第六章參數(shù)估計

1、第六章 參數(shù)估計§6.1 點估計的幾種方法6.1.1 替換原理和矩法估計一、矩法估計替換原理：(1)用樣本矩去替換總體矩，這里的矩可以是原點矩也可以是中心矩；(2)用樣本矩的函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù)。舉例二、概率函數(shù)已知時未知參數(shù)的矩法估計設(shè)總體具有已知的概率函數(shù)，是未知參數(shù)或參數(shù)向量，是樣本，假定總體的階原點矩存在，則對所有，都存在，若假設(shè)能夠表示成的函數(shù)，則可給出諸的矩法估計：其中是前個樣本原點矩：，進一步，如果要估計的函數(shù)，則可直接得到的矩法估計。例1 設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，是樣本，此處，由于，亦即，故的矩法估計為另外，由于，其反函數(shù)為，因此，從替換原理來看，的矩

2、法估計也可取為 ， 樣本標準差。這說明矩估計可能是不唯一的，這是矩法估計的一個缺點，此時通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計。 例2設(shè)是來自上的均勻分布的樣本，與均是未知參數(shù)，這里 其密度函數(shù)為 ，求，的矩估計.解 由得方程組： 解此方程組，得到矩估計量: 6.1.2最大似然估計定義6.1.1 設(shè)總體的概率函數(shù)為，其中是一個未知參數(shù)或幾個未知參數(shù)組成的參數(shù)向量，是參數(shù)可能取值的參數(shù)空間，是來自該總體的樣本，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成的函數(shù)，用表示，簡記為，稱為樣本的似然函數(shù)。如果某統(tǒng)計量滿足 則稱是的最大似然估計，簡記為MLE。注意：(1)常常使用對數(shù)似然函數(shù)，因為其與似然函數(shù)具有相同的最值

3、。(2)求導(dǎo)是最常用的求最值的方法。例3 設(shè)一個試驗的三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分別為，現(xiàn)做了n次試驗，觀測到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為，(+=n)。則似然函數(shù)為 其對數(shù)似然函數(shù)為 將之關(guān)于求導(dǎo)并令其為0得到似然方程 解之，得 由于 所以為極大值點。例4 設(shè)樣本x1，x2，xn來自正態(tài)總體X N (m，s 2)，(m，s 2)是二維參數(shù)，未知，求其的極大似然估計。解 似然函數(shù)為 于是對數(shù)似然函數(shù)為 解之得易驗證，為L(m，s 2)得最大值點。因此，的極大似然估計值為 求導(dǎo)無法解決的問題，如下例。 例5 設(shè)是來自均勻分布的樣本，試求的最大似然估計。解 似然函數(shù)為要使達到最大，首先一點是示性函數(shù)取值應(yīng)

4、該為1，其次是盡可能大。由于是的單調(diào)減函數(shù)，所以的取值就盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了不能小于，由此給出了的最大似然估計：。最大似然估計的不變性：如果是的最大似然估計，則對任一函數(shù)，其最大似然估計為。例6 設(shè)是來自正態(tài)總體N (m，s 2)的樣本，在前例中已經(jīng)求得了參數(shù)的最大似然估計為于是由最大似然估計的不變性可得如下參數(shù)的最大似然估計，它們是概率的MLE為總體0.90分位數(shù)的MLE是，其中是標準正態(tài)分布的0.90分位數(shù)。§6.2 點估計的評價標準6.2.1 相合性定義6.2.1 設(shè)為未知參數(shù)，是的一個估計量，是樣本容量，若對任何一個，有則稱為參數(shù)的相合估計。注意：相合性一般可以應(yīng)用

5、大數(shù)定律或直接由定義、依概率收斂的性質(zhì)來證。例1 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則由辛欽大數(shù)定律及依概率收斂的性質(zhì)知：(1)是的相合估計；(2)是的相合估計(3)也是的相合估計由此可見，參數(shù)的相合估計不止一個。定理6.2.1 設(shè)是的一個估計量，若。則為的相合估計。例2 設(shè)是來自均勻總體的樣本，證明的最大似然估計是相合估計。證明 由上一節(jié)知，的最大似然估計是。由次序統(tǒng)計量的分布，我們知道的分布密度函數(shù)為故有 由定理知，是的相合估計。定理6.2.2 若分別是的相合估計，是的連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計。注意：(1)樣本均值是總體均值的相合估計；(2)樣本標準差是總體標準差的相合估計；(3)樣本變異系數(shù)是總體

