必修5解三角形的應(yīng)用舉例

1、第2講 解三角形應(yīng)用舉例 知 識 梳理 1.已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b2.已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角3.已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況4.已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C5.方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成.正北或正南，北偏東&#

2、215;×度， 北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中OD、OE是視線，是仰角， 是俯角.7.關(guān)于三角形面積問題=ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB；2R2sinAsinBsinC.（R為外接圓半徑）；,；·,( r為ABC內(nèi)切圓的半徑) 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：熟練掌握正弦定理、余弦定理和面積公式，結(jié)合幾何性質(zhì)建模解決生活中的應(yīng)用

3、問題2.難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定3.重難點(diǎn)：熟練掌握解斜三角形的方法.，熟悉實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化的方法；（1）解三角函數(shù)應(yīng)用題要通過審題領(lǐng)會其中的數(shù)的本質(zhì)，將問題中的邊角關(guān)系與三角形聯(lián)系起來，確定以什么樣的三角形為模型，需要哪些定理或邊角關(guān)系列出等量或不等量關(guān)系的解題思路,然后尋求變量之間的關(guān)系，也即抽象出數(shù)學(xué)問題，問題1. 如圖，為了計算北江岸邊兩景點(diǎn)與的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取和兩個測量點(diǎn)，現(xiàn)測得， ，求兩景點(diǎn)與的距離（假設(shè)在同一平面內(nèi)，測量結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）解：在ABD中，設(shè)BD=x，則， 即整理得： 解之： ，（舍去）， 由正弦定理，得： , 11

4、(km). 答：兩景點(diǎn)與的距離約為11.km. （2）解三角函數(shù)應(yīng)用題要要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號語言等方式來思考解決問題；再次，討論對數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對照討論變量的性質(zhì)，從而得到的是數(shù)學(xué)參數(shù)值；最后，按題目要求作出相應(yīng)的部分問題的結(jié)論.問題2. 用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是和,已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一個條件，需要再有一邊長被確定，而EAC中有較多已知條件，故可在EAC中考慮EA邊長的求解，而在EAC中有角，EAC180°兩角與BDa一邊，故

5、可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根據(jù)正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb，答：氣球的高度是b. 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1:測量問題題型:運(yùn)用正、余弦定理解決測量問題 例1 (2007·山東) 如圖4-4-12，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？【解題思路】解決測量問題的過程先要正確作出圖形，把實(shí)際問題中的條件和所求轉(zhuǎn)換成三

6、角形中的已知和未知的邊、角.本題應(yīng)先利用求出邊長,再進(jìn)行進(jìn)一步分析.北甲乙解析如圖，連結(jié)，由已知，又，圖4-4-12是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）答：乙船每小時航行海里【名師指引】解三角形時，通常會遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個三角形中，此時應(yīng)直接利用正弦定理或余弦定理;已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.【新題導(dǎo)練】AB1甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西6

7、0o方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？解析：、解: ABDC此時,甲、乙兩船相距最近2在奧運(yùn)會壘球比賽前，C國教練布置戰(zhàn)術(shù)時，要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測速儀的顯示，通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣的布置，游擊手能不能接著球？（如圖所示） 解： 設(shè)游擊手能接著球，接球點(diǎn)為B，而游擊手從點(diǎn)A跑出，本壘為O點(diǎn)（如圖所示）.設(shè)從擊出球到接著球的時間為t，球速為v，則AOB15°，OBvt，。在AOB中，由正弦定理，得， 而，即sinOAB>1,這樣的OAB不存在，因此，游擊手不能接著球. 考點(diǎn)2 運(yùn)用正

8、、余弦定理解決與幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題題型:利用解三角形知識研究幾何圖形的性質(zhì)例2 （08上海高考）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）【解題思路】轉(zhuǎn)化條件,分析圖形建模.【解法一】設(shè)該扇形的半徑為r米. 由題意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=4分在中，6分即.9分解得（米）. .13分【解法二】連接AC，作OHAC，交AC于H.2分由題意，得CD=500（米），AD=300（米），.4分

9、 AC=700（米）.6分.9分在直角 （米）. 13分【名師指引】解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖;（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解;（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.【新題導(dǎo)練】1.如圖，貨輪在海上以35公里/小時的速度沿方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為152o的方向航行為了確定船位，在B點(diǎn)處觀測到燈塔A的方位角為122o半小時后，貨輪到達(dá)C點(diǎn)

10、處，觀測到燈塔A的方位角為32o求此時貨輪與燈塔之間的距離A C B北北152o32 o122o2. （汕頭市金山中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)期中考試）為了立一塊廣告牌，要制造一個三角形的支架 三角形支架形狀如圖，要求，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米 為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時，BC長度為多少米？CAB解：如圖，設(shè)BC的長度為x米，AC的長度為y米，則AB的長度CAB為（y0.5）米 在ABC中，依余弦定理得： 即化簡，得 ，因此 方法一： 當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，即時，y有最小值 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 臺風(fēng)中心從A地以每小時2

11、0千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為（）A0.5小時B1小時 C1.5小時D2小時解析:設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30千米，APx，在ABP中PB2AP2AB22AP·AB·cosA，即302x24022x·40cos450化簡得x1x22（x1x2）2-4x1x2=400,|x1x220，即CD20故2在中，的平分線把三角形面積分成兩部分，則（ ） A B C D 解析： 的平分線把三角形面積分成兩部分, , 3如圖，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡

12、的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)B測得斜度為45°，假設(shè)建筑物高50m，設(shè)山對于地平面的斜度q，則cosq= . 解析 在ABC中，AB = 100m , ÐCAB = 15°, ÐACB = 45°-15° = 30°由正弦定理： BC = 200sin15°在DBC中，CD = 50m , ÐCBD = 45°, ÐCDB = 90° + q由正弦定理：Þcosq = .4如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度

13、和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈懸掛的高度h= ，才能使桌子邊緣處最亮.解 R=rcos，由此得 ，5.（08年韶關(guān)市二模） 某市電力部門在今年的抗雪救災(zāi)的某項(xiàng)重建工程中，需要在、兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測量A、B兩地距離. 現(xiàn)測量人員在相距的、兩地（假設(shè)、在同一平面上），測得，（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長度大約應(yīng)該是、距離的倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線？ 解：在中，由已知可得，所以，在中，由已知可得，由

14、正弦定理，在中，由余弦定理 所以， 施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長 .答：施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長 . 綜合拔高訓(xùn)練6. 在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。(1)求船的航行速度是每小時多少千米；(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠(yuǎn)？解 (1)在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30°，AC= (千米)在ACB中，CAB=30&#

15、176;+60°=90°(2)DAC=90°60°=30°sinDCA=sin(180°ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30°)=sinACB·cos30°cosACB·sin30° 在ACD中，據(jù)正弦定理得，答 此時船距島A為千米 7. 在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值 解 按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)B

16、AP=，DPA=，BDP=2，再設(shè)AB=a，AD=x，DP=x 在ABC中，APB=180°ABPBAP=120°，由正弦定理知 BP=在PBD中，, 0°60°，60°60°+2180°，當(dāng)60°+2=90°，即=15°時，sin(60°+2)=1，此時x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23 8. 在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？解析:設(shè)船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船