平面鏡成像問題再討論

1、平面鏡成像問題再討論陳 雁（浙江省寧波市鎮(zhèn)海教師進修學校，浙江 寧波，315200）1 用平面鏡成像的基本原理對競賽題進行簡明求解貴刊2012年第11期刊登了“對一道競賽題的再思考”，以下簡稱“再思考”，文章對競賽題的錯誤答案進行了分析，并給出了正確的結果。但文章中關于為何成7個像的討論和作圖過于復雜，本文試著用平面鏡成像的基本原理，簡明得出成像的個數?！霸偎伎肌币晃挠懻摰母傎愵}：如圖l所示，房間內一墻角處相臨兩墻面掛了兩個平面鏡，兩平面鏡相互垂直，在該墻角緊靠鏡面處放有一個臉盆，盆內有水某學生通過鏡面和水面最多能看到自己像的個數為 (A)3個 (B)6個 (C)9個 (D)無窮原題答案是選項

2、(B)，是錯誤的。正確的結論應該能看到7個像。競賽題中，臉盆內的水可以看作水平面上的平面鏡。因此，本題就相當于研究三面互相垂直平面鏡的成像問題。平面鏡成像特點：像與物關于鏡面對稱。先討論二面互相垂直的平面鏡成像如圖2所示。M1、M2為互相垂直的平面鏡。S1、 S2是一次反射成像：S1是物體經過平面鏡M1一次反射成的像，S2是物體經過平面鏡M2成的像；S12是物體先經過M1再經過M2二次反射后所成的像。由于M1、M2互相垂直，所以物體先經過M1后經過M2反射所成的像S12與先經M2后經M1反射所成的像S21剛好重疊，物體S共成3個像。三面互相垂直的平面鏡的成像如圖3所示。M1、M2、M3為互相垂

3、直的平面鏡。根據平面成像特點，物體在平面鏡M1、M2所成的3個像連同物體S，在平面鏡M3中成4個像，物體S在三面互相垂直的平面鏡中共成7個像。7個像中，3個是正立的，4個是倒立的；其中S123是物體經過三次反射后所成的像。由于三個平面鏡互相垂直，使得三次反射所成的像S123 、S132 、S213 、S231 、S312 、S321重疊。為了驗證結果，筆者做了實驗，能很清楚看到七個像。出題者，可能是遺漏了物體S在平面鏡M3中所成的像，給出了錯誤的結果。2 對互成角度二面平面鏡成像規(guī)律的討論“再思考”一文中另一個結論：“像和被成像者關于鏡面對稱，既然是對稱的，它們應該成對出現，成像個數就為奇數。

4、” 平面鏡成像個數一定為奇數嗎？從上面的討論可知，二面互相垂直的平面鏡應該成4個像，因為經過二次反射所成的2個像重疊，所以能看到3個像。如果二次反射所成的像不重疊，那么成像個數可以是偶數個，這種情景存在嗎？如圖4所示，設兩平面鏡OM、QN鏡面夾角為，兩鏡面間有一物點S，與兩鏡面直線相交于0點的距離為R。根據平面鏡成像的特點，作物點S的像點S1、S2、S3、S4、. 和S1,、S2,、S3,、S4,、。S1、S2、S3、S4、.是物體經過最后經平面鏡OM反射所成的像點；像點S1,、S2,、S3,、S4,、為最后經平面鏡ON反射所成的像點。物點經過二平面鏡多次反射后，成像位置在二平面鏡延長線之間，

5、則這個像即為最后成像，如圖4中的像S7、S7,。如果S7、S7,不重疊，則成像為偶數個。筆者查閱了一些關于二平面鏡成像個數規(guī)律的文章，多數只給出了360o/為整數時成像個數規(guī)律，對于360o/為非整數的情況，采用結合作圖法，也只給出某幾個數值下成像的個數，并沒有給出一般成像規(guī)律。筆者試著用平面鏡成像的基本原理，對該問題進行深入的討論分析，以得出互相角度二平面鏡之間成像個數的一般規(guī)律。直接研究物點S經二平面鏡反射成像個數，試過幾種方法，發(fā)現問題比較復雜，很難得出一般規(guī)律。為此，換一種思路，先討論二平面鏡自身成像情況，在此基礎上，再討論物點成像個數規(guī)律。2.1平面鏡自身成像：任意夾角的二平面鏡，當

