數(shù)學(xué)建模輸油管的鋪設(shè)

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： C 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： C2904 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?泉州理工職業(yè)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 樂美芳 2. 高陳沖 3. 沈標(biāo)安 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 劉秀梅 日期： 2010 年 9 月 12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：輸油管的布置摘 要論文對(duì)輸油管建設(shè)的布置進(jìn)行了研究,力求以最短距離敷設(shè)管線,使

3、管線建設(shè)費(fèi)用最小.運(yùn)用線性規(guī)劃中常用的圖解法與單純形法來解決管線布置方案及相應(yīng)費(fèi)用的目標(biāo)規(guī)劃.用MATLAB計(jì)算出具體數(shù)值,從而確定出最優(yōu)的方案.針對(duì)問題一所要求的設(shè)計(jì)方案，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及中垂線定理，借助圖解法求出設(shè)計(jì)的方案.針對(duì)問題二所要設(shè)計(jì)的管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用，借助圖解法來求解出滿足問題二條件的最優(yōu)方案是車站必須建在兩點(diǎn)之間使得相應(yīng)的費(fèi)用最省,具體位置在點(diǎn)右邊4.902千米處.用解決問題二的方法來求解出問題三所要解答的問題是車站必須建在兩點(diǎn)之間,具體位置在點(diǎn)右邊7.0213千米處.通過對(duì)此問題的解決,用同樣的方法來解決排水管的布置.天然氣的運(yùn)輸有著現(xiàn)實(shí)可行的意義.可以把此問

4、題推廣開來.【關(guān)鍵詞】中垂線定理 圖解法 優(yōu)化設(shè)計(jì) MATLAB 一 問題重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠,同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站,用來運(yùn)送成品油.由于這種模式具有一定的普遍性,油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法.1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形,提出你的設(shè)計(jì)方案.在方案設(shè)計(jì)時(shí),若有共用管線,應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形.2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì).兩煉油廠的具體位置由附圖所示,其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域）, 廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域）,兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示.圖中各字母表

5、示的距離（單位:千米）分別為, 8, , . 若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元. 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用,為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì),聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì),公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算.估算結(jié)果如下表所示:工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費(fèi)用（萬元/千米）212420請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用.3. 在該實(shí)際問題中,為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用,可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力,選用相適應(yīng)的油管.這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元,輸送B廠成品油的每千米6.0萬元,共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元,拆遷等附加

6、費(fèi)用同上.請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用.二 符號(hào)假設(shè): 廠到車站的距離,單位:千米;: 廠到共用管線起點(diǎn)的距離,單位:千米;: 是 、兩廠的中點(diǎn);: 點(diǎn)到共用管線起點(diǎn)的距離,單位:千米;: 共用管線起點(diǎn)到車站的距離,單位:千米;: 車站與分界線的距離,單位:千米;: 每千米、兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用,單位:萬元;: 每千米、兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用,單位:萬元;: 、兩廠之間距離的一半,單位:千米; : 、兩廠共用管線的距離,單位:千米;: 、兩產(chǎn)共用管線的總費(fèi)用,單位:萬元;: 輸送廠成品油每千米的費(fèi)用,單位:萬元;: 輸送廠成品油每千米的費(fèi)用,單位:萬元;: 輸送、兩廠共

7、用管線的費(fèi)用,單位:萬元;: 第個(gè)工程咨詢公司評(píng)估出來每千米的費(fèi)用,單位:萬元, ;三 模型假設(shè)1.兩煉油廠建在安全的距離范圍之內(nèi),如果其中一個(gè)廠爆炸的話并不會(huì)影響到另一個(gè)廠.2. 、兩煉油廠鋪設(shè)管道之前所花的代價(jià)忽略不計(jì).3.在建立模型時(shí)把煉油廠和車站都看作一個(gè)點(diǎn)4.鋪設(shè)管道的過程中,鋪設(shè)管道的方向不受任何因素的影響5.鋪設(shè)管道的水平高度都一樣三 問題的分析問題一: 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形再加上若有共用管線,應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理來分析出其中的一種情況是、兩廠垂直于鐵路,垂足為車站,這是一種最理想最優(yōu)的方

