人教版高中數(shù)學【必修四】[知識點整理及重點題型梳理]-平面向量的基本定理及坐標表示-提高

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版高中數(shù)學必修四知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習平面向量的基本定理及坐標表示【學習目標】1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.【要點梳理】要點一：平面向量基本定理1平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.這說明如果且，那么.當基底是兩個互

2、相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎.要點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎，它保證了向量與坐標是一一對應的，在應用時，構成兩個基底的向量是不共線向量.2如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的（2）在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示選擇了不共線

3、的兩個向量、 ，平面上的任何一個向量都可以用、 唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉化為代數(shù)問題，轉化為只含有、 的代數(shù)運算要點二：向量的夾角 已知兩個非零向量a與b，在平面上任取一點O，作a，b，則叫做a與b的夾角，記為a，b當向量a與b不共線時，a與b的夾角；當向量a與b共線時，若同向，則；若反向，則，綜上可知向量a與b的夾角當向量a與b的夾角是，就說a與b垂直，記作ab要點詮釋：（1）向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問題（2）向量ab是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直要點三：平面向量的坐標表示1正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量

4、正交分解要點詮釋：如果基底的兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式2平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標把=叫做向量的坐標表示給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系

5、，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系要點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中（2）要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同比如，若，則；若，則，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量要點四：平面向量的坐標運算1平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算運 算坐標語言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=(x，y)2如何進行平面

6、向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的（4）要清楚向量的坐標與表示該

7、向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關要點五：平面向量平行(共線)的坐標表示1平面向量平行(共線)的坐標表示設非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要點詮釋：若，則不能表示成因為分母有可能為0.2.三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若則A，B，C三點共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理【平面向量基本定理及坐標運算 例1】例1如圖，在中，是中點，線段與交于點，試用基底表示：（1）；（2）；（3）.【解析】（1） =

8、= = =（2）=（3）在中，取同理：是的中點 =【總結升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結合實數(shù)與向量的積的定義，解題時要注意解題途徑的優(yōu)化與組合舉一反三：【變式1】ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.G【思路點撥】選取，作為基底，構造在此基底下的兩種不同的表達形式.再根據(jù)相同基底的系數(shù)對應相等得實數(shù)方程組求解.【解析】設又 又而比較，由平面向量基本定理得：解得：或（舍） ，把代入得：.例2如圖，在OAB中，AD與BC交于點M，設，試以a，b為基底表示【思路點撥】直接利用、表示比較困難，可以先設，再根據(jù)三點共線的知識尋找出的兩個方程，聯(lián)立方程組

9、，解之即得【解析】設（m，nR），則，A、M、D三點共線，即m+2n=1 而，C、M、B三點共線，即4m+n=1 由，解得，【總結升華】 （1）充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點共線，注重方程思想的應用；（2）用基底表示向量也是運用向量解決問題的基礎，應根據(jù)條件靈活應用，熟練掌握 舉一反三：【變式1】如圖所示，在ABC中，點M是AB的中點，且，BN與CM相交于點E，設，試用基底a，b表示向量【解析】易得，由N、E、B三點共線知存在實數(shù)m，滿足 由C、E、M三點共線知存在實數(shù)n，滿足所以即，解得，即類型二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例3設、是三個有共同起點的不共線向量，求證：

10、它們的終點A、B、P共線，當且僅當存在實數(shù)m、n使m+n=1且【思路點撥】本題包含兩個問題：（1）A、B、P共線m+n=1，且成立；（2）上述條件成立A、B、P三點共線【證明】（1）由三點共線m、n滿足的條件若A、B、P三點共線，則與共線，由向量共線的條件知存在實數(shù)使，即，令，n=，則且m+n=1（2）由m、n滿足m+n=1A、B、P三點共線若且m+n=1，則則，即與共線，A、B、P三點共線由（1）（2）可知，原命題是成立的【總結升華】 本例題的結論在做選擇題和填空題時，可作為定理使用，這也是證明三點共線的方法之一舉一反三：【變式1】設e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，如果，求證：A，C，D三點共

11、線【解析】 因為，所以與共線類型三：平面向量的坐標運算例4已知，且求M、N及的坐標.【思路點撥】根據(jù)題意可設出點C、D的坐標，然后利用已知的兩個關系式，列方程組，求出坐標.【解析】 設，則同理可求，因此【總結升華】向量的坐標是向量的另一種表示形式，它只與起點、終點、相對位置有關，三者中給出任意兩個，可求第三個.在求解時，應將向量坐標看做一“整體”，運用方程的思想求解.向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算，必須熟練掌握.舉一反三：【變式1】 已知點以及求點C，D的坐標和的坐標.【解析】設點C、D的坐標分別為，由題意得因為，所以有和，解得和所以點C、D的坐標分別是(0，4)，(-2，0)，

12、從而類型四：平面向量平行的坐標表示例5.（2015秋 遼寧和平區(qū)期末）在平面內(nèi)給定三個向量，（1）求滿足的實數(shù)m、n的值（2）若向量滿足，且，求向量的坐標【答案】（1），；（2）（3，1）或（5，3）【解析】（1）由已知條件以及，可得：（3，2）=m(2，2)+n(4，1)=(m+4n，2m+n)，解得實數(shù)，（2）設向量，解得 或 ，向量的坐標為（3，1）或（5，3） 舉一反三：【變式1】向量，當k為何值時，A、B、C三點共線？【解析】 ，A、B、C三點共線，即(k4)(12k)(k10)×7=0整理，得k29k22=0解得k1=2或k2=11當k=2或11時，A、B、C三點共線【總

13、結升華】以上方法是用了A、B、C三點共線即公共點的兩個向量，共線，本題還可以利用A、B、C三點共線或，即得k=2或11時，A、B、C三點共線【變式2】（2016秋 廣東潮南區(qū)期末）已知向量（1）求；（2）若向量與平行，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）向量，（2），向量與平行，解得【平面向量基本定理及坐標運算 例4】例6如圖，已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點P的坐標【解析】方法一：由O、P、B三點共線，可設，則，由與共線得(44)×64×(2)=0，解得，所以所以P點坐標為（3，3）方法二：設P（x，y），則，因為，且與共線，所以，即x=y又，且與共線，則得(x4)×6y×(2)=0，解得x=y=3，所以P點坐標為（3，3）【總結升華】（1）平面向量的坐標表示，使向量問題完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結合起來，這樣很多幾何問題的證明，就轉化為熟悉的數(shù)量運算（2）要注意把向量的坐標與點的坐標區(qū)別開來，只有當始點在原點時，向量坐標才與終點坐標相等舉一反三：【變式1】（2015春 四川達州期末）已知如圖，四邊形ABCD