6、變異系數(shù)的相合估計。例3 設(shè)一個試驗有三種可結(jié)果，其發(fā)生概率分別為，現(xiàn)做了n次試驗，觀測到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為，可以采用頻率替換方法估計。由于可以有三個不同的的表達式：，由大數(shù)定律，分別是，的相合估計，由上面定理知，上述三個估計都是的相合估計。6.2.2 無偏性定義6.2.2設(shè)是的一個估計，的參數(shù)空間為，若對任意的，有則稱是的無偏估計，否則稱為有偏估計。注意：無偏性可以改寫為，表示沒有系統(tǒng)偏差。例4設(shè)總體的k階矩存在，則樣本的k階矩是總體k階矩的無偏估計。證 因為所以 ak 是 mk 的無偏估計。另外，檢驗是否為的無偏估計。因為，故，即 所以不是s 2的無偏估計，但 為s 2的無偏估計量.

7、由此可知不是s 2的無偏估計量，而樣本方差是s 2的無偏估計。 不過，當(dāng)時，有。稱是s 2的漸近無偏估計。注意：無偏性不具有不變性。即是的無偏估計時，不一定是的無偏估計，除非是的線性函數(shù)。如是s 2的無偏估計，但不是的無偏估計。例5 設(shè)總體為，是樣本，我們已經(jīng)證明是s 2的無偏估計。由定理5.3.1，其密度函數(shù)為 從而由此，我們有這說明不是的無偏估計，利用修正技術(shù)可得是的無偏估計，其中是修偏系數(shù)?？梢宰C明當(dāng)時，有，這說明是的漸近無偏估計，從而在樣本容量較大時，不經(jīng)修正的也是的一個很好的估計。6.2.3 有效性定義6.2.3設(shè)均為未知參數(shù)q 的無偏估計量，若 且至少存在一個q 0ÎQ，

8、使上述不等號嚴格成立，則稱有效。例6 設(shè)是取自某總體的樣本，記總體均值為，總體方差為，則都是的無偏估計，但顯然，只要，比有效。例7 在例2中，均勻總體中的極大似然估計是，由于，所以不是的無偏估計，但是的漸近無偏估計。經(jīng)過修偏后可以得到的一個無偏估計：。且另一方面，由矩法，我們可得到的另外一個無偏估計，且由此，當(dāng)時，比有效。6.2.4 均方誤差均方誤差定義式為：由于因此均方誤差由兩部分組成，點估計的方差與偏差的平方。如果點估計是無偏的，則均方誤差等于其方差。例8 在前例中，的均方誤差現(xiàn)在考慮的形如的估計，其均方誤差為用求導(dǎo)的方法不難求出當(dāng)時上述均方誤差達到最小，且，這表示雖然是的有偏估計，但其均

9、方誤差所以在均方誤差的標準下，有偏估計優(yōu)于無偏估計。例5 設(shè)總體為，是樣本，我們已經(jīng)證明是s 2的無偏估計。由定理5.3.1，其密度函數(shù)為 從而由此，我們有這說明不是的無偏估計，利用修正技術(shù)可得是的無偏估計，其中是修偏系數(shù)。可以證明當(dāng)時，有，這說明是的漸近無偏估計，從而在樣本容量較大時，不經(jīng)修正的也是的一個很好的估計。6.2.3 有效性定義6.2.3設(shè)均為未知參數(shù)q 的無偏估計量，若 且至少存在一個q 0ÎQ，使上述不等號嚴格成立，則稱有效。例6 設(shè)是取自某總體的樣本，記總體均值為，總體方差為，則都是的無偏估計，但顯然，只要，比有效。例7 在例2中，均勻總體中的極大似然估計是，由于，

10、所以不是的無偏估計，但是的漸近無偏估計。經(jīng)過修偏后可以得到的一個無偏估計：。且另一方面，由矩法，我們可得到的另外一個無偏估計，且由此，當(dāng)時，比有效。6.2.4 均方誤差均方誤差定義式為：由于因此均方誤差由兩部分組成，點估計的方差與偏差的平方。如果點估計是無偏的，則均方誤差等于其方差。例8 在前例中，的均方誤差現(xiàn)在考慮的形如的估計，其均方誤差為用求導(dǎo)的方法不難求出當(dāng)時上述均方誤差達到最小，且，這表示雖然是的有偏估計，但其均方誤差所以在均方誤差的標準下，有偏估計優(yōu)于無偏估計。§6.3 最小方差無偏估計6.3.1 Rao-Blackwell定理定理6.3.1(Rao-Blackwell定理