8、案,然而現(xiàn)實(shí)生活中很難存在這樣的情況.所以應(yīng)該認(rèn)為所有點(diǎn)都為動(dòng)點(diǎn),根據(jù)中垂線定理來解決出這個(gè)問題的一般情況.問題二:如果車站建立在點(diǎn)的右邊,在城市建車站所需的附加費(fèi)用比車站建在點(diǎn)與點(diǎn)的費(fèi)用多.如果車站建在點(diǎn)的左邊,增加兩廠離車站的距離,會(huì)增大鋪設(shè)管道的費(fèi)用且比建在點(diǎn)與點(diǎn)的費(fèi)用多,最合理的方式就是把車站建在之間.因?yàn)樯婕暗讲疬w和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用,為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì),聘請(qǐng)三家工程咨詢公司進(jìn)行了估算.為了在鋪設(shè)管道后的幾十年管道不出問題，應(yīng)采取有優(yōu)勢(shì)的公司來對(duì)在鋪設(shè)管線還需拆遷和工程補(bǔ)償?shù)鹊母郊淤M(fèi)用的估算,在這三家公司由于公司一的資質(zhì)為甲級(jí),所以選擇公司一估算的21萬元.再通過各種幾何關(guān)系及

9、角度的大小,來得出各個(gè)量之間的關(guān)系.利用MATLAB來求出具體的數(shù)值,得出最優(yōu)方案及相應(yīng)的費(fèi)用.問題三:同問題二的分析,在該實(shí)際問題中,為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用,根據(jù)煉油廠不同的生產(chǎn)能力,就會(huì)有、兩廠不同的運(yùn)輸費(fèi)用. 最合理的方式就是把車站建在之間.因?yàn)樯婕暗讲疬w和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用,為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì),聘請(qǐng)三家工程咨詢公司進(jìn)行了估算.為了在鋪設(shè)管道后的幾十年管道不出問題，應(yīng)采取有優(yōu)勢(shì)的公司來對(duì)鋪設(shè)管線還需拆遷和工程補(bǔ)償?shù)鹊母郊淤M(fèi)用的估算,在這三家公司由于公司一的資質(zhì)為甲級(jí),所以選擇公司一估算的21萬元.再通過各種幾何關(guān)系及角度的大小,來得出各個(gè)量之間的關(guān)系.利用MATLAB來求出具體的數(shù)值,得

10、出最優(yōu)方案及相應(yīng)的費(fèi)用.五 模型的建立（一） 問題一:根據(jù)垂直平分線的定理,任取兩點(diǎn)分別作為廠和廠.作、兩點(diǎn)中點(diǎn)的垂直平分線交鐵路于點(diǎn), 點(diǎn)即為鐵路線上的車站.如要用到共用管線,那么共用管線的起點(diǎn)必在這條垂直平分線上.但也同樣存在、都垂直于鐵路相交與點(diǎn).1 方案一(如圖一所示):圖一1) 當(dāng)共用管線費(fèi)用相同，即時(shí),兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用為: 其中：，表示每千米、兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用，表示每千米、兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用為: 由得,因此采用鋪設(shè)共用管道的方案所需的費(fèi)用更省,所以選用鋪設(shè)共用管道的方案.2) 當(dāng)共用管道費(fèi)用不相同，即時(shí),兩廠單獨(dú)

11、鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用為: 兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用為: 當(dāng)0時(shí),解得因此當(dāng)時(shí),采用有鋪設(shè)共用管道的方案.反之采用單用鋪設(shè)管道的方案.2 方案二(如圖二所示):圖二1）當(dāng)共用管線費(fèi)用相同,即時(shí)，兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用為: 兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用為: 其中：，表示每千米、兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用，表示每千米、兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用若,則兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用比較多,所以采用有鋪設(shè)共用管道的方案所需的費(fèi)用更省.若,則兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用比較多,所以采用單獨(dú)鋪設(shè)輸油管的方案所需的費(fèi)用更省2) 當(dāng)共用管道費(fèi)用不相同，即時(shí),兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的

12、費(fèi)用為: 兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用為: 若,則兩廠單獨(dú)鋪設(shè)輸油管到車站的費(fèi)用比較多,所以采用有鋪設(shè)共用管道的方案所需的費(fèi)用更省.若,則兩廠用共用管道鋪設(shè)到車站的費(fèi)用比較多,所以采用單獨(dú)鋪設(shè)輸油管的方案所需的費(fèi)用更省.（二）問題二:由第二個(gè)問題中所給的圖形再根據(jù)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理可得下圖（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理圖中廠和廠的共用管線垂直于鐵路線,垂足為車站的所在點(diǎn)）,如圖三所示： 圖三為了使附加費(fèi)用最省,所以在城區(qū)的范圍內(nèi)作廠垂直于分界線的線段,垂足為.共用管道的長度不能高于廠到車站的距離.建立如下模型: 其中：表示、兩產(chǎn)共用管線的總費(fèi)用表示輸送廠成品油每千米的費(fèi)用;表示輸送廠成

