數(shù)學(xué)建模c題 輸油管道布置的優(yōu)化模型

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名

2、號(hào)的話(huà)）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：輸油管道布置的優(yōu)化模型摘要本模型遵從“保證工程質(zhì)量，節(jié)約建設(shè)費(fèi)用”的原則，針對(duì)共線(xiàn)與非共線(xiàn)兩種不同的管道鋪設(shè)方案，建立了優(yōu)化模型并求得最優(yōu)解，給出最優(yōu)管道鋪設(shè)方案及最

3、小費(fèi)用。在此基礎(chǔ)上，充分考慮城區(qū)和郊區(qū)有無(wú)附加費(fèi)用的情況，建立了優(yōu)化模型解決問(wèn)題二。再進(jìn)一步深化模型，考慮了因兩廠(chǎng)生產(chǎn)能力不同單位距離鋪設(shè)費(fèi)用不同，再進(jìn)一步深化模型，得出更符合實(shí)際的最佳布置方案及最少費(fèi)用。 針對(duì)問(wèn)題一：運(yùn)用非線(xiàn)性規(guī)劃將問(wèn)題分為有共用管線(xiàn)和無(wú)共用管線(xiàn)兩方面考慮，建立直角坐標(biāo)系，對(duì)于有共用管線(xiàn)的情況，建立二元函數(shù)模型，模型一： ，求解模型一，得到最優(yōu)解，為的變量，討論與的關(guān)系，并求出最優(yōu)值和最優(yōu)值點(diǎn)：。對(duì)于無(wú)共用管線(xiàn)，運(yùn)用三角形性質(zhì)求出最優(yōu)值和最優(yōu)點(diǎn)，分別為，。又考慮到共用管線(xiàn)和非共用管線(xiàn)的建設(shè)費(fèi)用不同，建立費(fèi)用模型：。將其代入中得到共用管線(xiàn)費(fèi)用最小值最優(yōu)值點(diǎn)（0，a）。非共用管

4、線(xiàn)費(fèi)用最小值為。經(jīng)過(guò)比較，最優(yōu)方案為共用管線(xiàn)時(shí)的最優(yōu)解并推廣模型，使得兩廠(chǎng)的非共用管線(xiàn)在費(fèi)用不同的情況下，也能求得最優(yōu)解。針對(duì)問(wèn)題二，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，充分考慮到城區(qū)的附加費(fèi)用，并通過(guò)對(duì)代表三家工程咨詢(xún)公司實(shí)力的四項(xiàng)指標(biāo)量化求出權(quán)向量，得出賦予了權(quán)值的附加費(fèi)用的期望值為21.3341萬(wàn)元。建立非線(xiàn)性規(guī)劃模型 使用LINGO得出最優(yōu)方案的兩點(diǎn)位置P(15,7.37),Q(5.4,1.86) 及相關(guān)費(fèi)用為283.34萬(wàn)元,作出管道最優(yōu)的鋪設(shè)圖。針對(duì)問(wèn)題三，在前兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)深化模型的構(gòu)建，考慮到兩家煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力和管道鋪設(shè)費(fèi)用的不同，進(jìn)一步建立優(yōu)化模型，確立非線(xiàn)性規(guī)劃表達(dá)式求出最優(yōu)解的兩個(gè)動(dòng)

5、點(diǎn)的最佳位置Q(6.73,0.14),P(15,7.28)及最省的總費(fèi)用萬(wàn)，作出管道最優(yōu)的鋪設(shè)圖。最后我們考慮到三個(gè)煉油廠(chǎng)，再次構(gòu)建模型，設(shè)定數(shù)值，求得三個(gè)煉油廠(chǎng)的最優(yōu)方案和最省費(fèi)用。使得模型更有實(shí)用性和普遍性。關(guān)鍵詞：管道鋪設(shè)費(fèi)用 二元函數(shù)極值 非線(xiàn)性規(guī)劃 優(yōu)化方案一、 問(wèn)題重述建立數(shù)學(xué)模型，科學(xué)的設(shè)計(jì)鋪設(shè)管線(xiàn)方案，在以下問(wèn)題的前提下使得建設(shè)費(fèi)用最?。?. 針對(duì)兩煉油廠(chǎng)到鐵路線(xiàn)距離和兩家煉油廠(chǎng)間距離的各種不同情形，提出的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線(xiàn)，應(yīng)考慮共用管線(xiàn)費(fèi)用與非共用管線(xiàn)費(fèi)用相同或不同的情況。2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠(chǎng)的體位置由附圖所示，其中

