大二下學(xué)期17屆材料力學(xué)講稿

1、1yyyy年年M月月d日日23工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題4工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題5工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題6工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題7工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題8工程中的壓桿穩(wěn)定問題工程中的壓桿穩(wěn)定問題91011 1983年年10月月4日，北京的一幢正在施工的高層日，北京的一幢正在施工的高層建筑的高建筑的高54.2m、長、長17.25m、總重總重565.4kN的的大型大型腳手架屈曲坍塌，造成腳手架屈曲坍塌，造成5人死亡，人死亡，7人受傷人受傷 。 橫桿之間的距離橫桿之間的距離 2.2m規(guī)定值規(guī)定值1.7m; 地面未夯

2、實，局部桿受力大；地面未夯實，局部桿受力大； 與墻體連接點太少；與墻體連接點太少； 安全因數(shù)太低：安全因數(shù)太低：1.111.75FPcrFPcrF PFPFPcrFP 分叉點分叉點(臨界點臨界點)FPFPFPFP平衡路徑平衡路徑壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉 20分叉點分叉點FPOFPcr平衡路徑平衡路徑平衡路徑平衡路徑 平衡路徑的分叉點：平衡路徑的分叉點：平衡路徑開始出現(xiàn)分叉平衡路徑開始出現(xiàn)分叉的那一點。的那一點。 分叉載荷（臨界載分叉載荷（臨界載荷）：分叉點對應(yīng)的載荷，荷）：分叉點對應(yīng)的載荷，用用FPcr 表示。表示。壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉壓桿的

3、平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉 21判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則 平衡構(gòu)形平衡構(gòu)形壓桿的兩種平衡構(gòu)形壓桿的兩種平衡構(gòu)形 (equilibrium configuration)FPFPcr : 彎曲平衡構(gòu)形彎曲平衡構(gòu)形 (在擾動作用下在擾動作用下)FP22判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則 平衡構(gòu)形平衡構(gòu)形壓桿的兩種平衡構(gòu)形壓桿的兩種平衡構(gòu)形 (equilibrium configuration)FP FPFPcr :在擾動作用下，在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢街本€平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，衡構(gòu)形，擾動除去后，不能恢復(fù)到

4、直線平衡構(gòu)形，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。FPFP24壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉 壓桿從直線平衡構(gòu)形到壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過程，彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過程，稱為稱為“屈曲屈曲”。由于屈曲，。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生側(cè)向位移，稱為屈壓桿產(chǎn)生側(cè)向位移，稱為屈曲位移。曲位移。252627282930M=-Pv = d2v Mdx2 EI令有EIPvdxvd22EIPk20222vkdxvd31EIPk20222vkdxvd022 krrki 通解通解v=Asinkx+Bcoskx32確定待定

5、系數(shù)確定待定系數(shù):v=Asinkx+Bcoskx根據(jù)邊界條件x=0及x=l時,v=0可得B=0, Asinkl=0sinkl=0?A=0Pxv33kl=np (n=0,1,2,)最小非零解為: n=122lEIPcrp歐拉公式歐拉公式222lEInPcrpPxv3435理想受壓直桿與理想受壓直桿與真實壓桿的區(qū)別真實壓桿的區(qū)別真實壓桿的缺陷：真實壓桿的缺陷：初曲率初曲率非均勻性非均勻性偏心載荷偏心載荷363722lEIPcrp38一端固支一端一端固支一端自由自由(懸臂懸臂)22)2( lEIPcrp39一端固支一端滑動一端固支一端滑動固支固支(簡稱兩端固支簡稱兩端固支)22)5 .0(lEIPc

6、rp4022)(lEIPcrp 如何分析臨界力與如何分析臨界力與撓度曲線間的關(guān)系？撓度曲線間的關(guān)系？41幾何上，形成一個正弦波所需幾何上，形成一個正弦波所需桿長與壓桿原長度之比等于桿長與壓桿原長度之比等于 值值4222)(lEIPcrp幾何上，形成一個正弦波幾何上，形成一個正弦波所需桿長與壓桿原長度之所需桿長與壓桿原長度之比等于比等于 值值 值的推導(dǎo)？值的推導(dǎo)？ 4344PPmmxy撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程EImEIPvdxvd2245通解加特解:v=Asinkx + Bcoskx + m PPPmmxyEIPk2EImvkdxvd22246邊界條件邊界條件x= 0 及 x =l 時,

7、 v = 0 ,v=0v=Asinkx+Bcoskx+ mP得0PmB0Ak0cossinPmklBklA0sincosklBkklAkSinkl = 0Cos kl -1=0解得解得K l = 0, 2p p, 4p p最小非零解最小非零解K l = 2p p224lEIPcrpEIPk2A=00PmBsinkl=0coskl-1=047xPQyEIPk2222()d vQk vlxdxEI通解加特解:v=Asinkx+Bcoskx+ (l-x)QP22()d vPQvlxdxEIEI 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程48邊界條件邊界條件x=0時, v=0 ,v=0 x=l時, v=0 得v