13、品油每千米的費(fèi)用;表示輸送、兩廠共用管線的費(fèi)用;第個(gè)工程咨詢公司評(píng)估出來每千米的費(fèi)用，；（三）問題三如圖四所示:圖四建立如下模型: 其中：表示、兩產(chǎn)共用管線的總費(fèi)用表示輸送廠成品油每千米的費(fèi)用;表示輸送廠成品油每千米的費(fèi)用;表示輸送、兩廠共用管線的費(fèi)用;第個(gè)工程咨詢公司評(píng)估出來每千米的費(fèi)用，；六 模型的求解利用上面的分析,根據(jù)各個(gè)管道不同的費(fèi)用來解決出具體的數(shù)值.由問題二的已知條件可以確定出x的取值范圍在0到15之間,y的的取值范圍在0到8之間.為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì),聘請(qǐng)三家工程咨詢公司進(jìn)行了估算.由于公司一的資質(zhì)為甲級(jí),所以選擇公司一估算的21萬元.1、對(duì)問題二進(jìn)行求解用MATLAB進(jìn)行

14、曲線擬合（見附錄程序一）得如圖五所示圖五把已知的數(shù)據(jù)代入上述模型，從而得到以下模型:約束條件利用MATLAB軟件進(jìn)行編程（見附錄程序四），求得，當(dāng)=10.098(千米). =2.16989(千米)時(shí),即把車站建在C點(diǎn)右邊4.902千米處鋪設(shè)管道的總費(fèi)用最省,此時(shí)的總費(fèi)用為281.3307(萬元).2 對(duì)問題三進(jìn)行求解用MATLAB進(jìn)行曲線擬合（見附錄程序三）得如圖六所示圖六把已知的數(shù)據(jù)代入上述模型，從而得到以下模型:約束條件為利用MATLAB軟件進(jìn)行編程（見附錄程序四），求得當(dāng)=7.9787(千米). =0.3303(千米), 即把車站建在C點(diǎn)右邊7.0213千米處鋪設(shè)管道總費(fèi)用最省,此時(shí)總費(fèi)

15、用為250.8742(萬元).七. 模型的評(píng)價(jià)和推廣模型很好的描述出了兩煉油廠管線到車站的路徑是變化的，在鋪設(shè)的過程中可分為有共用管線與無共用管線，不同的鋪設(shè)方案能夠較為準(zhǔn)確的預(yù)算出總費(fèi)用,并且可以算出具體的費(fèi)用.對(duì)鋪設(shè)管線的不同方式有較好的指導(dǎo)作用.能盡可能的把鋪設(shè)管線的費(fèi)用降到最低.模型的不足之處在于很多現(xiàn)實(shí)生活中存在的客觀因素并沒有很全面的考慮在內(nèi)。編程現(xiàn)實(shí)簡單,可操作性強(qiáng),易于推廣.可以推廣到污水排放,天然氣的運(yùn)輸,電線鋪設(shè)等情況.參考文獻(xiàn)1 周勤學(xué)等.數(shù)學(xué)規(guī)劃及其運(yùn)用.廣州:中山大學(xué)出版社,19902 姜啟源.數(shù)學(xué)模型.第2版.北京:高等教育出版社,19933 徐永仁.運(yùn)籌學(xué)試題精選

16、與答題技巧.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,20014 劉則毅主編.科學(xué)計(jì)算技術(shù)與MATLAB.北京:科學(xué)出版社,20015 附 錄程序一%畫圖syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x.2+(8-y).2)+7.2*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序二%對(duì)函數(shù)求導(dǎo)syms x y ;W=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x2+(8-y)2)+7.2*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+y*7.2;B=diff(W,x)C=diff

17、(W,y)%求函數(shù)的極值點(diǎn)x,y=solve(36/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*x+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-30+2*x),.18/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*(-16+2*y)+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-10+2*y)+36/5,x,y);a=vpa(x,5)b=vpa(y,5)%求函數(shù)的最值W=inline(7.2*5+5*21+7.2*sqrt(x(1)2+(8-x(2)2)+7.2*sqrt(15-x(1)2+(5-x(2)2)+x(2)*7.2);x0=10.1,0;x,fval=fminsearch(z,x0)程序三%畫圖syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5.6*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+6*sqrt(x.2+(8-y).2)+135+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序四%對(duì)函數(shù)求導(dǎo)syms x y;W=5.6*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+6*sqrt(x2+(8-y)2)+135+y*7.2;B=diff(W,x)A=diff(W,y)%