6、A廠(chǎng)位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠(chǎng)位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線(xiàn)用圖中的虛線(xiàn)表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線(xiàn)的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線(xiàn)還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢(xún)公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢(xún)公司公司一公司二公司三 附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）212420為設(shè)計(jì)院給出管線(xiàn)布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。3. 在該實(shí)際問(wèn)題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油

7、管。這時(shí)的管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。給出管線(xiàn)最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二、模型假設(shè)1.鋪設(shè)費(fèi)用包括材料費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)、勞務(wù)費(fèi)用等；2.管道拐角處的鋪設(shè)不增加額外費(fèi)用；3.鐵路線(xiàn)近似為一條直線(xiàn)；4.兩家煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力在最近一段較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)近似不變；5.該地區(qū)市場(chǎng)穩(wěn)定，在最近一段較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)鋪設(shè)費(fèi)用近似不變；三、符號(hào)定義a-A廠(chǎng)到鐵路的最短距離；b-B廠(chǎng)到鐵路的最短距離；-A、B兩廠(chǎng)到鐵路的兩條垂線(xiàn)之間的距離；-非共用管線(xiàn)的鋪設(shè)費(fèi)用；-共用管線(xiàn)的費(fèi)用與非共用管線(xiàn)費(fèi)用的比值；Q-在直角坐標(biāo)系

8、中的動(dòng)點(diǎn)；-不同鋪設(shè)管線(xiàn)方案的費(fèi)用；-附加費(fèi)用的期望值；P-直線(xiàn)x=15上的動(dòng)點(diǎn)，為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)；-城區(qū)段的鋪設(shè)總費(fèi)用、-甲級(jí)和乙級(jí)公司每項(xiàng)指標(biāo)的實(shí)力、-甲級(jí)公司和乙級(jí)公司的綜合實(shí)力，-甲級(jí)和乙級(jí)的評(píng)估能力的權(quán)值；-矩陣A的權(quán)向量。-建設(shè)管線(xiàn)的總費(fèi)用-A、B兩廠(chǎng)非共用管線(xiàn)的費(fèi)用；四、問(wèn)題分析 綜合考慮三個(gè)問(wèn)題，不難發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由理論推導(dǎo)到實(shí)際應(yīng)用的思維過(guò)程，建模過(guò)程。 針對(duì)問(wèn)題一，首先為了求出三種不同情形的最短鋪設(shè)方案，即最經(jīng)濟(jì)方案，我們首先運(yùn)用一般的幾何知識(shí)，建立靜態(tài)優(yōu)化模型。然后根據(jù)共用管線(xiàn)的最優(yōu)解的不確定性，建立了優(yōu)化模型。最后，對(duì)同種條件下的共用管線(xiàn)和非共用管線(xiàn)進(jìn)行客觀(guān)

9、考慮，具體情況具體分析。 針對(duì)問(wèn)題二，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，我們結(jié)合前者的思想方法，并充分考慮到城區(qū)加權(quán)量化后的附加費(fèi)用，確定未知量，建立優(yōu)化模型。最終使用MATLAB得出最省方案，及相關(guān)費(fèi)用。針對(duì)問(wèn)題三，在前兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)深化模型的構(gòu)建，根據(jù)兩家煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力和管道鋪設(shè)費(fèi)用的不同，得到最優(yōu)解和最省費(fèi)用。進(jìn)一步推廣，考慮得到有三個(gè)煉油廠(chǎng)，在第三問(wèn)的求解基礎(chǔ)上，設(shè)定具體數(shù)值及條件，建立了更貼近實(shí)際的優(yōu)化模型，求解出最優(yōu)方案和相關(guān)費(fèi)用。五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題一對(duì)于共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的求解，我們根據(jù)a、b、之間的關(guān)系考慮到五種情形，運(yùn)用簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)建立靜態(tài)優(yōu)化模型和動(dòng)態(tài)的優(yōu)化模型。

