二項分布與超幾何分布

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中幾個重要的隨機變量分布列一超幾何分布超幾何分布是統(tǒng)計學上一種離散型隨機變量的概率分布.它描述了由有限個物件中抽出n個物件,成功抽出指定種類的物件的個數(shù)（不歸還）的概率分布.我們所使用的人教版教材選修2-3中通過一個例題歸納超幾何分布的。我們再復(fù)習一下這個例題：例1在含有 5 件次品的 100 件產(chǎn)品中，任取 3 件，試求： (1)取到的次品數(shù)X 的分布列；(2)至少取到1件次品的概率 解： (1)由于從 100 件產(chǎn)品中任取3 件的結(jié)果數(shù)為，從100 件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k 件次品的結(jié)果數(shù)為，那么從 100 件產(chǎn)品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率為

2、。所以隨機變量 X 的分布列是 X0123P(2)根據(jù)隨機變量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 超幾何分布的概念：一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 X=k發(fā)生的概率為,其中，且稱分布列X01P為超幾何分布列如果隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布.關(guān)于這個概念我們要掌握：(1) 從含有次品的一批產(chǎn)品中不放回地

3、抽出一定數(shù)量的樣品，則其中所含的次品數(shù)X是一個隨機變量，它服從超幾何分布;(2)當時，概率計算公式 二二項分布：1.獨立重復(fù)試驗的概率公式：一般地，如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率它是展開式的第項3.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件發(fā)生的概率是P，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù).關(guān)于這個

4、概念，我們重點掌握兩點： (1)判斷：在次獨立重復(fù)試驗中事件A（在一次試驗中發(fā)生的概率為p）發(fā)生的次數(shù); (2)分布列求解：，（k0,1,2,，n，） 例2某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)的概率分布解：依題意，隨機變量B(2，5%)所以，P(=0)=(95%)=0.9025，P(=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025因此，次品數(shù)的概率分布是012P0.90250.0950.0025三二項分布與超幾何分布辨析1.二項分布與超幾何分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來

5、解決在實際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個概率模型是至關(guān)重要的下面舉例進行對比辨析例3.袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球求：（1）有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列；（2）不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列解：（1）有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復(fù)試驗，則； 因此，的分布列為0123（2）不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為，1，2，且有：；因此，的分布列為012辨析：通過此例可以看出：有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復(fù)試驗，此種抽樣是

6、二項分布模型而不放回抽樣時，取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣所以，在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，仔細閱讀、辨析題目條件是非常重要的2.超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系(1)判斷方法：從含有次品的一批產(chǎn)品中不放回地抽出一定數(shù)量的樣品，則其中所含的次品數(shù)是一個隨機變量，它服從超幾何分布：在一次隨機試驗中某事件發(fā)生的概率為p,在n次獨立重復(fù)實驗中，該事件發(fā)生的次數(shù)為一個隨機變量，它服從以n，p為參數(shù)的二項分布，即。 (2)相同點：超幾何分布和二項分布都是離散型隨機變量的

7、概率分布不同點：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽?。í毩⒅貜?fù)）聯(lián)系：當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布.3綜合練習：1.判斷各題中隨機變量所服從的分布：(1) 袋中有3個白球、3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X； (2) 袋中有3個白球、3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y； (3) 某人定點投籃1次，擊中目標的概率是0.8，他連續(xù)投籃10次，每次從控球到投籃所花時間t; (4)高二8班同學身高超過175CM的概率為0.4，現(xiàn)從全班60個人中任

8、意選取5名同學，則他們的身高h； (5)依次拋擲5枚不同但質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的次數(shù)X；(6)從含12件正品和4件次品的一批產(chǎn)品中有放回地抽取3件產(chǎn)品，則其中所抽到次品的個數(shù)服從 分布.2每次試驗的成功率為，重復(fù)進行10次試驗，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為（ ） 310張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中，恰有一人中獎的概率為（ ） 4某人有5把鑰匙，其中有兩把房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪兩把，只好逐把試開，則此人在3次內(nèi)能開房門的概率是 （ ） 5甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為，比賽時均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲打完4局

9、才勝的概率為（ ） 6一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，則該射手打3發(fā)得到不少于29環(huán)的概率為 （設(shè)每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù)）7一名籃球運動員投籃命中率為，在一次決賽中投10個球，則投中的球數(shù)不少于9個的概率為 8一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為 9某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨立的，若每臺車床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為，求：（1）在任一時刻車間有3臺車床處于停車的概率；（2）至少有一臺處于停車的概率10種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：全部成活的概率； 全部死亡的概率；恰好成活3

10、棵的概率； 至少成活4棵的概率11（1）設(shè)在四次獨立重復(fù)試驗中，事件至少發(fā)生一次的概率為，試求在一次試驗中事件發(fā)生的概率（2）某人向某個目標射擊，直至擊中目標為止，每次射擊擊中目標的概率為，求在第次才擊中目標的概率12. 實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽）（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率（2）按比賽規(guī)則甲獲勝的概率解：甲、乙兩隊實力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為記事件=“甲打完3局才能取勝”，記事件=“甲打完4局才能取勝”，記事件=“甲打完5局才能取勝”甲打完3局取勝，相當于進行3次獨立重復(fù)試驗，且每局比賽甲均取勝甲打完3局取勝的概率為甲打完4