8、=Asinkx+Bcoskx+ (l-x)QP0lPQB0PQAk0cossinklBklAA,B,Q不能都為不能都為零，則其系數(shù)零，則其系數(shù)行列式必為零行列式必為零0 1 lk 0 -1sinkl coskl 0=0tgkl=kl最小非零解 kl=4.49222)7 .0(19.20lEIlEIPcrpEIPk249臨界載荷的通用表達(dá)式臨界載荷的通用表達(dá)式22()crE IFlp22()crcrFEIAlAp由AiI222()crcrFElAip令il22pEcr臨界應(yīng)力的臨界應(yīng)力的歐拉公式歐拉公式50ppEp21則1pcrEp22pEp2或51臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總

9、圖12bas2pEp2152臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖53crwFFnwcrnwcrwFnnF54bacrbas2 1 1 2 2 2有時有時用用 s表示表示臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖125556)(2)(1574di 12511il5.6222il25.3133il992ppEpMPaEcr1262121p57bassMPabacr2342MPascr240311158crcrFAkN22294crcrFAkN33302crcrFAkN58crstFnnF穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù) nst與強度安全系數(shù)的區(qū)別與強度安全系數(shù)的區(qū)別強度安全系數(shù)取值強度安全系數(shù)取值1.22.5，有時可達(dá)，有時可達(dá)3.5

10、穩(wěn)定安全系數(shù)取值穩(wěn)定安全系數(shù)取值25,有時可達(dá)有時可達(dá)81059在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為為No.l4普通熱軋工字普通熱軋工字鋼，鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為為圓截面直桿，其直徑為 d20 mm，二者材料均，二者材料均為為 Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸三處均為球鉸約束。若已知約束。若已知FP25 kN，l11.25 m，l20.55 m， s235 MPa。強度安全因數(shù)。強度安全因數(shù)n ns s1.451.45，穩(wěn)定安全因數(shù)穩(wěn)定安全因數(shù) n n stst1.81.8。此結(jié)構(gòu)是否安全？此結(jié)構(gòu)是否安全？ 60在給定的結(jié)構(gòu)中共有

11、兩個構(gòu)件：梁在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強度問題；桿曲的組合作用，屬于強度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題。穩(wěn)定問題。 (3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFFoo大梁大梁AB在截面在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險截面，處彎矩最大，該處橫截面為危險截面，其上的彎矩和軸力分別為其上的彎矩和軸力分別為 61(3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos302

12、5kN 10cos3021 65kN.xFFoo由型鋼表查得由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為普通熱軋工字鋼的參數(shù)為Wz =102 cm3=102 103 mm3；A21.5 cm221.5 102 mm2由此得到由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力梁內(nèi)最大應(yīng)力42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010210mN6315.AFWMNxz62(3max1(sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN mPMFlo.3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFFoo42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010

13、210mN6315.AFWMNxzMPa2 .163Pa102 .163663由此得到由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力梁內(nèi)最大應(yīng)力maxmax163 2MPa.NxzMFWAQ235鋼的許用應(yīng)力鋼的許用應(yīng)力 MPa1621.45MPa235ssn max略大于略大于 ，但（，但（ max一一 ） 100/ 0.75，在工程上仍認(rèn)為是安全的。，在工程上仍認(rèn)為是安全的。 64 kN2530sin2PPNFFFCDommdddAIi5446424pp65 kN2530sin2PPNFFFCDo5 mm4IdiA101110m105m55001P3.il66 kN2530sin2PPNFFFCDo(410mm20

14、11010GPa206423-292222crPcrdEAFkN825N108523.P110101 67 kN2530sin2PPNFFFCDo5 mm4IdiA這表明，壓桿這表明，壓桿CD為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計算其為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計算其臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力。22Pcrcr252 8kN4.EdFA 于是，壓桿的工作安全因數(shù)于是，壓桿的工作安全因數(shù) 8111225kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCD68 kN2530sin2PPNFFFCDo22Pcrcr252 8kN4.EdFA 這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。 811122

15、5kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCD上述兩項計算結(jié)果表明，整個結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定上述兩項計算結(jié)果表明，整個結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定性都是安全的。性都是安全的。 69例例 2(書例書例 9.5 )已知已知: 活塞直徑活塞直徑D= 65 mm，p= 求求： 活塞桿直徑活塞桿直徑d 。解解：這是截面設(shè)計問題。這是截面設(shè)計問題。l 需要的臨界壓力值為需要的臨界壓力值為pDF241N3980l 先假設(shè)為大柔度桿先假設(shè)為大柔度桿F1.2MPa, l=1250mm, 45鋼，鋼，p = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。FnFstcrN23900l 活塞桿所受壓力活塞桿所受壓力用歐拉

