曲面上的杜邦指標(biāo)線曲率線

1、第二章 曲面論第十一節(jié) 曲面上的曲線七、曲面上的主方向、主曲率和曲率線法曲率的最大值和最小值所滿足的方程為，（2）其判別式為，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，判別式為零，即， （3）滿足（3）式的點(diǎn)稱為臍點(diǎn), 否則稱為非臍點(diǎn). 所以在一個(gè)非臍點(diǎn), 判別式，方程(2)總有兩個(gè)不相等的實(shí)根, 曲面在這一點(diǎn)總有兩個(gè)不相等的法曲率，且分別是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的極值稱為主曲率.。在臍點(diǎn),若令，則任意方向的法曲率常數(shù)，都為主曲率，而方程(2)變?yōu)椋@個(gè)關(guān)系無(wú)非表示任意方向的法曲率相等. 對(duì)于的臍點(diǎn)，稱為平點(diǎn)。我們把不同時(shí)為零的臍點(diǎn)稱為圓點(diǎn)。容易證明球面上的每一點(diǎn)都是圓點(diǎn)。將代入方程(2)式，得到 ，經(jīng)過(guò)計(jì)

2、算，此方程可化為，事實(shí)上，利用待定系數(shù)法，經(jīng)計(jì)算可知，于是有 。故得使法曲率取到最值的方向?yàn)?，此式還能寫成如下形式：。將代入，則有， ，（4） 這給出曲面上的兩族曲線，曲線上的方向使法曲率達(dá)到最值。再給出另一種推演方法如下在法曲率取到極值的方向處，有， ，化簡(jiǎn)后，得到， （3）此式還能寫成如下形式：。 其判別式為所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，判別式為零，即 。所以在一個(gè)非臍點(diǎn), 判別式，方程(3)總有兩個(gè)不相等的實(shí)根, 曲面在這一點(diǎn)總有兩個(gè)不相同的方向，法曲率在這兩個(gè)方向分別達(dá)到最大值和最小值。曲面上使法曲率達(dá)到極值的切方向，稱為主方向。曲面上一條曲線，如果曲線在每點(diǎn)處的切方向都是曲面的主方向, 則稱此曲線

3、為曲面上的一條曲率線.在臍點(diǎn)處, 方程(5.9)變成恒等式, 即任意方向都為主方向. 將代入，則有， ，（4）這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。定理5.2 曲面在非臍點(diǎn)處, 兩個(gè)主方向互相垂直.要證明這個(gè)定理, 只要應(yīng)用以下引理于方程(4).引理5.3 曲面上一點(diǎn)由方程所確定的兩個(gè)切方向互相垂直的充要條件是，, 這里是曲面的第一類基本量.證明 兩個(gè)方向（ ）和（ ）正交的充要條件是換一種寫法即， （5）將已知的二次方程寫成，則它的兩個(gè)根，記為，均應(yīng)滿足上述方程, 由根與系數(shù)的關(guān)系知, ，將上式代入(5)式，即得引理. 對(duì)方程（4），有，所以 曲面在非臍點(diǎn)處, 兩個(gè)主方向互相垂

4、直.【注1】定理5.2只說(shuō)明在非臍點(diǎn)處, 兩個(gè)主方向垂直, 但任意兩個(gè)垂直的方向卻不是主方向. 另一方面, 在臍點(diǎn)處, 任意方向都是主方向, 因此主方向未必垂直, 而任意兩個(gè)垂直的方向都是主方向.共軛方向定義 設(shè)A為階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果有兩個(gè)維向量和，（寫成列向量），滿足 ， （1） 則稱向量與對(duì)于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為，這樣兩個(gè)向量的點(diǎn)積（或稱內(nèi)積）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例。 設(shè)A為對(duì)稱矩陣，若一組非零向量，滿足 （ij） （2） 則稱向量系為關(guān)于矩陣A共軛。 共扼向量的方向稱為共軛方向。幾何意義設(shè)為二階對(duì)稱矩陣，方程 為以原點(diǎn)為中心的平面二次

