數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座七年級(jí)計(jì)算—工具與算法的變遷含答案

1、第五講 計(jì)算工具與算法的變遷 研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總離不開(kāi)計(jì)算，隨著時(shí)代的變遷，計(jì)算工具在不斷地改變，從中國(guó)古老的算盤(pán)、紙筆運(yùn)算發(fā)展到利用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)運(yùn)算 初中代數(shù)中運(yùn)算貫穿于始終，運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯能力的結(jié)合，它體現(xiàn)在對(duì)算理算律的理解與使用，綜合運(yùn)算的能力及選擇簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算路徑上，這要求我們要善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用算法和技巧，有理數(shù)的計(jì)算常用的方法與技巧有： 1巧用運(yùn)算律； 2用字母代數(shù)； 3分解相約； 4裂項(xiàng)相消； 5利用公式；6加強(qiáng)估算等“當(dāng)今科學(xué)活動(dòng)可以分成理論、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算三大類(lèi)，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)與理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)一起，成為第三種科學(xué)方法威爾遜注：威爾遜，著名計(jì)算物理學(xué)

2、家，20世紀(jì)80年代諾貝爾獎(jiǎng)獲得者【例1】 現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3，4，l0，將這4個(gè)數(shù)(每個(gè)數(shù)用且只用一次)進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等于24，其三種本質(zhì)不同的運(yùn)算式有：(1) ；(2) ；(3) (浙江省杭州市中考題)思路點(diǎn)撥 從24最簡(jiǎn)單的不同表達(dá)式人手，逆推，拼湊 鏈接： 今天，計(jì)算機(jī)泛應(yīng)用于社會(huì)生活各個(gè)方面，計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，不但使許多繁難計(jì)算變得簡(jiǎn)單程序化，而且還日益改變著我們的觀念與思維 著名的計(jì)算機(jī)專(zhuān)家沃斯說(shuō)過(guò)：“程序=算法十?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)” 有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)的計(jì)算有很大的不同，主要體現(xiàn)在： (1)有理數(shù)的計(jì)算每一步要確定符號(hào)； （2）有理數(shù)計(jì)算常常是符號(hào)演算；(3)運(yùn)

3、算的觀念得以改變，如兩個(gè)有理數(shù)相加，其和不一定大于任一加數(shù)；兩個(gè)有理數(shù)相減，其差不一定小于被減數(shù)程序框圖是一種用規(guī)定、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形，能清晰地展現(xiàn)算法的邏輯結(jié)構(gòu)，常見(jiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)有：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)【例2】 如果4個(gè)不同的正整數(shù)滿足，那么，等于( ) A10 B2l C24 D26 E28 (新加坡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是把4表示成4個(gè)不同整數(shù)的形式【例3】 計(jì)算：(1)； (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)(2)1949219502+1951219522+1997219982+19992 (北京市競(jìng)賽題)(3)5+52+53+十52002思路點(diǎn)撥 對(duì)

4、于(1)，首先計(jì)算每個(gè)分母值，則易掩蓋問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不妨先從考察一般情形人手；(2)式使人易聯(lián)想到平方差公式，對(duì)于(3)，由于相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是5，可從用字母表示和式著手鏈接：裂項(xiàng)常用到以下關(guān)系式：（1）；（2）；（3）運(yùn)用某些公式，能使計(jì)算獲得巧解，常用的公式有：（1）；（2）錯(cuò)位相減、倒序相加也是計(jì)算中常用的技巧【例4】(1)若按奇偶分類(lèi)，則22004+32004+72004+92004是 數(shù)； (2)設(shè)， ，則的大小關(guān)系是 (用“>”號(hào)連接)； (3)求證：32002+42002是5的倍數(shù)思路點(diǎn)撥 乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算，解與乘方運(yùn)算相關(guān)問(wèn)題常用到以下知識(shí)：乘方意義；

5、乘方法則；與的奇偶性相同；在中(，r為非負(fù)整數(shù)，0r<4)，當(dāng)r=0時(shí)，的個(gè)位數(shù)字與n4的個(gè)位數(shù)字相同；當(dāng)時(shí)，? 的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同【例5】有人編了一個(gè)程序：從1開(kāi)始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，將上次運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3，例如，30可以這樣得到： （1）證明：可以得到22；（2）證明；可以得到思路點(diǎn)撥 （1）試值可以得到22，從計(jì)算中觀察得數(shù)的規(guī)律性，為（2）做準(zhǔn)備；（2）連續(xù)地運(yùn)用同一種運(yùn)算以獲得高次，在進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q可以求解【例6】（1）已知、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，且，那么的值為_(kāi) (第19屆江蘇省競(jìng)賽