11、) 設(shè)X和Y是兩個隨機變量，用條件期望構(gòu)造一個新的隨機變量，其定義為則有其中等號成立的充分必要條件是X和幾乎處處相等。定理6.3.2 設(shè)總體概率密度函數(shù)是，是其樣本，T=T()是的充分統(tǒng)計量，則對的任一無偏估計，令，則也是的無偏估計，且證明 由于T=T()是充分統(tǒng)計量，故而與無關(guān)，因此它也是一個估計(統(tǒng)計量)，只要在定理6.3.1中取即可完成本定理的證明。注意，充分性原則：如果無偏估計不是充分統(tǒng)計量的函數(shù)，則將之對充分統(tǒng)計量求條件期望可以得到一個新的無偏估計，該估計的方差比原來的估計的方差要小，從而降低了無偏估計的方差。即考慮的估計問題只需要在基于充分統(tǒng)計量的函數(shù)中進行即可。例1 設(shè)是來自的樣

12、本，則(或)是的充分統(tǒng)計量。為估計，可令由于所以是的無偏估計。這個估計并不好，它只使用了兩個觀測值，下面用Rao-Blackwell定理對之加以改進：求關(guān)于充分統(tǒng)計量的條件期望，過程如下。其中?？梢则炞C，是的無偏估計，且6.3.2 最小方差無偏估計定義6.3.1 對參數(shù)估計問題，設(shè)是的一個無偏估計，如果對另外任意一個的一個無偏估計，在參數(shù)空間上有都有則稱是一致是最小方差無偏估計，簡記為UMVUE。注意：定理6.3.2表明，如果UMVUE存在，則它一定是充分統(tǒng)計量的函數(shù)。一般而言，如果依賴充分統(tǒng)計量的無偏估計只有一個，則它就是UMVUE。定理6.3.3 設(shè)X=()是來自某總體的一個樣本，(X)是

13、的一個無偏估計，。如果對任意一個滿足的，都有則是的UMVUE。例2 設(shè)是來自指數(shù)分布的樣本，則根據(jù)因子分解定理可知，是的充分統(tǒng)計量，由于，所以是的無偏估計。設(shè)是的任一無偏估計，則 即 兩端對求導(dǎo)。得 這說明，從而 由定理6.3.3，是的UMVUE。6.3.3 Cramer-Rao不等式定義6.3.2 設(shè)總體的概率函數(shù)，滿足下列條件：(1)參數(shù)空間是直線上的一個開區(qū)間；(2)支撐與無關(guān)；(3)導(dǎo)數(shù)對一切都存在；(4)對，積分與微分運算可交換次序，即(5)期望存在，則稱 為總體分布的費希爾(Fisher)信息量。 注意：越大可被解釋為總體分布中包含未知參數(shù)的信息越多。 例3 設(shè)總體為泊松分布，其分

14、布列為 可以看出定義6.3.2的條件滿足，且于是 。例4 設(shè)總體為指數(shù)分布，密度函數(shù)為可以驗證定義6.3.2的條件滿足，且于是 定理6.3.4(Cramer-Rao不等式) 設(shè)定義6.3.2的條件滿足，是來自該總體的樣本，T=T()是的任一個無偏估計，存在，且對中一切，對的微分可在積分號下進行，即對離散總體，則將上述積分改為求和符號后，等式仍然成立，則有上式稱為C-R不等式。稱為的無偏估計的方差的C-R下界，簡稱的C-R下界。特別地，對的無偏估計，有注意：如果C-R不等式中的等號成立，則稱T=T()是的任有效估計，有效估計一定是UMVUE。例5 設(shè)總體分布列為它滿足定義6.3.2的所有條件，可

