數(shù)學(xué)建模競賽閱卷中的問題

1、 數(shù)學(xué)建模競賽閱卷中的問題摘 要本文討論的是數(shù)學(xué)建模競賽閱卷中的問題，使閱卷效果達到最優(yōu)、最準(zhǔn)確。在整個解題過程中采用隨機分配的方法，作出散點圖，評價試卷分配的均勻性，建立差比模型及差分模型，得出試卷的標(biāo)準(zhǔn)化成績和對教師的評閱效果。針對問題一，通過MATLAB軟件產(chǎn)生一組1500的隨機整數(shù)，不斷對這些數(shù)進行分組重排移位拼接最終得到數(shù)組A。根據(jù)教師評卷總次數(shù)與第i、j個教師的交叉組合總的情況數(shù)的比值確定了平均任意兩個評閱老師交叉閱卷次數(shù)。從而得到了計算任意兩個教師評閱試卷交叉次數(shù)的方差值。在建立算法的基礎(chǔ)上，作出程序框圖，讓解題的思路更顯然，還作出散點圖，用來進行均勻性評價，發(fā)現(xiàn)交叉次數(shù)分布大約

2、在515次之間，得出試卷的分發(fā)很均勻。針對問題二，建立差比模型，對每位教師的評分進行預(yù)處理和標(biāo)準(zhǔn)化，通過計算每份試卷給出的三個成績與相對應(yīng)評閱教師所給最低分的差值和相應(yīng)評閱教室最高分與最低分差值的比值的平均值作為該份試卷的平均差比，以每份數(shù)模試卷中三個教師中最高分的平均值與最低分的平均值的差值作為該份試卷三個評分教師給分的相對極差。因此，每份試卷的標(biāo)準(zhǔn)化成績就是該份試卷中三個教師中最低分的平均值與該份試卷三個評分教師給分的相對極差和該份試卷的平均差比的乘積之和。針對問題三，以第二問求得的結(jié)果作為第三問解題的基礎(chǔ)，建立差分模型，通過該模型中的算法算出每位評分教師所評旳實際分數(shù)在相應(yīng)試卷標(biāo)準(zhǔn)化成績

3、附近波動的大小。在其附近波動的越小，及波動值越小，評閱效果就越好，反之，評閱效果就越差。關(guān)鍵詞：隨機分配、分組重排移位、差比模型、差分模型一、問題重述1.1問題背景眾所周知，數(shù)學(xué)建模問題無處不在，我們身邊的生活、工作中隨處可見各式各樣的數(shù)模問題。數(shù)模競賽之后都要經(jīng)過閱卷的過程，除了幾十名教師參與繁重的評閱試卷的工作外，許多管理工作都有很強的技術(shù)性。比如試卷的分發(fā)、教師評分的預(yù)處理、對每位教師評閱效果的評價等。這些做得好壞，直接影響著評閱的合理性和公正性，我們追求最優(yōu)、最準(zhǔn)確的評閱效果。1.2相關(guān)信息一次競賽通常試卷有幾百份，評閱前已將試卷打亂編號。每份試卷就是一篇科技論文，評閱教師需要綜合考慮

4、各方面情況給出一個成績。每份試卷應(yīng)有三名不同的教師評閱，所給出的三個成績合成該試卷的最后成績。各位教師對自己所在單位的試卷應(yīng)該回避，但這件事比較容易處理，我們這里就不考慮這個原因，也就是假設(shè)教師都沒有本單位的試卷。1.3待解決的問題試卷的隨機分法：考慮有500份試卷由20名閱卷教師評閱的情況。每份三人評閱就共需要1500人次，每人閱卷75份。提前編寫程序，讓試卷隨機地分發(fā)到教師的任務(wù)單中。注意讓每份試卷分給每位教師等可能，另外任何兩位教師交叉共同評閱一份試卷的情況也盡量均勻，即盡量不要出現(xiàn)交叉次數(shù)過多或過少的情況。再編寫一個程序，對一次分發(fā)的任務(wù)單進行均勻性的評價。然后可以在多次生成的任務(wù)單中

5、選出一個評價比較好的來使用。請給出兩個程序的算法或框圖，并選出一個好的分配任務(wù)單供使用及對它的評價。如果在評閱試卷時，每位專家都不能評閱本單位的試卷，該如何分發(fā)？評分的預(yù)處理：全部閱完之后，就要進行成績的合成了。但是，每個人見到的卷子不同，實際評分標(biāo)準(zhǔn)也不完全相同（盡管評閱前已經(jīng)集體開會、討論，統(tǒng)一評卷標(biāo)準(zhǔn)），大家的分數(shù)沒有直接的可比性，所以不能簡單地合成，需要預(yù)處理。比如，可能出現(xiàn)一份試卷的兩位評閱教師都給出70分的評價，但是其中一個70分是他給出的最高分，另一個則是他的最低分，能認為這個試卷就應(yīng)該是70分嗎？！請設(shè)計一個成績預(yù)處理的算法把教師給出的成績算得標(biāo)準(zhǔn)化成績，然后用三個標(biāo)準(zhǔn)化成績就