6、題)（2）已知，則小于的最大整數(shù)是_ （第11屆“華杯賽“試題）思路點(diǎn)撥 對(duì)于（1）從倒數(shù)、相反數(shù)的概念入手；（2）通過(guò)對(duì)數(shù)式的分組，估算的值的范圍【例7】按下面的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則滿足條件的的不同值最多有（ ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè) （義烏市中考題）思路點(diǎn)撥 看懂程序圖，循環(huán)運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵【例8】如圖所示是一的幻方，當(dāng)空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)后，每行、每列及對(duì)角線上的和都是相等的，求的值 （兩岸四地少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥 為充分利用條件，需增設(shè)字母，運(yùn)用關(guān)系式求出的值基礎(chǔ)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.(1)計(jì)算:211×(-455)+365&

7、#215;455-211×545+545×365=_; (2)若a= -,b=-,c=-,則a、b、c的大小關(guān)系是_(用“”號(hào)連接.2.計(jì)算:(1)0.7×1+2×(-15)+0.7×+×(-15)=_; (第15屆江蘇省競(jìng)賽題) (2) -=_. (第12屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) (3) +=_; (天津市競(jìng)賽題) (4)(13.672×125+136.72××1.875)÷17.09=_. (第14屆“五羊杯”競(jìng)賽題)3.在下式的每個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)四則運(yùn)算符號(hào)(不再添加括號(hào)),使得等式成立

8、:63212=24. (第17屆江蘇省競(jìng)賽題)4.1999加上它的得到一個(gè)數(shù),再加上所得的數(shù)的又得到一個(gè)數(shù),再加上這次得數(shù)的 又得到一個(gè)數(shù),依此類(lèi)推,一直加到上一次得數(shù)的,那么最后得到的數(shù)是_.5.根據(jù)圖所示的程序計(jì)算,若輸入的x值為,則輸出的結(jié)果為( ).A. B. C. D. (2002年北京市海淀區(qū)中考題)6.已知a=-,b=-,c=-,則abc=( ). A.-1 B.3 C.-3 D.1 (第11屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7.如果有理數(shù)a、b、c滿足關(guān)系a<b<0<c,那么代數(shù)式的值( ). A.必為正數(shù) B.必為負(fù)數(shù) C.可正可負(fù) D.可能為08.將322、414、

9、910、810由大到小的排序是( ). A.322、910、810、414 B.322、910、414、810 C.910、810、414、322 D.322、414、910、810 (美國(guó)猶他州競(jìng)賽題)9.閱讀下列一段話,并解決后面的問(wèn)題: 觀察下面一列數(shù):1,2,4,8,我們發(fā)現(xiàn),這一列數(shù)從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于2. 一般地,如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比. (1)等比數(shù)列5,-15,45,的第4項(xiàng)是_; (2)如果一列數(shù)a1,a2,a3,a4,是等比數(shù)列,且公比為q,那么根據(jù)上述的規(guī)定,有 =q

10、, =q, =q,所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=a1q3,an=_(用a1與q的代數(shù)式表示). (3)一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng). (2003年廣西省中考題)10.(1)已知a、b、c都不等于零,且+的最大值是m,最小值為n,求 的值. (2)求證:5353-3333是10的倍數(shù).二、能力拓展11.計(jì)算:(1) =_. (第15屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) (2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=_; (3) =_. (4)98+998+9998+=_.(2003年“信利杯”競(jìng)賽題)12.(1)3

11、2001×72002×132003所得積的末位數(shù)字是_;(第17屆江蘇省競(jìng)賽題)13.若a、b、c、d是互不相等的整數(shù)(a<b<c<d),且abcd=121,則ac+bd=_.14.你能比較20012002與20022001的大小嗎? 為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先寫(xiě)出它的一般形式,即比較nn+1與(n+1)n的大小(n是自然數(shù)),然后,我們從分析n=1,n=2,n=3,中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論. (1)通過(guò)計(jì)算,比較下列各組中兩數(shù)的大小(在空格中填寫(xiě)“)”、“”、“”號(hào). 12_21; 23_32; 34_43; 45_54; 56_65; (2)從第

12、(1)題的結(jié)果經(jīng)過(guò)歸納,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小關(guān)系是_.(3)根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論,試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小20012002_20022001. (江蘇省常州市中考題)15.如果+=1,則的值為( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不確定 (2003河北省競(jìng)賽題)16.如果ac<0,那么下面的不等式<0,ac2<0,a2c<0,c3a<0,ca3<0中必定成立的有( ). A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)17.設(shè)S=+,T=+,則S-T=( ).A. B.1- C.-1 D.+1 (第14屆“五羊杯”競(jìng)賽題)18.