15、以算得該分布的費希爾信息量為，若是該總體的樣本，則的C-R下界為。由于樣本均值是的無偏估計，且其方差等于，達到了C-R下界，所以是的有效估計，它也是的UMVUE。例6 設(shè)總體為指數(shù)分布，它滿足定義6.3.2的所有條件，例6.3.4中已經(jīng)算出該分布的費希爾信息量為，若是樣本，則的C-R下界為，而是的無偏估計，且其方差等于，達到了C-R下界，所以是的有效估計，它也是的UMVUE。注意：大多無偏估計都達不到其C-R下界。例7 設(shè)總體為正態(tài)分布，它滿足定義6.3.2的所有條件，下面計算它的費希爾信息量。由于，故令，則的C-R下界為的無偏估計為可以證明，這是的UMVUE。其方差大于C-R下界。表明所有的

16、的無偏估計的方差都大于其C-R下界。定理6.3.5 設(shè)總體X有密度函數(shù)，為非退化區(qū)間，假定(1)對任意的，偏導(dǎo)數(shù)，和對所有都存在；(2)，有，其中函數(shù)，滿足，(3)，。若是來自該總體的樣本，則存在未知參數(shù)的最大似然估計，且具有相合性和漸近正態(tài)性，。如上定理表明最大似然估計通常是漸近正態(tài)的，且其漸近方差有一個統(tǒng)一的形式，主要依賴于費希爾信息量。例8 設(shè)是來自的樣本，可以驗證該總體分布在已知或已知時均定理6.3.5的三個條件。(1)在已知時，的MLE為，由定理6.3.5知，服從漸近正態(tài)分布。從而有，該近似分布與的精確分布相同。(2)在已知時，的MLE為，從而有§6.4 貝葉斯估計6.4.

17、1 統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)總體信息樣本信息先驗信息：如果我們把抽取樣本看作一次試驗，則樣本信息就是試驗中得到的信息。貝葉斯學(xué)派的基本觀點是：任一未知量都可以看作是隨機變量，可用一個概率分布去描述，這個分布稱為先驗分布；6.4.2 貝葉斯公式的密度函數(shù)形式(1)總體依賴于參數(shù)的概率函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計中記為，它表示在隨機變量取某個給定值時總體的條件概率函數(shù)。(2)根據(jù)參數(shù)的先驗信息確定先驗分布。(3)從貝葉斯觀點看，樣本X=()的產(chǎn)生要分兩步進行。首先設(shè)想從先驗分布產(chǎn)生一個樣本，這一步是人們無法看到的。第二步從(X)中產(chǎn)生一組樣本，這時樣本X=()的聯(lián)合條件概率函數(shù)為(X)這個分布綜合了總體信息和樣本信息。

18、(4)由于是設(shè)想出來的，仍然是未知的，它是按先驗分布產(chǎn)生的。為把先驗信息綜合進去，不能只考慮，對的其他值發(fā)生的可能性也要加以考慮，故要用進行綜合。這樣一來，樣本X和參數(shù)的聯(lián)合分布為(X)=(X)這個聯(lián)合分布把總體信息、樣本信息和先驗信息三種可用信息都綜合進去了。(5)目的是要對未知參數(shù)作統(tǒng)計推斷。在沒有樣本信息時，只能依據(jù)先驗分布對作出推斷。在有了樣本觀察值X=()之后，應(yīng)該依據(jù)(X)對作出推斷。若把(X)作如下分解：(X)X)(X)其中(X)是X的邊際概率函數(shù)： (X)=XX它與無關(guān)，或者說(X)中不含含的任何信息。因此能用來對作出推斷的僅是條件分布X)，它的計算公式是X)=(X)/(X)=

19、(X)/X這個條件分布稱為后驗分布，它集中了總體、樣本和先驗中有關(guān)的一切信息。上式就是用密度函數(shù)表示的貝葉斯公式。它要比更接近的實際情況。6.4.3 貝葉斯估計由后驗分布X)估計有三種常用的方法：(1)使用后驗分布的密度函數(shù)最大值點作為的點估計的最大后驗估計；(2)使用后驗分布的中位數(shù)作為的點估計的后驗中位數(shù)估計；(3)使用后驗分布的均值作為的點估計的后驗期望估計。這是用得最多的一種方法，一般也簡稱為貝葉斯估計，記為例1 設(shè)某事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為，為估計，對試驗進行了n次獨立觀測，其中事件A發(fā)生了X次，顯然。假若在試驗前對事件A沒有什么了解，從而對其發(fā)生的概率也沒有任何信息。在這種情