6、可以直接合成了，使得合成的成績盡量地公平合理并且為后面對教師評閱效果的評價提供方便。教師評閱效果的評價：閱卷全部結(jié)束之后，組織者要對所聘請的教師有一個宏觀的評價，哪些教師比較認真，對評分標(biāo)準(zhǔn)掌握得也好，看論文又快又準(zhǔn)，因此給出的成績比較準(zhǔn)確，是這次閱卷的主力。下次再有類似的事情一定還請他們來，甚至于在下一次閱卷后合成成績的時候給他們以更大的權(quán)值。這些除了在日常的生活工作中會有所感覺外，大家給出的成績也會說明一些問題。請制定一個方法，利用每人給出的成績，反過來給教師的評閱效果給出評價。 二、問題分析2.1問題一分析對于試卷的隨機分發(fā)，由于每份試卷要給三個老師評閱。所以對于試卷分發(fā)，分為三次，每次

7、分發(fā)不重復(fù)的500套試卷。假設(shè)500份試卷的編號由1500表示，則隨機產(chǎn)生一組1500的隨機整數(shù)，將整數(shù)分為20組，每組25套試卷隨機分發(fā)給老師。然后再將20組分成5部分，每部分經(jīng)過隨機排列，再移位發(fā)給老師進行第二次評閱。如此按照此方法得出第三次評閱的隨機分發(fā)試卷,然后將三次得到的數(shù)據(jù)進行拼接，得出最終試卷分配的方法。2.2問題二分析閱卷完成之后，應(yīng)該根據(jù)老師們給的實際評分，對其進行客觀、相對公平的預(yù)處理，使其盡可能標(biāo)準(zhǔn)化地合成每份試卷的最終成績。如何做到標(biāo)準(zhǔn)化，因為每份試卷由三個教師來評閱，雖然有規(guī)定的統(tǒng)一的評分標(biāo)準(zhǔn)，但實際情況下他們的評分標(biāo)準(zhǔn)肯定不是完全相同的。應(yīng)用概率統(tǒng)計的知識，計算每份

8、試卷給出的三個成績與相對應(yīng)評閱教師所給最低分的差值和相應(yīng)評閱教室最高分與最低分差值的比值的平均值作為該份試卷的平均差比，以每份數(shù)模試卷中三個教師中最高分的平均值與最低分的平均值的差值作為該份試卷三個評分教師給分的相對極差，每份試卷的標(biāo)準(zhǔn)化成績就可以由該份試卷中三個教師中最低分的平均值與該份試卷三個評分教師給分的相對極差和該份試卷的平均差比的乘積之和得到。這樣合成的試卷的最終成績就能做得到盡量公平、合理。2.3問題三分析對于教師評閱效果的評價，可以用他們評閱每一份試卷的實際給分與對應(yīng)試卷的經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化合成的最終成績作差，然后求和取平均差值，差值越小的即實際給分在標(biāo)準(zhǔn)化成績附近波動的越小，效果越好，

9、值越大的即實際給分在標(biāo)準(zhǔn)化成績附近波動的越大，效果越差。通過這種方法對教師的評閱效果進行評價，就能夠比較好地得出每一個閱卷老師的評卷能力。三、模型假設(shè)（1）教師是以相同的態(tài)度評閱自己任務(wù)單里面的每一份試卷，公正性是一樣的；（2）每份試卷分發(fā)給每位教師等可能；（3）教師之間在評閱試卷的過程不會發(fā)生爭執(zhí)現(xiàn)象；（4）每個教師的評卷標(biāo)準(zhǔn)相對統(tǒng)一。四、符號說明符號說明與分析隨機分發(fā)試卷方法的75行20列的數(shù)組第i個評閱老師和第j個評閱老師的組合第i個評閱老師和第j個評閱老師交叉評閱試卷次數(shù)參加評閱同一份試卷的三位教師的編號教師評閱卷號給出的分數(shù)教師評閱卷號給出的分數(shù)教師評閱卷號給出的分數(shù)教師評閱所有試卷