6、它們之間物點S經過二平面鏡多次反射成像時，平面鏡本身作為物體，經過彼此平面鏡的多次反射也能成像。二平面鏡OM、ON之間的夾角為，根據平面鏡成像原理，二平面鏡成像如下圖所示，小標號表示反射的次數。如OM1為平面鏡OM經過一次反射后成的像，OM2為平面鏡OM經過二次反射成的像同理，ON1為平面鏡ON經過一次反射后成的像，ON2為平面鏡ON經過二次反射成的像根據平面鏡成像原理，OM2可以看作OM經過虛鏡ON1反射成像，OM4可看作虛物OM2經過虛鏡ON2反射成像二平面鏡經過多次反射后，成像位置在其自身延長線OA、OB之間，則為最后成像位置，因為此時的像位于平面鏡背面，從這些“像”發(fā)出的光線不能射到鏡

7、面，因而不能再成像。設360o/=L+/。由平面鏡成像原理可知，成像的相鄰鏡面，把圓分為若干個區(qū)域，每個區(qū)域的圓心角均等于。作二平面鏡夾角平分線CD，根據平面鏡成像的對稱性原理，二平面鏡所成像關于角平分線CD對稱。若L為奇數，平面鏡及其所成的像將圓分為2K+1個圓心角為的區(qū)域和1個圓心角為的區(qū)域，L=2K+1。最后的K、K,區(qū)域沒有重疊部分。所分區(qū)域關于角平分線CD對稱，如圖5所示。若L為偶數，平面鏡將圓周分為2K個圓心角為的區(qū)域和1個圓心角為的區(qū)域， L=2K。平面鏡成像關于角平分線對稱，在角平分線的二側各形成圓心角為的K個區(qū)域，最后的K、K,區(qū)域部分重疊，重疊部分所對圓心角-。如圖6所示。

8、2.2 物點S成像情況：物點S位于平面鏡MN之間，經過多次反射，在每個圓心角為的區(qū)域內成一個像。因像點位于二平面鏡之間，平面鏡OM、ON的延長線OA、OB在最后的K、K,區(qū)域內，所以問題變得比較復雜。物點S最終能成幾個像，關鍵要討論以下二個方面：第一：最后的K、K,區(qū)域的像SK、SK,的位置：如果SK、SK,位于二平面鏡的延長線OA、OB之間，則不能再成像；如果SK、SK,位于二平面鏡的延長線OA、OB之外，則能再次經平面鏡反射成像.第二：最后成的二個像會不會重疊：如果最后的二個像重疊，則成像數要減去一個。顯然，物點S成像個數與它所處的位置有關。設物點S與二鏡面交點0的連線OS與鏡面OM的夾角

9、為，根據平面鏡成像的對稱性原理可知， OSK-1、OSK與OMK的夾角均為，與ONK的夾角均為-。因為成像的對稱性，只需要研究從0逐漸增大到/2時，成像的情況即可。下面分別就L為奇、偶數情況對成像個數進行討論。L為奇數：物點S在每個圓心角為的區(qū)域中成1個像，成2K個像，再對K、K,區(qū)域的像SK、SK,，進行討論。因最后的鏡面像OMK（ONK）與OA（或OB）的夾角等于（-）/2，故將分成（-）/2和（-）/2</2二種情況進行討論。（1）（-）/2. K區(qū)域中像點SK能再次成像SK+1； K,區(qū)域的像SK,位于二平面鏡延長線OA、OB之間，不能再成像，如圖7所示。.像SK,和SK+1是否