20、況下，貝葉斯建議采用“同等無知”的原則使用區(qū)間(0,1)上的均勻分布作為的先驗分布，因為它取(0,1)上的每一點的機會均等。這一假設(shè)后被稱為貝葉斯假設(shè)。由此即可利用貝葉斯公式求出的后驗分布。具體如下：先寫出和的聯(lián)合分布然后求X的邊際分布最后求出的后驗分布最后的結(jié)果說明，其后驗期望估計為如果不用先驗信息，只用總體信息與樣本信息，那么事件A發(fā)生的概率的最大似然估計為是與貝葉斯估計不同兩個估計。 例2 設(shè)是來自正態(tài)分布的一個樣本，其中已知，未知，假設(shè)的先驗分布亦為正態(tài)分布，其中先驗均值和先驗方差均已知，試求的貝葉斯估計。解 樣本X的分布和的先驗分布分別為(X)由此可以寫出X與的聯(lián)合分布 (X)其中，

21、。若記 A=，則有 (X)注意到A，B，C均與無關(guān)，由此容易計算樣本的邊際密度函數(shù) (X)=X應(yīng)用貝葉斯公式可得到后驗分布 X)=(X)/(X)這說明在樣本給定后，的后驗分布為，即 X后驗均值即為其貝葉斯估計：它是樣本均值與先驗均值的加權(quán)平均。當(dāng)總體方差較小或樣本量較大時，樣本均值的權(quán)重較大；當(dāng)先驗方差較小時，先驗均值的權(quán)重較大，這一綜合符合人們的經(jīng)驗，也是可以接受的。6.4.4 共軛先驗分布定義6.4.1 設(shè)是總體參數(shù)，是其先驗分布，若對任意的樣本觀測值得到的后驗分布X)與屬于同一個分布族，則稱該分布族是的共軛先驗分布(族)。例3 在例1中，知道(0，1)上的均勻分布就是貝塔分布的一個特例，

22、其對應(yīng)的后驗分布則是貝塔分布。更一般地，設(shè)的先驗分布是均已知，則由貝葉斯公式可以求出后驗分布為，這說明貝塔分布是伯努得試驗中成功概率的共軛先驗分布。例2中，在方差已知時正態(tài)總體均值的共軛先驗分布是正態(tài)分布。§6.5 區(qū)間估計6.4.1 區(qū)間估計的概念定義6.5.1 設(shè)是總體的一個參數(shù)，其參數(shù)空間為，是來自該總體的樣本，對給定的一個()，若有兩個統(tǒng)計量和，若對任意的，有則稱隨機區(qū)間為參數(shù)q 的置信度為1-a 的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和上限。置信度1-a 也稱置信水平。定義式的意義：由定義可知，置信區(qū)間是以統(tǒng)計量為端點的隨機區(qū)間，對于給定的樣本觀察值,由統(tǒng)計量構(gòu)成的置信區(qū)間可能包含真

23、值q ，也可能不包含真值q ， 但在多次觀察或?qū)嶒炛?，每一個樣本皆得到一個置信區(qū)間，在這些區(qū)間中包含真值q 的區(qū)間占100（1-a）%，不包含q的僅占100a %. 例如取a=0.05，在100次區(qū)間估計中，大約有95個區(qū)間包含真值q ，而不包含q得約占5個。定義6.5.2 沿用定義6.5.1的記號，如對給定的()，對任意的，有則稱為q的1-a同等置信區(qū)間。定義6.5.3 設(shè)是統(tǒng)計量，對給定的()，對任意的，有則稱為q 的置信水平為1-a 的(單側(cè))置信下限。假如等號對一切成立，則稱為q 的1-a同等置信下限。定義6.5.4 設(shè)是統(tǒng)計量，對給定的()，對任意的，有則稱為q 的置信水平為1-a

24、的(單側(cè))置信上限。假如等號對一切成立，則稱為q 的1-a同等置信上限。6.5.2 樞軸量法樞軸量法的步驟：(1)設(shè)法構(gòu)造一個樣本和q的函數(shù)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。(2)適當(dāng)?shù)剡x擇兩個常數(shù)c,d，使對給定的()，有(3)假如能將進行不等式等式等價變形化為，則有這表明是q 的1-a同等置信區(qū)間。說明：構(gòu)造置信區(qū)間的關(guān)鍵在于構(gòu)造樞軸量，名字由此得來。樞軸量的尋找一般從q 的點估計入手。其中c,d的選擇有多種，目的是使得到的盡可能短。但實際上經(jīng)常采用對稱的原則，即c,d的選擇使這樣得到的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。實用的置信區(qū)間大都是等尾置信區(qū)間。例1 設(shè)是來自均