13、10個(gè)互不相等的有理數(shù),每9個(gè)的和都是“分母為22的既約真分?jǐn)?shù)(分子與分母無(wú)公約數(shù)的真分?jǐn)?shù))”，則這10個(gè)有理數(shù)的和為( ). A. B. C. D. (第11屆江蘇省競(jìng)賽題)19.圖中顯示的填數(shù)“魔方”只填了一部分,將下列9個(gè)數(shù): ,1,2,4,8,16,32,64填入方格中,使得所有行、列及對(duì)角線上各數(shù)相乘的積相等,求x的值. (上海市競(jìng)賽題)20.設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù),既可分別表示為1,a+b,a的形式,又可分別表示為0, ,b的形式,求a2002+b2001的值.三、綜合創(chuàng)新21.(1)三個(gè)2,不用運(yùn)算符號(hào),寫(xiě)出盡可能大的數(shù); (2)三個(gè)4,不用運(yùn)算符號(hào),寫(xiě)出盡可能大的數(shù).(3)用相

14、同的3個(gè)數(shù)字(19),不用運(yùn)算符號(hào),寫(xiě)出最大的數(shù).22.如圖,是一個(gè)計(jì)算裝置示意圖,J1、J2是數(shù)據(jù)輸入口,C是計(jì)算輸出口,計(jì)算過(guò)程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n,經(jīng)計(jì)算后得自然數(shù)K由C輸出,此種計(jì)算裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì): (1)若J1、J=2分別輸入1，則輸出結(jié)果為1; (2)若J=1輸入任何固定的自然數(shù)不變,J2輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果比原來(lái)增大2; (3)若J2輸入1,J1輸入自然數(shù)增大1,則輸出結(jié)果為原來(lái)的2倍. 試問(wèn):(1)若J1輸入1,J2輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少? (2)若J2輸入1,J1輸入自然數(shù)m,輸出結(jié)果為多少? (3)若J1輸入自然數(shù)m,J2輸入自然

15、數(shù)n,輸出的結(jié)果為多少? (2002年揚(yáng)州中學(xué)招生試題)答案：1.(1)154000,(2)a>b>c. 2.(1)-43.6;(2)-3;(3) ;(4)48,注意13672=8×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+)(1+)××(1+)5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3)a1=5,a4=40.10.(1)-16 提示: =±1,m=4,n=-4;(2)5353與3333的個(gè)位數(shù)字相同.11.(1) ;(2)6 提示:2n+1-2n=2n;(3); (

16、4) 12.(1)9;(2)115200 13.-1214.(1)略;(2)當(dāng)n<3時(shí),nn+1<(n+1)n;當(dāng)n3時(shí),nn+1>(n+1)n;(3)>.15.A 16.C 17.B 提示: 18.A19.這9個(gè)數(shù)的積為××1×2×4×8×16×32×64=643,所以,每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字積為64,得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f分別為, 2,4中的某個(gè)數(shù),推得x=8.20.2 提示:這兩個(gè)三數(shù)組在適當(dāng)?shù)捻樞蛳聦?duì)應(yīng)相等,于是可以斷定,a+b與a中有一個(gè)為0, 與

17、b中有一個(gè)為1,再討論得a=-1,b=1.21.(1)222;(2)444=4256>444; (3)設(shè)所用數(shù)字為a,可得下面4種寫(xiě)法: 當(dāng)a=1時(shí),111最大;當(dāng)a=2時(shí),222最大;當(dāng)a=3時(shí),333最大;當(dāng)a4時(shí),a最大.22.由題意設(shè)輸出數(shù),設(shè)C(m,n)為k,則C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,1)=2C(m-1,1). (1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=2m-1C(1,1)=

18、2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.毛提高訓(xùn)練1若，則=_ （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）2符號(hào)“”表示一種運(yùn)算，他對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果是：（1），（2），利用以上規(guī)律計(jì)算：_ （貴陽(yáng)市中考題）3等于（ ）A B C D （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4 的值為（ ）A B C D (江蘇省競(jìng)賽題)5自然數(shù)滿足，則等于（ ）A B C D （北京市競(jìng)賽題）6是互不相等的正整數(shù)，且，那么的值是（ ）A30 B32 C34 D36 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7已知，且求的值（北京市迎春杯競(jìng)賽題）8已知、都不等于