數(shù)學(xué)建模狐貍野兔問題

1、狐貍野兔問題摘要：封閉自然環(huán)境中的狐貍和野兔存在捕食與被捕食關(guān)系，本題旨在通過對(duì)自然狀態(tài)下兩物種數(shù)量變化規(guī)律的分析，推測(cè)加入人類活動(dòng)（即人工捕獲）時(shí)兩物種數(shù)量的變化，進(jìn)而得出人類活動(dòng)對(duì)自然物種的影響，為人類活動(dòng)提供參考，使其在自然允許的范圍內(nèi)，促進(jìn)人與自然和諧相處。對(duì)于問題一，首先建立微分方程，描述兩物種數(shù)量隨時(shí)間變化的Volterra模型并用解析法求得狐貍與野兔數(shù)量的關(guān)系為直觀反映兩物種數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，選取三組有代表性的初值，利用Matlab軟件繪圖。在狐貍和野兔隨時(shí)間的變化圖像中，大致得出其數(shù)量呈周期變化，為進(jìn)一步檢驗(yàn)周期性，再用 Matlab繪圖做出狐貍與野兔數(shù)量的關(guān)系圖，得到封閉

2、曲線，因此分析結(jié)果為：狐貍和野兔的數(shù)量都呈現(xiàn)周期性的變化，但不在同一時(shí)刻達(dá)到峰值。對(duì)于問題二，利用數(shù)值解法，令模型中兩式皆為0，即求得狐貍和野兔數(shù)量的平衡狀態(tài)。且由問題一中狐貍與野兔數(shù)量的關(guān)系圖知野兔和狐貍的平衡量恰為他們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的平均值。對(duì)于問題三，在Volterra模型基礎(chǔ)上引入人工捕獲系數(shù)。只捕獲野兔時(shí)，野兔的自然增長(zhǎng)率降低，狐貍自然死亡率增加，改進(jìn)后模型同問題二處理方式一樣，求得平衡狀態(tài)，得出結(jié)論：捕獲野兔時(shí)，狐貍數(shù)量減少，野兔數(shù)量反而增加，即Volterra原理：為了減少?gòu)?qiáng)者，只需捕獲弱者。只捕獲狐貍時(shí)，分析方法與只捕獲野兔時(shí)相同，并得出野兔狐貍數(shù)量皆增加的結(jié)論。問題三為自然界人

3、類捕獲生物提供了新的思路，即可以在正常允許范圍內(nèi)，為了達(dá)到減少某一種群數(shù)量的目的，相應(yīng)的捕獲其食餌，或適度地捕獲捕食者使捕食者與被捕食者的數(shù)量都有所增加。關(guān)鍵詞：Volterra模型 Matlab軟件 解析法 周期性一、問題重述在一個(gè)封閉的大草原里生長(zhǎng)著狐貍和野兔。在大自然的和諧的壞境中，野免并沒有因?yàn)橛泻偟牟妒扯鴾缃^。因?yàn)槊恳环N動(dòng)物都有它們特有的技巧來保護(hù)自己。設(shè)時(shí)刻它們的數(shù)量分別為和,已知滿足以下微分方程組（1）   分析這兩個(gè)物種的數(shù)量變化關(guān)系。（2）   在什么情況下狐貍和野兔數(shù)量出現(xiàn)平衡狀態(tài)？（3）   

4、; 建立另一個(gè)微分方程來分析人們對(duì)野兔進(jìn)行捕獵會(huì)產(chǎn)生什么后果？對(duì)狐貍進(jìn)行捕獵又會(huì)產(chǎn)生什么后果？ 二、模型假設(shè)（1） 題目所給數(shù)據(jù)真實(shí)有效，野兔有充分的食物，狐貍只以野兔為食物；（2） 自然狀態(tài)下，野兔獨(dú)立生存時(shí)的相對(duì)增長(zhǎng)率為正常數(shù)；（3） 自然狀態(tài)下，狐貍獨(dú)立生存時(shí)的相對(duì)增長(zhǎng)率為負(fù)常數(shù)；（4） 野兔由于狐貍的存在使增長(zhǎng)率降低，降低的程度與狐貍數(shù)量成正比；（5） 狐貍由于野兔為其提供食物使死亡率降低或使之增長(zhǎng)，增長(zhǎng)的程度與野兔的數(shù)量成正比；（6） 人工捕獲不會(huì)影響野兔對(duì)狐貍的供養(yǎng)能力和狐貍對(duì)野兔的捕獲能力。三、定義與符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明野兔在時(shí)刻的數(shù)量狐貍在t時(shí)刻的數(shù)量野兔獨(dú)立生存時(shí)