10、給出的分數(shù)最小值教師評閱所有試卷給出的分數(shù)最小值教師評閱所有試卷給出的分數(shù)最小值教師評閱所有試卷給出的分數(shù)最大值 教師評閱所有試卷給出的分數(shù)最大值教師評閱所有試卷給出的分數(shù)最大值卷號三個分數(shù)比例的平均值三位教師給出試卷分數(shù)最小值的平均值三位教師給出試卷分數(shù)最大值的平均值卷號的標(biāo)準(zhǔn)化成績其中一位教師對應(yīng)其卷號給出的實際成績五、模型建立求解5.1問題一該模型將試卷分為三次分發(fā)，每次分發(fā)不重復(fù)的500套試卷。首先用matlab產(chǎn)生一組1500的隨機整數(shù)，然后進行重排，將其排成一個25行20列的數(shù)組A1。其中120列代表20名閱卷老師的編號，25行代表每個閱卷老師評閱的25份試卷的編號。以所得的數(shù)組A

11、1為模板，將數(shù)組A1行分割成五行，列分割成五列。這樣就可以得到25個5行4列的小數(shù)組A11,將數(shù)組A11進行隨機重排，為了避免一個閱卷老師閱到兩份一樣的試卷，數(shù)組A11隨機重排后，還是還原到原來所在列。并第五列移到第一列，其它列依次向后移動一列。這樣得到一個25行20列新數(shù)組A2。同樣再將數(shù)組A1分割25個5行4列的小數(shù)組A12，對每個小數(shù)組A12，進行隨機重排、組合、移位的得到一個25行20列的新數(shù)組A3。最后將數(shù)組A1、A2、A3拼接成一個75行20列的大數(shù)組A。數(shù)組A即是分發(fā)給各位老師的試卷編號。因為一張試卷給三個評閱老師評閱，則一張試卷的評閱交叉次數(shù)；則總的交叉次數(shù)。假設(shè)第i個評閱老師

12、和第j個評閱老師的組合用表示，則,則平均任意兩個評閱老師交叉閱卷次數(shù)為。第i個評閱老師和第j個評閱老師交叉評閱試卷次數(shù)用表示，則方差，然后求所得數(shù)組A的方差,如果方差小于23，則輸出數(shù)組A。（計算程序見附錄一）具體框圖如下：對于該模型的均勻性評價：首先讀取分發(fā)程序隨機產(chǎn)生的數(shù)組A，通過循環(huán)求出任意兩評閱老師i,j交叉評閱的試卷次數(shù)，再作出任意兩評閱老師i,j第次組合比較與交叉評閱次數(shù)的散點圖。程序框圖如下：運行程序結(jié)果如下（程序見附錄二）：和散點圖為：由圖易知：任意兩個評閱老師的交叉評閱次數(shù)大致分布在515次之間，交叉次數(shù)適中。5.2問題二 通過設(shè)立改任意一份試卷的三位教師評分的最大值和最小值

13、，然后根據(jù)每位教師針對同一份試卷所給出的分數(shù)與其最小值的差值在相對應(yīng)的兩極值之間所占的比例進行求平均，最后整合出標(biāo)準(zhǔn)化成績。問題二的模型建立與求解：令參加評閱同一份試卷的三位教師的給出的分數(shù)區(qū)間分別為：其中分別為三位教師對卷號給出的分數(shù)，分別為對應(yīng)教師評分的最小值，分別為對應(yīng)教師評分的最大值。所給出的分數(shù)在相對應(yīng)的兩極值之間所占的比例分別為：三個分數(shù)比例的平均值為：；三位教師的平均評分最小值為：；三位教師的平均評分最大值為:；得出教師給出的成績的標(biāo)準(zhǔn)化成績的算法為：；利用這種方法就可以將教師給出的三個成績直接合成為標(biāo)準(zhǔn)化成績，并使得合成的成績更公平合理，也為后面對教師評閱效果的評價提供方便。通

14、過對題目給出的表格的數(shù)據(jù)進行計算統(tǒng)計得出的,和的值，另外對以上模型進行編程得出的程序見附錄三。5.3問題三在問題二中，通過建立模型及對其模型的求解，對每位評閱教師所給成績的標(biāo)準(zhǔn)化較合理地合成了每份試卷的標(biāo)準(zhǔn)化成績。根據(jù)每位評閱教師所評旳實際分數(shù)在相應(yīng)試卷標(biāo)準(zhǔn)化成績附近波動的大小來確定其評閱效果。在其附近波動的越小，及波動值越小，評閱效果就越好，反之，評閱效果就越差。問題三的模型建立與求解:設(shè)i卷號試卷的標(biāo)準(zhǔn)化成績是，任意一位教師評閱n份試卷，實際給出的成績對應(yīng)卷號分別是，第位教師評閱試卷實際給分與標(biāo)準(zhǔn)化成績的平均值是，則：得出教師給出的成績的標(biāo)準(zhǔn)化成績的算法為：此處，與問題二中的求法一致。根據(jù)

