狹義相對(duì)論推導(dǎo)詳細(xì)計(jì)算過程

1、狹義相對(duì)論狹義相對(duì)論基本原理：1. 基本物理定律在所有慣性系中都保持相同形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此一切慣性系都是等價(jià)的。2. 在一切慣性系中，光在真空中的傳播速率都等于c，與光源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。假設(shè)S系和S系是兩個(gè)相對(duì)作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性坐標(biāo)系，規(guī)定S系沿S系的x軸正方向以速度v相對(duì)于S系作勻速直線運(yùn)動(dòng)，x、y、z軸分別與x、y、z軸平行，兩慣性系原點(diǎn)重合時(shí)，原點(diǎn)處時(shí)鐘都指示零點(diǎn)。洛倫茲變換現(xiàn)假設(shè)，x=k(x-vt) ，k是比例系數(shù)，可保證變化是線性的，相應(yīng)地，S系的坐標(biāo)變換為S系，有x=k(x+vt) ，另有y=y，z=z。將代入：x=kk(x-vt)+vtx=k2*(x-vt)+kvtt=kt+(

2、1-k2)x/kv兩原點(diǎn)重合時(shí)，有t=t=0，此時(shí)在共同原點(diǎn)發(fā)射一光脈沖，在S系，x=ct，在S系，x=ct，將兩式代入和：ct=k(c-v)t 得 ct=kct-kvt 即t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t 得 ct=kct+kvt兩式聯(lián)立消去t和tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k2ct-k2vt+k2vt-k2v2t/cc2=k2c2-k2v2k=將k代入各式即為洛倫茲變換：x=y=yz=zt=或有x=k(x+vt) x=k(x-vt) =k(1+v/c)x =k(1-v/c)x兩式聯(lián)立，x=k(1-v/c)k(1+v/c)xk=同時(shí)的相對(duì)性S中取

3、A（x1,y,z,t1）和B（x2,y,z,t2），同時(shí)發(fā)出一光脈沖信號(hào)，即t1= t2，且x1x2。在S中，t= t1- t2=0在S中，t1= t2=，t= t1- t2=，由于x1x2，則S中，t0。即在S系中不同位置同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，在S系中看來不是同時(shí)發(fā)生的。亦可說明時(shí)間和空間是相互聯(lián)系的。時(shí)間延緩效應(yīng)（時(shí)鐘變慢）如中，對(duì)于S系同時(shí)發(fā)生的兩事件，在S系中出現(xiàn)了時(shí)間間隔，即時(shí)間膨脹或延緩。設(shè)S系中的x0處先后在t1和t2發(fā)生兩事件，則t= t2- t1。在S系中，t= t2- t1=-=t說明在S系中，兩事件的時(shí)間間隔小于在S系看來的間隔，即在S系看來，S系中的時(shí)鐘變慢了。（對(duì)于確定

4、的兩事件，時(shí)間間隔應(yīng)相同，時(shí)間起點(diǎn)相同，S中觀察到的間隔要長(zhǎng)一些，便認(rèn)為是S系中的時(shí)鐘變慢了。）長(zhǎng)度收縮效應(yīng)（尺縮）S系中放置一沿x軸方向的長(zhǎng)桿，設(shè)兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是x1和x2，則靜止長(zhǎng)度L=L0= x2- x1，稱為固有長(zhǎng)度。在S系中要測(cè)量長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度，必須同時(shí)測(cè)出x1和x2，即t1= t2。由x1=和x2=得L0=L= x2- x1=則L=L0L0即在S系中觀察運(yùn)動(dòng)的桿時(shí)，其長(zhǎng)度比靜止時(shí)縮短了。速度變換法則設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在兩慣性系中的速度分量為ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)由洛倫茲變換得dx=dy=dydz=

5、dzdt=前三式分別除以第四式得ux=uy= uz=相應(yīng)地有，ux=uy= uz=狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)質(zhì)速關(guān)系設(shè)S系中的x0處有一靜止粒子，因內(nèi)力分裂為質(zhì)量相等的A、B兩部分，且分裂后mA以速度v沿x軸正方向移動(dòng)，mB以速度-v沿x軸負(fù)方向移動(dòng)。VBA·mVVSS則在S系看來mA靜止，即vA=0。而vB=，則v= -c2/ vB1-。同時(shí)質(zhì)心仍在x0處未移動(dòng)，有v0= -v。由于動(dòng)量守恒，（mA+mB）=mA vA+mB vB，而vA=0，則-v= mB vB/（mA+mB）mB /mA=-v/( vB+v)= vB/( vB+v)-1將代入上式mB /mA= = =得mB=，在S系中二

6、者以相同的速度沿相反方向運(yùn)動(dòng)，而在S系中，mA靜止，可看做靜質(zhì)量（m0）。mB以速率vB運(yùn)動(dòng)，可視為運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，稱相對(duì)論質(zhì)量。則運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量與其靜質(zhì)量的一般關(guān)系即m=相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基本方程相對(duì)論動(dòng)量p=mv= （p、v均為矢量）物體受力F=dp/dt=d/dt (F、p、v均為矢量)當(dāng)v<<c時(shí)，即為牛頓第二定律，pmv=Ft質(zhì)能關(guān)系由知，F(xiàn)= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt。另有dx=vdt經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量即合力做的功，應(yīng)用的相對(duì)論中，Ek=對(duì)質(zhì)速方程m=求微分有dm= =將上式與代入式，Ek= = = （dm代入此式） = =mc2+C其中C為積

7、分常量，知v=0時(shí)，m=m0,Ek=0，代入求得C= -m0c2。則Ek=mc2- m0c2 = m0c2() 當(dāng)v<<c時(shí)對(duì)作泰勒展開，得=1+v2/2c2+3v4/8c4+取前兩項(xiàng)有Ek= m0c2（1+ v2/2c2-1）= m0v2/2，即經(jīng)典力學(xué)動(dòng)能表達(dá)式。而式可改寫為mc2=Ek+m0c2，m0c2是物體靜止時(shí)的能量，稱物體的靜能，而mc2為物體的總能量。將總能量用E表示，寫作E=mc2=即相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系。泰勒展開：根據(jù)泰勒公式的簡(jiǎn)單形式，即邁克勞林公式，有f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x2/2!+fn(0)xn/n!。對(duì)于f(v)= f(v)= =f(v)= +=+f3(v)= +=+f4(v)= +=+此處，f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)v2/2!+ f3(v)v3/3!+ f4(v)v4/4!+ =1+0+v2/2c2+0+3v4/8c4+ =1+v2/2c2+3v4/8c4+能量-動(dòng)量關(guān)系將p=mv=中的v2解出，得v2=，代入質(zhì)能方程，得E=則E2=p2c2+m02c4即相對(duì)論能量-