5、的增長(zhǎng)率狐貍獨(dú)自存在時(shí)的死亡率狐貍掠取野兔的能力野兔對(duì)狐貍的供養(yǎng)能力人工捕獲野兔能力系數(shù)人工捕獲狐貍能力系數(shù)時(shí)間任意正數(shù)狐貍與野兔數(shù)量的比例四、問題分析自然狀態(tài)下，野兔和狐貍兩物種存在被捕食與捕食關(guān)系，通過假設(shè)及各種參數(shù)的定義，建立微分方程描述兩物種數(shù)量隨時(shí)間變化的Volterra模型。4.1問題（1）的分析為了直觀的反映出兩物種的數(shù)量變化關(guān)系，將題中所給數(shù)據(jù)和任意取定的初值代入模型中的微分方程組，并用matlab繪制圖像，由圖可大致得出兩物種數(shù)量呈周期性變化；為了證明野兔與狐貍數(shù)量確實(shí)是周期函數(shù)，需從模型出發(fā)，得到相軌線方程，并用matlab繪制圖像，圖像為封閉曲線即可得野兔與狐貍數(shù)量呈周期

6、性變化。為了較全面說明兩物種的數(shù)量變化關(guān)系，分別取三組不同的具有代表性的初值4.2問題（2）的分析令模型中兩式皆為零即可求得狐貍和野兔數(shù)量的平衡狀態(tài)。4.3問題（3）的分析在Volterra模型基礎(chǔ)上引入人工捕獲系數(shù)，野兔的增長(zhǎng)率降低，狐貍的死亡率增加，對(duì)改進(jìn)后的模型求得平衡狀態(tài)，通過平衡狀態(tài)分析人工捕獲對(duì)兩物種數(shù)量的影響。五、模型的建立與求解5.1模型的建立分別以表示野兔和狐貍在時(shí)刻的數(shù)量。假定野兔有充分的食物，而狐貍是以野兔為食物的。野兔獨(dú)立生存時(shí)，數(shù)量的增長(zhǎng)應(yīng)服從馬爾薩斯模型，但是有狐貍的存在，則被狐貍吃掉是野兔死亡的一個(gè)重要原因。兩物種相遇（發(fā)生被吃現(xiàn)象）是偶然的，相遇機(jī)會(huì)與兩個(gè)群體規(guī)

7、模乘積成正比，所以在馬爾薩斯模型的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng):，即 假定狐貍的出生率與群體規(guī)模成正比，而真正能活下來的只是那些找到食物的（與野兔相遇部分），所以它的有效出生率與兩物種規(guī)模成正比。假定它的自然死亡率也與群體規(guī)模成正比，即 所以在沒有人類捕撈的情況下，給定野兔和狐貍的初始值，野兔與狐貍增長(zhǎng)規(guī)律性可用常微分方程組描述（Volterra模型） （1）5.2模型的求解首先將式（1）的兩式相除，消去得到 這是可分離變量方程兩邊積分得到的通解 （2）其中常數(shù)由初始條件確定。式（2）的解描述了野兔和狐貍的數(shù)量隨時(shí)間的變化過程，但是得不到的解析解，需要用數(shù)值算法求解。問題一的求解將題目所給數(shù)據(jù)代入式（1）和