15、題目所給的專家評閱試卷的評分表及以上列出的算法，得到結(jié)果如下表：專家編號12345678910所閱試卷與標(biāo)準(zhǔn)化成績的平均差值3.43 6.35 4.05 3.42 7.59 6.61 4.36 6.81 6.47 5.46 專家編號11121314151617181920所閱試卷與標(biāo)準(zhǔn)化成績的平均差值6.51 4.37 4.22 5.87 5.27 5.70 5.93 5.85 5.51 3.61 根據(jù)上表，通過使用MATLAB軟件作出專家評分能力折線圖：通過以上折線圖，我們將教師的評分能力劃分為優(yōu)、良、中、差四個等級，所閱試卷與標(biāo)準(zhǔn)化成績的平均差值在34范圍內(nèi)為優(yōu)等級，45范圍內(nèi)為良等級，5

16、6范圍內(nèi)為中等級，6以上為差等級。根據(jù)該問題中的模型可以更好地宏觀評價教師的評閱能力。六、模型檢驗對模型二的特殊情況進行檢驗：1. 當(dāng)三位評閱教師共同對一篇優(yōu)秀試卷進行評閱，并給出每位教師自己的最高分；當(dāng)專家1、2、3共同對一篇優(yōu)秀試卷進行評閱時，給出的最高分分別為77 80 85，得出的標(biāo)準(zhǔn)化成績?yōu)?0.6667；當(dāng)專家4、5、6共同對一篇優(yōu)秀試卷進行評閱時，給出的最高分分別為80 78 85，得出的標(biāo)準(zhǔn)化成績?yōu)?1；2. 當(dāng)三位評閱教師共同對一篇較差試卷進行評閱，并給出每位教師自己的最低分；當(dāng)專家7、8、9共同對一篇較差試卷進行評閱時，給出的最低分分別為54 34 51，得出的標(biāo)準(zhǔn)化成績?yōu)?/p>

17、46.3333；當(dāng)專家10、11、12共同對一篇較差試卷進行評閱時，給出的最低分分別為54 51 50，得出的標(biāo)準(zhǔn)化成績?yōu)?1.6667；綜上列舉出的特殊情況得出的標(biāo)準(zhǔn)化成績與每位評閱教師給出的分數(shù)很相近，因此可以推出模型二具有穩(wěn)定性；另外模型二針對任何此種問題都適用，具有很好的評價性和推廣性。七、模型評價與推廣優(yōu)點：(1)試卷分發(fā)隨機性強，任意兩位教師評閱試卷的交叉次數(shù)適中。(2)運用差比模型，客觀地解決了不同閱卷教師對于同一份試卷實際給分相差很大的不定性問題。(3)通過對問題所給出的表格進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，巧妙地把教師給出的成績換算成標(biāo)準(zhǔn)化成績，使得同一份試卷的三個標(biāo)準(zhǔn)化成績可以直接合成。缺點：

18、文中給出的數(shù)據(jù)不多，做題時間有限，對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計不完全，因此對數(shù)據(jù)的處理存在一定的誤差。八、參考文獻【1】 胡良劍，孫曉君，MATLAB數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，2006.6【2】 樂勵華，段五朵，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，江西：江西高校出版社，2013.1【3】 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2011.1【4】 （美）帕普里斯，（美）佩萊，概率、隨機變量與隨機過程（第四版），西安：西安交通大學(xué)出版社，2012.08九、附錄附錄一：function A=yuejuan()M=1;while Mclear;clc;A1= randperm(500);A1=reshape(A1

19、,25,20);AA1 AA2 AA3 AA4 AA5=chongpai(A1);A1=AA1 AA2 AA3 AA4 AA5;AA1 AA2 AA3 AA4 AA5=chongpai(A1);A2=AA2 AA3 AA4 AA5 AA1;AA1 AA2 AA3 AA4 AA5=chongpai(A1);A3=AA3 AA4 AA5 AA1 AA2;A=A1;A2;A3;p=0;for i=1:19 for j=i+1:20 a=A(:,i); b=A(:,j); m=size(intersect(a,b); p=p+1; n(p)=m(1); endendfcha=sum(n-1500/19

