái)？如何表示？的解為，？25點(diǎn)置一單位正電荷所產(chǎn)生的電位函數(shù)是什么？（？）。26半空間的格林函數(shù)是什么？如何求得？（？，鏡像對(duì)稱靜電法？）27球域的格林函數(shù)是什么？，如何求得？（？球面對(duì)稱靜電法？待定系數(shù)求得？）.28球域上狄利克雷問(wèn)題的通解是什么？（？，泊松公式？其中?）29會(huì)用試探法求解一些簡(jiǎn)單的Laplace方程第一、二邊值問(wèn)題（例如課本例題習(xí)題）。30會(huì)用試探法求解一些

6、簡(jiǎn)單的泊松方程第一邊值問(wèn)題（例如課本例題習(xí)題）。方法是？（用試探法找泊松方程的一個(gè)特解，轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)aplace方程第一邊值問(wèn)題（即狄利克雷問(wèn)題）。注：泊松方程第一邊值問(wèn)題的解是唯一的（如何證？），故只要求得一個(gè)解便是全部解）30邊界條件是常數(shù)的Laplace方程第一邊值問(wèn)題（即狄利克雷問(wèn)題）的解是什么？為什么？（極值原理？）31求解柱形（或圓形）域上的物理問(wèn)題常歸結(jié)為求解什么樣的固有值問(wèn)題？ （）32n階Bessel方程？（1）？）33（1）如何化為 ？ （34（3）的通解？ （？）35有哪幾類Bessel函數(shù)？其定義？性質(zhì)（對(duì)稱性，基本遞推式，圖象，漸近性，零點(diǎn)）？ （定義：為實(shí)數(shù)，階第一類階

7、第二類 性質(zhì)：1）對(duì)稱性：n偶偶n奇奇， 2)基本遞推式： （n實(shí)數(shù)） （n實(shí)數(shù)） 3）圖像()： 4）漸近性質(zhì)： 5)（正）零點(diǎn)：（無(wú)窮多正零點(diǎn)，第一正零點(diǎn)大小隨階數(shù)增大而增大，相鄰階正零點(diǎn)交替出現(xiàn)，時(shí)零點(diǎn)間距？）36固有值問(wèn)題的固有值和固有函數(shù)？（37Bessel函數(shù)系在(0,R)上帶權(quán)正交？其模平方38傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)的系數(shù)是？（）39Bessel函數(shù)的應(yīng)用：會(huì)用Bessel函數(shù)解柱形（或圓形）域上的物理問(wèn)題，例如課本例1，例3，習(xí)題五第10題。40.連帶勒讓德方程（指特例）？勒讓德方程（指特例）？(?)41n次勒讓德多項(xiàng)式（第一類勒讓德函數(shù)）？羅德利克（Rodrigues）公式?42. 勒讓德多項(xiàng)式構(gòu)成哪個(gè)區(qū)間上的權(quán)為多少的正交函數(shù)系？模的平方？43.球域內(nèi)問(wèn)題常用到的連帶勒讓特方程固有