5、曲線。 連結(jié)曲線上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦；過(guò)中心的弦稱為直徑。 平行于一條直徑的弦的中心的軌跡，亦構(gòu)成直徑，稱與互為共軛直徑，兩直徑分別所在的兩直線的方向，稱為曲線的共軛方向。 設(shè)是一條直徑所在的直線的方程，是直線的方向；是平行于直徑的弦所在的直線的方程，是曲線上的點(diǎn)，則此弦與曲線的交點(diǎn)，滿足，共軛直徑的方向，將代入，則得到，即 。 設(shè)兩共軛直徑的斜率分別為，則有，即得 。曲面上兩個(gè)方向（ ）和（稱為共軛方向， 如果。對(duì)，有。曲面上兩個(gè)方向和稱為曲面上的共軛方向，如果有，或者。換一種寫法，即。前面已證，曲面上的兩主方向正交，現(xiàn)證兩主方向共軛。事實(shí)上，將方程（5）的兩根寫出，再由根與系數(shù)的關(guān)系知，

6、所以曲面上兩個(gè)主方向（ ）和（是曲面上的共軛方向 。這樣一來(lái)，曲面上使法曲率分別達(dá)到最大值和最小值的兩個(gè)方向，必互相垂直，且互為共軛方向，即， 。 。主方向的判別定理（羅德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,則,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果對(duì)于方向(d),有,則(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。證明 先證定理的前半部分： 設(shè)是垂直于(d)的另一個(gè)主方向。由，兩邊微分得。這關(guān)系式說(shuō)明在切平面上，于是，將兩邊點(diǎn)乘，并注意（這是由于方向和的共軛性，以及（這是由于這兩個(gè)方向的正交性），得到，因此，由此，在把這等式兩邊點(diǎn)乘，得， ，由此得。再證定理的前后半

7、部分：設(shè)方向(d)滿足，現(xiàn)在要證明它是主方向。假設(shè)方垂直于，把等式的兩邊點(diǎn)乘，得，這表示方向和是共軛的。因此和不僅正交，而且共軛，所以它們都是主方向。由，可得 。 Euler公式現(xiàn)在我們考察在曲面的一個(gè)非臍點(diǎn), 法曲率隨方向而變化的規(guī)律, 并可以看到, 主曲率就是法曲率的最大值和最小值. 首先我們證明這樣一個(gè)事實(shí).定理5.4 不含臍點(diǎn)的曲面片上, 參數(shù)曲線的方向是主方向當(dāng)且僅當(dāng) .證明 必要性 首先因參數(shù)曲線的切方向是主方向, 而主方向必正交, 因此F = 0, 同時(shí)及適合主方向的微分方程, 故得因，由上式得M = 0.充分性 若F = M = 0, 則主方向的微分方程可化為因?yàn)?(否則L :

8、 M : N = E : F : G, 與沒(méi)有臍點(diǎn)的已知條件不符), 這時(shí)主方向的微分方程即為dudv = 0, 與參數(shù)曲線的微分方程相同, 這就證明了參數(shù)曲線方向是主方向. 例如 在旋轉(zhuǎn)曲面：上子午線和平行圓構(gòu)成了曲率線網(wǎng)。 。定理5.5 在曲面上選取曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)。設(shè)是曲面上一點(diǎn)P 處的任意一個(gè)切方向, 它與-曲-線的夾角記為，表示曲面在P 點(diǎn)處的主曲率, 則有，這個(gè)公式稱為Euler公式, 它表明了法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律.證明 首先若P 是臍點(diǎn), 則因臍點(diǎn)處, 任意方向都是主方向, 因而任意方向的法曲率都是主曲率, 同時(shí)在臍點(diǎn)處, 故在臍點(diǎn)處任意方向的法曲率都相同, 即 在臍

9、點(diǎn)處為常數(shù), 換句話說(shuō), 在臍點(diǎn)處, ，Euler 公式自然成立. 下面我們假設(shè)P 是非臍點(diǎn)來(lái)證明之.設(shè)P 為曲面上一個(gè)非臍點(diǎn), 根據(jù)連續(xù)性, 曲面必包含P 在內(nèi)的一整片, 在這片曲面上完全沒(méi)有臍點(diǎn). 在這片曲面上選取參數(shù)曲線的方向作為主方向, 則由定理5.4, ，曲面的第一、第二基本形式化為 ，于是在P 點(diǎn), 各個(gè)切線方向的法曲率公式為，設(shè)分別為對(duì)應(yīng)于主方向dv = 0 和du = 0 的主曲率, 則根據(jù)曲面上兩條曲線夾角的公式, 容易計(jì)算得到 ，于是 。定理5.6 曲面在非臍點(diǎn)處的主曲率是曲面在這點(diǎn)沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值.證明設(shè) 是兩個(gè)主曲率, 不妨設(shè)否則可交換坐標(biāo)u和v )