20、0).2)/190;M=fcha23;endxlswrite(D:1.xls,A,sheet1);end function AA=xiugai(A)ges=size(A);ge=ges(1)*ges(2);old=reshape(A,ge,1);new = old(randperm(size(old,1),:);AA=reshape(new,ges(1),ges(2);end function AA1 AA2 AA3 AA4 AA5=chongpai(A1)r=0;for i=1:4:20 for j=1:5:25 r=r+1;B=A1(j:j+4,i:i+3);C=xiugai(B); if

21、 r=1 T=C; else T=T;C; end endendAA1=T(1:25,:);AA2=T(26:50,:);AA3=T(51:75,:);AA4=T(76:100,:);AA5=T(101:125,:);end附錄二：function =junyun()clear;clc;A=xlsread(D:1.xls,sheet1);p=0;for i=1:19 for j=i+1:20 a=A(:,i); b=A(:,j); m=size(intersect(a,b); p=p+1; n(p)=m(1); endendplot(1:p,n,.r);end附錄三：卷號ABB-A平均值標(biāo)準(zhǔn)化

22、成績YG0834886.6666738.666670.94252984.4444444G08443.666678743.333330.93575584.2160344G17750.3333383.6666733.333330.98765483.255144G0694783.6666736.666670.98765483.2139918G11144.6666784.3333339.666670.93333381.6888889G15444.6666784.3333339.666670.93333381.6888889G19344.6666784.3333339.666670.93333381.6

23、888889G0874786.6666739.666670.87345781.6471193G13750.6666780.3333329.66667180.3333333G0945286.3333334.333330.80879979.7687594G0593382490.95384679.7384615G16343.6666787.3333343.666670.81354279.1913548G09343.6666784.66667410.86600179.1727163G09538.666678546.333330.87093279.0198279G03645.333338539.6666

24、70.84729178.9425287G12052.3333386.33333340.76181878.2351569G06850.3333383.6666733.333330.83388178.1293666G00642.3333385.33333430.80582976.9839901G07551.6666781.3333329.666670.84657276.7816493G18351.6666781.3333329.666670.84657276.7816493G1343887.6666749.666670.77672676.5773962G17848.3333384.33333360

25、.7838876.5530303G03540.3333381.6666741.333330.8720676.3784851G17640.3333381.6666741.333330.8720676.3784851G07048.333338334.666670.7992576.0406556G13338.3333388.33333500.74917375.7919591G17951.6666784.3333332.666670.73208775.5815071G08142.3333379.6666737.333330.88888975.5185185G04650.3333380.33333300

26、.83463375.3723197G13544.666678237.333330.81839175.2199234G0714983.6666734.666670.74278974.7500355G08943.666678339.333330.78395174.5020576G1244180.3333339.333330.85009674.4371009G14137.333338143.666670.84804274.3644929G02731.6666784.66667530.7932273.7073446G16831.6666784.66667530.7932273.7073446G0725

27、2.3333383.6666731.333330.67762373.5655262G1385079.6666729.666670.79408973.5579639G00951.666678432.333330.67533473.5024715G05046.6666782.66667360.73765473.2222222G02820.6666782.3333361.666670.84964273.0612392G16920.6666782.3333361.666670.84964273.0612392G18053.3333381.6666728.333330.69093272.9097488G

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30、.3702359G09751.666678432.333330.60870971.3482665G02152.6666783.3333330.666670.60515971.2248677G0044681.6666735.666670.70555671.1648148G02251.666678432.333330.59085270.7708855G11751.6666783.3333331.666670.60255470.7475521G09251.6666783.66667320.58963370.5349282G0733887.6666749.666670.6419469.8830191G

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34、7680367.6112853G02439.666678141.333330.66529367.1654457G16539.666678141.333330.66529367.1654457G1904882.6666734.666670.55146267.1173489G0544180.3333339.333330.66223867.048045G1085084.3333334.333330.4890166.7893392G11041.3333385.33333440.57733466.7360355G15341.3333385.33333440.57733466.7360355G10146.

35、6666784.3333337.666670.52733766.5296884G15847.666678335.333330.53041766.4080656G14825.666678559.333330.68611466.3760981G05739.666678141.333330.64326666.2549759G0904086460.57024566.2312618G1514684.3333338.333330.52588766.1590122G02052.6666783.3333330.666670.43668866.0584416G05230.3333380.6666750.3333

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42、3333388.33333490.41876459.8527649G07937.3333381.33333440.50590159.5929638G18737.3333381.33333440.50590159.5929638G14341.6666781.3333339.666670.44451559.2990788G1043884.3333346.333330.45793559.2176682G14537.3333381.33333440.49002358.8943366G03039.6666779.3333339.666670.48101758.7470103G17139.6666779.

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