8、式（2）得 （3） 為了分析野兔和狐貍的數(shù)量隨時(shí)間的變化，任取三組數(shù)據(jù)分別作為野兔和狐貍數(shù)量的初值，用Matlab編程求得模型的數(shù)值解并繪制野兔和狐貍數(shù)量隨時(shí)間變化的圖像以及狐貍和野兔的數(shù)量變化關(guān)系圖像，由以上兩圖得出野兔和狐貍數(shù)量呈現(xiàn)周期性變化。Matlab程序及得到的數(shù)值結(jié)果見附錄，三組不同初值對(duì)應(yīng)的及的圖形分別見圖1-甲圖3-乙 從以上三圖可以看出，不論初始時(shí)刻野兔和狐貍數(shù)量大小關(guān)系如何變化，兩物種的數(shù)量變化都有如下規(guī)律：當(dāng)狐貍數(shù)量增加時(shí)，野兔數(shù)量開始減少；狐貍數(shù)量達(dá)到峰值時(shí)便開始遞減，然后野兔數(shù)量回升；野兔數(shù)量達(dá)到峰值后再次減少。兩種動(dòng)物的數(shù)量都呈現(xiàn)出周期性的變化，各自達(dá)到一個(gè)峰值就會(huì)

9、趨于平衡，但是兩個(gè)峰值不在同一時(shí)刻達(dá)到，這符合捕食與被捕食的關(guān)系，是捕食與被捕食系統(tǒng)的振蕩現(xiàn)象。問題二的求解令式（3）中兩式為0因，所以捕獲野兔時(shí)，野兔狐貍數(shù)量皆增加求得平衡點(diǎn)為，結(jié)合兩物種數(shù)量變化關(guān)系圖4-甲知野兔和狐貍的平衡量恰為他們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的平均值。問題三的求解考慮人工捕獲，引入人工捕獲系數(shù)和。.1只捕獲野兔設(shè)只捕獲野兔的捕獲系數(shù)為，此時(shí)野兔的自然增長(zhǎng)率由降為 ，狐貍的自然死亡率由增為 。改進(jìn)后模型為 （4）將題目所給數(shù)據(jù)代入式（4）得 （5）令式（5）中兩式為0，得求得平衡點(diǎn) 或 （舍去）因，所以捕獲野兔時(shí)，狐貍數(shù)量減少，野兔數(shù)量反而增加。即Volterra原理：為了減少?gòu)?qiáng)者，只需

10、捕獲弱者.2只捕獲狐貍設(shè)只捕獲狐貍的捕獲系數(shù)為，此時(shí)野兔的自然增長(zhǎng)率由增為，狐貍的自然死亡率由增為。改進(jìn)后模型為 （6） 將題目所給數(shù)據(jù)代入式（6）得 （7）令式（7）中兩式為0，得求得平衡點(diǎn) 或 （舍去）因，所以捕獲野兔時(shí)，野兔狐貍數(shù)量皆增加。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)（1）Volterra模型給出了自然界存在捕食與被捕食關(guān)系的兩物種數(shù)量變化的普遍模型，使其易于推廣，有更實(shí)用的操作性；（2）利用MATLAB軟件編程繪圖，直觀清晰地反映狐貍與野兔兩物種的數(shù)量變化關(guān)系；（3）人工捕獲時(shí)，模型中假設(shè)不會(huì)影響兩物種相遇的機(jī)會(huì)，沒有充分考慮野兔對(duì)狐貍的供養(yǎng)能力和狐貍對(duì)野兔的捕獲能力。6.2模

11、型的推廣推廣一假設(shè)人工捕獲使兩物種相遇的機(jī)會(huì)變小，且改變值為，即方程中的系數(shù)，均變小了，此時(shí)只捕獲野兔的模型為 （8）將題目所給數(shù)據(jù)代入式（8）求的平衡狀態(tài)為狐貍的數(shù)量與野兔的數(shù)量的比例： 在式（4）中，不同捕獲系數(shù)對(duì)應(yīng)狐貍和野兔平衡狀態(tài)的數(shù)量及狐貍與野兔數(shù)量的比例如表1.表1.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0野兔的數(shù)量9001000110012001300140015001600170018001900狐貍的數(shù)量2001951901851801751701651601551500.2220.1950.1720.1540.1380.1250.1130.1030.0

