平面向量的數量積及應用

1、【本講教育信息】一、教學內容：平面向量的數量積及應用 二、學習目標1、掌握平面向量的數量積及其性質和運算率，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數量積的簡單運用。2、平面向量的數量積及其幾何意義，向量垂直的充要條件。利用平面向量的數量積處理有關長度、角度和垂直的問題。 三、知識要點（一）主要知識：（1）平面向量的數量積的定義1）向量的夾角：已知兩個非零向量，過O點作，則AOB=（0°180°）叫做向量的夾角。當且僅當兩個非零向量同方向時，=0°，當且僅當反方向時，=180°，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。2）垂直；

2、如果的夾角為90°則稱垂直，記作。3）的數量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則叫做的數量積（或內積），記作，即=規(guī)定=0    非零向量當且僅當時，=90°，這時=0。4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（2）平面向量數量積的性質設是兩個非零向量，是單位向量，于是有：當同向時，；當反向時，特別地，。（3）平面向量數量積的運算律交換律成立：對實數的結合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0但是乘法公式成立：；等等。（4）平面向量數

3、量積的坐標表示1）若=（）,=（）則=2）若=（x,y）,則|=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,則4）若=（）,=（）則（）5）若=（）,=（）則 （二）主要方法：1、注意向量夾角的概念和兩向量夾角的范圍； 2、垂直的充要條件的應用；3、當角為銳角或鈍角，求參數的范圍時注意轉化的等價性；4、距離，角和垂直可以轉化到向量的數量積問題上來解決 5、特別提示：數量積不滿足結合律。 【典型例題】例1、已知兩單位向量與的夾角為120°，若，試求與的夾角。解：由題意，且與的夾角為120°，所以，同理可得  而，設為與的夾角，則   

4、;例2、已知，按下列條件求實數的值。（1）；（2）解：（1）；（2）；（3）。點評：此例展示了向量在坐標形式下的基本運算。 例3、已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1）（2）當時，當時，當時，綜上所述：。 例4、三角形ABC中，A（5，1）、B（1，7）、C（1，2），求：（1）BC邊上的中線AM的長；（2）CAB的平分線AD的長；（3）cosABC的值解：（1）點M的坐標為=D點分的比為2xD=（3）ABC是與的夾角，而=（6，8），=（2，5） 例5、已知向量，（1）當，且時，求的值； （2）當，且時，求的值解：（1）當時， ，

5、 由，   得，  上式兩邊平方得，因此，  （2）當時，由得即   ，    或 命題意圖與思路點撥：本題考查三角函數與平面向量的綜合運用，理解平面向量的平行和垂直關系，并合理轉化為三角函數變形求值問題。本講涉及的主要數學思想方法1、解決關于向量的問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想2、要體會思路的形成過程，體會數學思想方法的運用。創(chuàng)設問題情景，引導發(fā)現解題方法，展示思路的形成過程，

6、總結解題規(guī)律。搞好解題后的反思，從而提高綜合運用知識分析和解決問題的能力。3、通過應用舉例，讓學生體會用平面向量解決平面幾何問題的兩種方法向量法和坐標法。 【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 設A、B、C、D四點坐標依次是（1，0），（0，2），（4，3），（3，1），則四邊形ABCD為（    ）A. 正方形                    B.

7、 矩形            C. 菱形               D. 平行四邊形2. 已知ABC中，=，=，·<0，SABC=,|=3,| |=5,則與的夾角是（    ）A. 30°           &

8、#160;            B. 150°           C. 150°              D. 30°或150°3. 設a，b是非零向量，則使a·b=成立的一個必要非充分條件是（）A.   

9、;                   B.              C.              D. *4. 已知P是內一點，且滿足0，記、的面積依次為、，則：等于（

10、60;     ）A. 1：2：3                B. 1：4：9          C. ：1  D. 3：1：25. 已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（）A.             

11、; B.             C.            D. *6. 將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）A.                      

12、60;            B. C.                                  D.  二、填空題*7. 已知，與的夾角為，則使向量

13、與的夾角為鈍角的實數的取值范圍是_8. 三角形ABC中,A（5,1）,B（1,7）,C（1,2）.則角B的大小為_ 三、解答題*9. 已知：、是同一平面內的三個向量，其中=（1，2）（1）若|，且，求的坐標；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.10、非零向量滿足，求與所成角的大小。*11、設=（1+cos，sin），=（1cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），與的夾角為1，與的夾角為2，且12=，求sin的值。 【試題答案】1. 解析：=（1，2），=（1，2），=，又線段AB與線段DC無公共點，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四邊形，又|=，=（5，

14、3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=（4，1），1·4+2·1=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故選D答案：D2. 解析：·3·5sin得sin=,則=30°或=150°又·0,=150°答案：C3. 提示：由a·b=可得；但，a·b=，故使a·b=成立的一個必要非充分條件是故選4. 解析：取AC、BC中點D、E，連接PA、PB、PC、PD、PE，由0， 即由此可知，：=3：1：2，選D5. A6. A7. 提示：由已知條件可得，且a·b=cos60°由于與的夾角是鈍角，則且·，即解得8. 解：、，9. 解：（1）設，由和可得：     或 ，或（2）  即 ，        所以                      . 1