學(xué)業(yè)分層測評17 數(shù)學(xué)歸納法

1、.學(xué)業(yè)分層測評十七建議用時：45分鐘學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1.設(shè)fn1nN*，那么fn1fn等于_.【解析】fn1fn1fn.【答案】2.2019·無錫高二期末用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“，當(dāng)n1時，不等式左邊的項(xiàng)為：_.【解析】不等式左邊分子是1，分母是從n1一直到3n1的分?jǐn)?shù)之和，當(dāng)n1時，n12,3n14，左邊項(xiàng)為.【答案】3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取值_. 【導(dǎo)學(xué)號：01580053】【解析】當(dāng)n1時，21121；當(dāng)n2時，22221，當(dāng)n3時，23321；當(dāng)n4時，24421；當(dāng)n5時，2nn21恒成立.n05.【答案

2、】54.假設(shè)fn1222322n2，nN*，那么fk1fk_.【解析】fk1222322k2，fk11222322k22k122k22，那么fk1fk2k122k22.【答案】2k122k225.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2ann2，而a11，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜測an_.【解析】a11，a2，a3，a4，猜測an.【答案】6.用數(shù)學(xué)歸納法證明na，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，nN*時，假設(shè)nk命題成立之后，證明nk1時命題也成立的關(guān)鍵是兩邊同乘以_.【解析】要想方法出現(xiàn)ak1bk1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要證的k1.【答案】7.以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN*時，2nn2的過程，證明：1當(dāng)n1時，2

3、112，不等式顯然成立.2假設(shè)當(dāng)nkkN*時不等式成立，即2kk2.那么，當(dāng)nk1時，2k12×2k2k2kk2k2k22k1k12.即當(dāng)nk1時不等式也成立.根據(jù)1和2，可知對任何nN*不等式都成立.其中錯誤的步驟為_填序號.【解析】在2k12×2k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個不確定的結(jié)論.如k2時，k22k1.【答案】28.用數(shù)學(xué)歸納法證明1222n12n2n122212時，由nk的假設(shè)到證明nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是_.【解析】當(dāng)nk時，左邊1222k12k2k122212.當(dāng)nk1時，左邊1222k2k12k2k122212，所以左邊添

4、加的式子為k12k2.【答案】k12k2二、解答題9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN*時，12233nnn1n.【證明】1當(dāng)n1時，左邊1，右邊2,12，不等式成立.2假設(shè)當(dāng)nkkN*時不等式成立，即12233kkk1k，那么，當(dāng)nk1時，左邊12233kkk1k1k1kk1k1k1kk2k2k1k11k1右邊，即左邊右邊，即當(dāng)nk1時不等式也成立.根據(jù)1和2，可知不等式對任意nN*都成立.10.數(shù)列an滿足an1，a10.試猜測an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解】由an1，a10，得a2，a3，a4，a5，.歸納上述結(jié)果，可得猜測ann1,2,3，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜測：1當(dāng)n1時，

5、猜測顯然成立.2假設(shè)當(dāng)nk時猜測成立，即ak，那么，當(dāng)nk1時，ak1，即當(dāng)nk1時，猜測也成立.根據(jù)1和2，可知猜測an對所有正整數(shù)都成立，即為數(shù)列an的通項(xiàng)公式.才能提升1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時xnyn能被xy整除第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時，命題成立；第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成_.【解析】由于n為正偶數(shù)，第一步應(yīng)檢驗(yàn)n2時，命題成立.第二步，應(yīng)假設(shè)n2kkN*時命題成立，即n2kkN*時x2ky2k能被xy整除.【答案】2假設(shè)n2kkN*時x2ky2k能被xy整除2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形對角線的條數(shù)fnnn3n4時，fk1與fk的關(guān)系是_.【解析】假設(shè)nkk4，kN*時成立，那么fkk

6、k3，當(dāng)nk1時，多出一條邊，實(shí)際上增加的對角線條數(shù)為k12k1條，所以fk1fkk1.【答案】fk1fkk13.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1nn1，由nkk1不等式成立，推證nk1時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_.【解析】當(dāng)nk1時，左邊是1增加的是，共有2k112k12k項(xiàng)，故左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是2k.【答案】2k4.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n252n1能被14整除的過程中，當(dāng)nk1時，34k1252k11應(yīng)變形為_. 【導(dǎo)學(xué)號：01580054】【解析】當(dāng)nk1時，34k1252k1181·34k225·52k12534k252k156·34k2.【答案】2534k252k156·34k25.設(shè)函數(shù)yfx對任意實(shí)數(shù)x，y都有fxyfxfy2xy.1求f0的值；2假設(shè)f11，求f2，f3，f4的值；3在2的條件下，猜測fnnN*的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解】1令xy0，得f00f0f02×0×0f00.2f11，f2f111124，f3f21412×2×19，f4f31912×3×116.3猜測f