12、940.08610.079為直觀反應(yīng)人工捕獲使兩物種相遇的機(jī)會(huì)變小，作不同對(duì)應(yīng)兩物種平衡狀態(tài)時(shí)，不考慮與考慮時(shí)，狐貍的數(shù)量與野兔的數(shù)量的比例圖5由圖5知，考慮人工捕獲對(duì)兩物種相遇的影響后，只捕獲野兔時(shí)，兩物種平衡狀態(tài)時(shí)的數(shù)量比變小，狐貍數(shù)量比野兔增加的快同理，只捕獲狐貍的模型改變后求得的平衡狀態(tài)為狐貍的數(shù)量與野兔的數(shù)量的比例： 在式（5）中，不同捕獲系數(shù)對(duì)應(yīng)狐貍和野兔平衡狀態(tài)的數(shù)量及狐貍與野兔數(shù)量的比例如表2.表2.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0野兔的數(shù)量9001000110012001300140015001600170018001900狐貍的數(shù)量200205

13、2102152202252302352402452500.2220.2050.1900.1790.1690.1600.1530.1460.1410.1360.131不同對(duì)應(yīng)兩物種平衡狀態(tài)時(shí)，不考慮與考慮時(shí)，狐貍的數(shù)量與野兔的數(shù)量的比例圖6。由圖6知，考慮人工捕獲對(duì)兩物種相遇的影響后，只捕獲狐貍時(shí)，兩物種平衡狀態(tài)時(shí)的數(shù)量比變小，即狐貍數(shù)量比野兔增加的快。推廣二在實(shí)際生活中，人類捕獲野兔和狐貍的活動(dòng)大多是同時(shí)進(jìn)行的，而且當(dāng)對(duì)野兔和狐貍進(jìn)行捕獵后，兩種動(dòng)物相遇的機(jī)會(huì)還會(huì)變小，即模型中的系數(shù)，都變小。設(shè)，均變小了，則野兔的增長(zhǎng)率由變?yōu)?-+)，狐貍的死亡率由變?yōu)?-),此時(shí)模型為： 代入題目所給數(shù)據(jù)求

14、得平衡狀態(tài)為 由平衡狀態(tài)知，此時(shí)野兔數(shù)量不僅與人工捕獲野兔的系數(shù)有關(guān)，還與人工捕獲狐貍的系數(shù)有關(guān)；狐貍數(shù)量變化亦如此。七、參考文獻(xiàn)1 蕭樹鐵 姜啟源 張立平等，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版），高等教育出版社，19992 李艷會(huì) 王高雄 周之路等，常微分方程（第三版），高等教育出版社，20063 徐全智 楊晉浩，數(shù)學(xué)建模（第二版），高等教育出版社，2008八、附錄8.1 首先建立 M-文件 bushi.mfunction dy=bushi(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=0.001*y(2)*y(1)-0.9*y(1);%y(1)表示狐貍y，y(2)表示野兔xdy(2)=4*y(2)-0.0

15、2*y(2)*y(1);8.2 圖像主程序tuxiang.m % 取t0=0，tf=10 本例初始值設(shè)為200 500 注意：y(1)表示狐貍y，y(2)表示野兔xT,Y=ode45('bushi',0:0.05: 10,200 500);subplot(1,2,1);plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b')xlabel('圖 1-甲 狐貍和兔子的數(shù)量變化圖 ')ylabel('狐貍或兔子的數(shù)量')gtext('x(t)曲線'),gtext('y(t)曲線'

16、);subplot(1,2,2)plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')xlabel('圖 1-乙 狐貍與兔子的數(shù)量變化關(guān)系圖')ylabel('y') % 取t0=0，tf=10 本例初始值設(shè)為200 200 注意：y(1)表示狐貍y，y(2)表示野兔xT,Y=ode45('bushi',0:0.05: 10,200 200);subplot(1,2,1);plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b')xlabel('圖 1-甲 狐貍和兔子的數(shù)量變化圖 '