10、, 由Euler 公式，顯然 ，于是有 ，這就是說(shuō), 主曲率是法曲率的最大值和最小值.【例4】證明: 在曲面上給定點(diǎn)處, 沿兩個(gè)正交的方向的法曲率之和為常數(shù).【證明】 設(shè)曲面上給定點(diǎn)處的兩個(gè)主曲率分別為k1 和k2, 和為給定點(diǎn)處任意兩個(gè)相互成為直角的方向, 對(duì)應(yīng)的法曲率分別為 和，則由Euler 公式有，其中為方向和-曲線之間的夾角，顯然有 ( 給定點(diǎn)處為常數(shù))。迪潘（Dupin）指標(biāo)線杜邦（Dupin）指標(biāo)線、曲面上的漸近方向和共軛方向4 漸近方向與漸近曲線曲面上給定點(diǎn) 處使法曲率的方向稱為曲面在點(diǎn)處的漸近方向. 由 的幾何意義, 沿漸近方向曲面無(wú)彎曲, 與切平面最貼近. 顯然, 平面上一

11、點(diǎn)處任意方向都是漸近方向, 而球面上任何點(diǎn)處均無(wú)漸近方向. 一般地, 曲面 上點(diǎn)處的一個(gè)方向是一個(gè)漸近方向當(dāng)且僅當(dāng),其中是 在點(diǎn)處的第二類基本量. 所以, 我們總有當(dāng) 時(shí), 即橢圓點(diǎn)處, 無(wú)(實(shí))漸近方向,當(dāng) 時(shí), 即雙曲點(diǎn)處, 有兩個(gè)(實(shí))漸近方向,當(dāng) 時(shí), 即拋物點(diǎn)處, 有一個(gè)(實(shí))漸近方向。若曲面上一條曲線在每點(diǎn)處的切方向都是曲面的漸近方向, 則稱此曲線為曲面的漸近曲線. 例如, 平面上任何正則曲線都是漸近線, 而球面上無(wú)漸近線. 一般地, 曲面上漸近曲線的微分方程是。推論 曲面上法曲率為0 的曲線是漸近曲線, 特別地直線是漸近曲線. 定理1 曲面上曲率處處不為0 的曲線是漸近曲線的充分

12、必要條件是曲線在每點(diǎn)處的密切平面與曲面在該點(diǎn)處的切平面重合. 證明 必要性由公式， 當(dāng)時(shí), 注意到 ，因此，因此，即得曲線在每點(diǎn)處的密切平面與曲面在該點(diǎn)處的切平面重合.充分性 若曲面上曲線C 的密切平面與曲面的切平面重合, 則/, 而,故, 即，因此沿C 有 , 換句話說(shuō), C 為漸近曲線.定理2 在只含雙曲點(diǎn)的曲面上, 參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近網(wǎng)的充分必要條件是。證明:若曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn), 則每點(diǎn)處有兩個(gè)漸近方向, 那么整個(gè)曲面上就有兩族漸近曲線, 這兩族漸近曲線構(gòu)成的網(wǎng)稱為曲面上的漸近曲線網(wǎng), 簡(jiǎn)稱漸近網(wǎng).必要性由參數(shù)曲線網(wǎng)的微分方程 及漸近線的微分方程, 若u-線為漸近線, 則, 即; 同樣若v -線為漸近線, 則 ， 即. 因此當(dāng)參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近線網(wǎng)時(shí), 必有。充分性 若， 則漸近網(wǎng)的微分方程為. 注意到 (否則曲面上含平點(diǎn)), 因此, 即漸近網(wǎng)是參數(shù)曲線網(wǎng).【例3】證明: 正螺面上有兩族漸近曲線, 一族為直母線, 另一族為螺旋線.【證明】直接計(jì)算可以得到正螺面的第二基本形式，這時(shí), 正螺面上處處有, 所以其上有且僅有兩族漸近曲線, 另一方面,由于, 故坐標(biāo)網(wǎng)成為漸近網(wǎng), 顯然可見(jiàn)u-線是直母線, 而v -線是螺旋線.【例4】求曲面的漸近網(wǎng).【解】所給曲面的參數(shù)方程可寫成。簡(jiǎn)單計(jì)算可求出它的第二類基本量為