16、公式計算臨界壓力用歐拉公式計算臨界壓力70解解：這是截面設(shè)這是截面設(shè)計問題。計問題。l 需要的臨界壓力值為需要的臨界壓力值為pDF241N3980l 先假設(shè)為大柔度桿先假設(shè)為大柔度桿FFnFstcrN23900l 活塞桿所受壓力活塞桿所受壓力用歐拉公式計算臨界壓力用歐拉公式計算臨界壓力u 活塞桿可簡化為兩端鉸支桿活塞桿可簡化為兩端鉸支桿122cr)(lEIF242)(64ldEmm6 .24d取取mm25d71u 活塞桿可簡化為兩端鉸支桿活塞桿可簡化為兩端鉸支桿122cr)(lEIF242)(64ldEmm6 .24d取取mm25du 根據(jù)求出的根據(jù)求出的d計算柔度計算柔度il4dl200u

17、計算計算 1 p21E97因為因為1，是大柔度桿。，是大柔度桿。 以上計算正確。以上計算正確。7222()crEIFlpcrcrFA)(2)(1crwFnnF7322()crE IFlp22pEcr臨界應(yīng)力的臨界應(yīng)力的歐拉公式歐拉公式值降低柔度系數(shù)il747576AIi pbacrcrstFnnFscr77ililaaa5ililbbb77 .0ililccc95 .0ililddd22il78b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235鋼鋼E205 GPa, FP150 kN, nst=1.8 該壓桿的該壓桿的穩(wěn)定性？穩(wěn)定性？ 79AIizzAIiyy80工作工作安全因數(shù)

18、為安全因數(shù)為kN22764)(222crPcr.dEAzF83411502276PPcrwrcrw.FFnIz=bh3/12 z=132.6 z= z l / iz ,因此，因此，壓桿將在壓桿將在正正視視圖平面內(nèi)圖平面內(nèi)屈曲。屈曲。8183411502276PPcrwrcrw.FFn82. .圖示結(jié)構(gòu)中圖示結(jié)構(gòu)中ABAB為為剛性桿，剛性桿，CDCD為邊長為邊長a=30mma=30mm的正方形的正方形鋼桿，鋼桿，EFEF為直徑為為直徑為d=20mmd=20mm的圓截面鋼桿，彈性模量的圓截面鋼桿，彈性模量E=200 E=200 GPaGPa，比例極限為，比例極限為200MPa, 200MPa, 屈

19、服極限為屈服極限為230 MPa230 MPa，在鋼桿，在鋼桿的的B B端有集中力端有集中力F FP P作用，求鋼架倒塌時的作用，求鋼架倒塌時的F FP P值？值？1.1.倒塌時倒塌時1 1桿屈服桿屈服、2 2桿失穩(wěn)桿失穩(wěn)1632266.6crEFAkNpmax2221.52321.52PCDEFFFFmax46PFkNA AE EB BD D1m1m1 1m m1m1m1m1m1.5m1.5mF FC C1 12 2F FP PEFsFACDcrFF8322113232AEFlIEFl利用桿的變形條件利用桿的變形條件2222)2(lIEFcrpl2lABCD. .相同的懸臂梁相同的懸臂梁AB

20、AB和和CDCD，抗彎剛度為抗彎剛度為 E E1 1I I1 1，長，長L L，垂直，垂直間距為間距為L/2,L/2,若在兩梁間裝配細(xì)桿若在兩梁間裝配細(xì)桿BD,BD,其抗壓剛度為其抗壓剛度為E E2 2A A2 2 , ,抗彎剛度為抗彎剛度為E E2 2I I2 2 , ,求加工求加工BDBD桿的最大允許過盈量桿的最大允許過盈量。FF利用桿的穩(wěn)定條件利用桿的穩(wěn)定條件)232(42211222maxlAIIElIEp兩根梁自由端撓度兩根梁自由端撓度加上加上桿的桿的壓縮壓縮變形變形關(guān)鍵在于建立關(guān)鍵在于建立變形變形協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)條件條件84兩端鉸支兩端鉸支8586Pcr87 圖示結(jié)構(gòu)，是剛性桿，是彈性桿，

21、圖示結(jié)構(gòu)，是剛性桿，是彈性桿，AC桿桿的抗拉壓剛度為，求此桁架的臨界載荷的抗拉壓剛度為，求此桁架的臨界載荷crsinhlAC88cossinACEAEAllFACACsincrhFhPAC求出由0crBMPEAPcossin2cr89bacdcrcrcrcrFFFF90AIi pbacrstcrnPPnscr91lw2FlcyxcxcABw1F1Flcyxcxl922121112( )d wF cEIMxxFwdxl(0()xlc2222122()()( )d wF lc lxEIMxFwdxl()lcxlw1F1F2FlcyxcxlcAB2F cl2()Flcl932121112( )d wF cEIMxxFwdxl(0()xlc2222122()()( )d wF lc lxEIMxFwdxl()lcxl221212d wF ck wxdxE