25、勻總體的一個樣本，試對給定的()給出的1-a同等置信上限。解 采用樞軸量法分三步進行(1)我們已知的最大似然估計為樣本的最大次序統(tǒng)計量，而的密度函數(shù)為它與參數(shù)無關(guān)，故可取作為樞軸量G。(2)由于的分布函數(shù)為，故，因此我們可以適當(dāng)?shù)倪x擇滿足(3)利用不等式變形可容易地給出的同等置信區(qū)間為該區(qū)間的平均長度為。則在及的條件下，當(dāng)，時，取得最小值，這說明是的置信水平為1-a最短置信區(qū)間。6.5.3 單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間一、s 已知時m 的置信區(qū)間這時m的點估計為，其分布為，因此樞軸量可選擇為，和應(yīng)滿足經(jīng)過不等式變形得到 該區(qū)間的長度為，由于標準正態(tài)分布為單峰對稱的，由圖中可見，在的條件下，當(dāng)時，

26、達到最小，由此給出了的置信水平為1-a 的同等置信區(qū)間為。圖7-1 標準正態(tài)分布的雙側(cè) 分位點這是一個以主中心，半徑為的對稱區(qū)間，常將之表示為。例2 已知某種燈泡的壽命X (單位：小時) 服從正態(tài)分布N (m ，8)?，F(xiàn)從這批燈泡中抽取10個，側(cè)得其壽命分別為1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200.若a =0.05， 試求期望m 的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 由樣本算得, 查表得；由于s 2=8已知，故m的置信度為0.95的置信區(qū)間為，即1145.25，1148.75為所求得置信區(qū)間。例3 設(shè)總體為正態(tài)分布N (m ，1)，為得到

27、m 的置信度為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2，樣本容量應(yīng)為多少？解 由于m 的置信度為0.95的置信區(qū)間為其區(qū)間長度為，它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無關(guān)。現(xiàn)要求，則有?，F(xiàn)在，從而，則，即樣本容量至少為11時才能使得的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2。 二、s 未知時m 的置信區(qū)間這時可用統(tǒng)計量，因為，因此可用其作為樞軸量，由關(guān)系式進行恒等變形, 即可得到置信水平為1-a 的置信區(qū)間為： .此處是的無偏估計。例4 為確定某種溶液中的甲醛濃度，取得4個獨立測量值的樣本，并算的樣本均值為，樣本標準差為s =0.03%。設(shè)被測總體近似的服從正態(tài)分布，a =0.05，試求出m的置

28、信水平為0.95的置信區(qū)間。解因為s 2未知，所以m 的置信區(qū)間為這里,將代入即得m 的置信區(qū)間為8.292%,8.388%三、s 2的置信區(qū)間實際上，當(dāng)s 2未知時，均值m已知的情形極為少見，因此只就m未知的情況進行討論。這時可取則相應(yīng)的樞軸量為其中為樣本方差。 類似地可得s 2的置信度為1-a 的置信區(qū)間為將之開方就得s的置信區(qū)間。例5 求上例中s 2的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 對于s 2，由于m 未知，其置信區(qū)間為又 ， 和 代入即得。6.5.4 大樣本置信區(qū)間在樣本容量充分大時，可以用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間。設(shè)是來自二點分布的樣本，現(xiàn)要求的1-a 的置信區(qū)間，由中心極限定

29、理知，樣本均值的漸近分布為，因此有這個可以作為樞軸量，對給定的，利用標準正態(tài)分布的分位數(shù)可得括號里的事件等價于記，上述不等式可化為左側(cè)的二次多項式的判別式故此二次多項式的開口向上并與軸有兩個交點的曲線，記此兩個交點即二次多項式的二根為，則有，二根可表示為由于比較大，在實用中通常略去項，于是置信區(qū)間近似為。例6 對某事件A作120次觀察，A發(fā)生36次，試給出事件A發(fā)生概率的0.95置信區(qū)間。解 這里n=120,，而，于是有即所求置信區(qū)間為0.218,0.382。例7 某傳媒公司欲調(diào)查電視臺某綜藝節(jié)目收視率，主為使得的置信區(qū)間長度不超過，問應(yīng)調(diào)查多少用戶。解 的置信區(qū)間長度為，這是一個隨機變量，但由于，所以對任意的觀測值有。這也