17、)ylabel('狐貍或兔子的數(shù)量')gtext('x(t)曲線'),gtext('y(t)曲線');subplot(1,2,2)plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')xlabel('圖 1-乙 狐貍與兔子的數(shù)量變化關(guān)系圖')ylabel('y') % 取t0=0，tf=10 本例初始值設(shè)為500 200 注意：y(1)表示狐貍y，y(2)表示野兔xT,Y=ode45('bushi',0:0.05: 10,500 200);subplot(1,2,1);plot(T,Y(:,

18、1),'-.r',T,Y(:,2),'b')xlabel('圖 1-甲 狐貍和兔子的數(shù)量變化圖 ')ylabel('狐貍或兔子的數(shù)量')gtext('x(t)曲線'),gtext('y(t)曲線');subplot(1,2,2)plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')xlabel('圖 1-乙 狐貍與兔子的數(shù)量變化關(guān)系圖')ylabel('y')8.3 三組不同初值對(duì)應(yīng)的數(shù)值解時(shí)間T 狐貍y 野兔x 始值設(shè)為500 200 1.0e+003 *

19、0 0.2000 0.5000 0.0005 0.1665 0.5988 0.0010 0.1534 0.9133 0.0015 0.1730 1.3674 0.0020 0.2268 1.3785 0.0025 0.2548 0.8710 0.0030 0.2290 0.5564 0.0035 0.1889 0.5097 0.0040 0.1603 0.6676 0.0045 0.1553 1.0427 0.0050 0.1864 1.4449 0.0055 0.2408 1.2527 0.0060 0.2516 0.7483 0.0065 0.2176 0.5207 0.0070 0.17

20、90 0.5331 0.0075 0.1560 0.7506 0.0080 0.1599 1.1767 0.0085 0.2018 1.4697 0.0090 0.2504 1.1009 0.0095 0.2446 0.6526 0.0100 0.2060 0.5038初始值設(shè)為200 2001.0e+003 * 0 0.2000 0.2000 0.0005 0.1426 0.2722 0.0010 0.1109 0.5784 0.0015 0.1136 1.4497 0.0020 0.2027 2.4598 0.0025 0.3348 1.1010 0.0030 0.2901 0.3269

21、0.0035 0.2087 0.2001 0.0040 0.1482 0.2535 0.0045 0.1131 0.5183 0.0050 0.1101 1.3001 0.0055 0.1837 2.4466 0.0060 0.3293 1.3027 0.0065 0.3008 0.3638 0.0070 0.2181 0.1991 0.0075 0.1540 0.2337 0.0080 0.1154 0.4584 0.0085 0.1069 1.1504 0.0090 0.1658 2.3814 0.0095 0.3195 1.5395 0.0100 0.3120 0.4146始值設(shè)為200

22、 5001.0e+003 * 0 0.5000 0.2000 0.0005 0.3306 0.0240 0.0010 0.2125 0.0122 0.0015 0.1364 0.0162 0.0020 0.0881 0.0397 0.0025 0.0584 0.1437 0.0030 0.0440 0.6430 0.0035 0.0603 2.9725 0.0040 0.3910 4.0707 0.0045 0.4900 0.1783 0.0050 0.3231 0.0234 0.0055 0.2077 0.0127 0.0060 0.1333 0.0175 0.0065 0.0862 0.0440 0.0070 0.0574 0.1605 0.0075 0.0441 0.7239 0.0080 0.0664 3.2713 0.0085 0.4334 3.4976 0.0090 0.4772 0.1447 0.0095 0.3130 0.0214 0.0100 0.2011 0.01268.4 圖 4 程序T,Y=ode45('bushi',0:0.05: 10,200 500);T,X=ode45('bushi',0:0.05: 10,200 200);T,Z=ode45('bushi',0:0.05: 10,500 200