10、會重疊：SKOB=-（-）/2-=（+）/2-，SK經過鏡面ON反射再次成像SK+1，二者關于鏡面ON的延長線OB對稱，有：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK,OB=（-）/2 +=（+）/2+像SK+1和像SK,不可能重疊。事實上，SK+1、SK關于OB對稱，OMK、OMK-1關于OB對稱，像點SK+1不可能位于K,區(qū)域，所以像SK+1和像SK,不可能重疊。結論：當OS與平面鏡OM的夾角（-）/2時，共成2K+1=L個像。（2）（-）/2</2 .K、K,區(qū)域中的二個像SK、SK,均能再次成像，最后二個像為SK+1 、SK+1,，如圖8所示。.像SK+1 、SK+1,是否會重疊

11、：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK+1,OA=SK,OA=-（-）/2；SK+1,OB=-SK+1,OA=（3-）/2-SK+1,OB>SK+1OBSK+1,OB-SK+1OB=-像SK+1 、SK+1,不重疊。共成2K+2=L+1個像。（當=時，SK+1 、SK+1,重疊，成L個像。事實上，當=時，360o/=L+/= L+1，為偶數，成L奇數個像，與后面討論的當360o/為偶數時，成360o/-1個像一致。）結論：當OS與平面鏡的夾角大于（-）/2</2時，共成L+1個像。（3）特例：=0，360o/=L+/= L為奇數。由于=0，最后的鏡面像OMK、ONK重合，與O

12、A、OB的夾角等于/2，如圖9所示。.</2， 只K區(qū)域的像SK能再次成像SK+1，且SK+1和像SK,不重疊，共成2K+1=L個像。.=/2，K、K,區(qū)域的像SK、SK,恰好位于二平面鏡的延長線OA、OB上，不能再成像，共成2K=L-1個像。L 為偶數：物點在每個區(qū)域中成1個像，共成2K個像。同理，對K、K,區(qū)域的像SK、SK,，進行討論。最后成像的鏡面OMK（ONK）與OA（或OB）的夾角等于/2。將分成</2和/2/2二種情況進行討論。（1）</2. K區(qū)域中的像SK能再次反射成像為SK+1，K,區(qū)域的像SK,位于OA、OB之間，不能再次成像。如圖10所示。.SK+1與

13、SK,是否會重疊：SKOB=/2-SK+1OB=SKOB=/2-SK,OB=/2+SK+1與SK,不可能重疊。事實上，SK+1與SK,關于OMK對稱，SK,OMK=SK+1OMK=/2。結論：當OS與平面鏡OM的</2時，共成L+1個像。（2）/2/2 . K、K,區(qū)域的像SK、SK,均不能再次成像。如圖11所示。.由于K、K,區(qū)域有重疊部分，所以還需要要討論K、K,區(qū)域的像SK、SK,是否重疊：SKOB=-/2SK,OB=+/2若0，像SK、SK不會重疊，共成2K=L個像。結論：當OS與平面鏡OM的/2時，共成L個像；若=0，成L-1個像。（3）特例：=0，即360o/=L+/= L，

14、為偶數。最后的K、K,區(qū)域完全重疊，像SK、SK,重疊，共成2K-1=L-1個像。結論：=0，成像L-1個。2.3 成像規(guī)律：（1）互成角度二面平面鏡成像個數，與二平面鏡夾角有關，還與物點位置有關。（2）物點S最后成像只有二種情況會重疊：.360o/為偶數，因最后二個區(qū)域完全重疊，故最后成像一定重疊；.360o/為奇數，當物點S位于二平面鏡角平分線上時，最后成像重疊，最后像點位于角平分線的延長線上。這二種情況，成像個數均為L-1。（3）成像個數列表：360o/=L+/成像個數L為奇數（-）/2L（-）/2</2L+1特例：=0</2L=/2L-1L為偶數</2L+1/2/2L特例：=0L-1為二平面鏡夾角；為物點S與平面鏡交點O的連線與二平面鏡的夾角。2.4舉例：L為奇數：1.=72 o：360o/=5，<36 o，成5個像；=36o，成4個像。2.=240 o：36