10、 情況一（=0時(shí)）圖1 如圖1所示，A、B兩廠(chǎng)共線(xiàn)，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何定理可知，此時(shí)采用共用管線(xiàn)最為適宜，其中非公用管線(xiàn)長(zhǎng)度為|a-b|，共用管線(xiàn)的長(zhǎng)度為a或b。 鋪設(shè)費(fèi)用為： （1） 圖2情況二（>0,a=b時(shí)）：如圖2所示，線(xiàn)段AC與BD不共線(xiàn)，但距離相等。在非共用管線(xiàn)情形下，顯然，AB兩場(chǎng)到線(xiàn)段CD的中點(diǎn)的距離之和即為最優(yōu)解。此時(shí)輸油管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用為：在共用管線(xiàn)的情形下，在可行域內(nèi)確定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E（x,y）， 建立動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃： (2)求得該情形下的最優(yōu)解。在具體問(wèn)題中，將具體數(shù)據(jù)代入兩種方案，求得最終的最優(yōu)方案及相關(guān)費(fèi)用。情況三：圖3 如上圖所示，線(xiàn)段AC與BD不共線(xiàn)，且距

11、離不相等。在非共用管線(xiàn)情形下，A、B兩廠(chǎng)在鐵路線(xiàn)同側(cè)，過(guò)點(diǎn)A作垂線(xiàn)垂直于鐵路線(xiàn)，使得,連接交于點(diǎn)E,連接AE，AE=AE,顯然AB兩場(chǎng)到鐵路最短的距離即為點(diǎn)A與點(diǎn)B的連線(xiàn)（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）。又由于A(yíng)B=AE+BE，則如圖所示，AE+BE即為鋪設(shè)的最短距離，費(fèi)用也就最低。AB= AE+BE= 求得管道鋪設(shè)費(fèi)用 ： (3)在具體問(wèn)題中，可以將相關(guān)數(shù)據(jù)分別代入共用管線(xiàn)和非共用管線(xiàn)兩種方案，比較最終結(jié)果，得出最優(yōu)解。 但是該模型并未真正導(dǎo)出a,b,l的關(guān)系式，不能在代數(shù)式里得出選擇共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的確定區(qū)間所以，我們?cè)俅谓⒛Ｐ?，解決這類(lèi)問(wèn)題。圖4在共用管線(xiàn)的情形下，在可行域內(nèi)確定

12、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)O（x,y），建立動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，通過(guò)非線(xiàn)性規(guī)劃： (4)模型的再建立：由于所以我們建立直角坐標(biāo)系，重新構(gòu)建模型，題分為有共用管線(xiàn)和對(duì)于有共用管線(xiàn)的情況，建立二元函數(shù)模型。模型一：，又對(duì)模型一進(jìn)行微分求偏導(dǎo)，得到最優(yōu)解：，視為函數(shù)的未知量，討論與的關(guān)系，并求出最優(yōu)值和最優(yōu)值點(diǎn)，為。對(duì)于無(wú)共用管線(xiàn)，運(yùn)用三角形性質(zhì)求出最優(yōu)值和最優(yōu)點(diǎn)，分別為，。又考慮到共用管線(xiàn)和非共用管線(xiàn)的建設(shè)費(fèi)用不同，建立費(fèi)用模型：。將其代入模型二中得到共用管線(xiàn)費(fèi)用最小值最值點(diǎn)Q（0，a）。非共用管線(xiàn)費(fèi)用最小值為。最優(yōu)方案為共用管線(xiàn)時(shí)的最優(yōu)解。模型再建立與求解：圖5首先考慮A，B兩煉油廠(chǎng)之間沒(méi)有共用管線(xiàn)，建立直角坐標(biāo)系，如

13、上圖所示，建立模型。以非線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式： (5)求得最優(yōu)解，使得A，B到車(chē)站E的距離之和最小，如上圖所示： 進(jìn)一步討論：本模型假定A,B兩地建設(shè)費(fèi)用相等，AE+BE最小即取得最優(yōu)解。作A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，連接AB交x軸于E,連接AE，BE。在x軸上任意找一點(diǎn)F，連接A E,B E，由圖可知圖 E點(diǎn)為最優(yōu)解。a<b時(shí)，E在 a=b時(shí)，E在 a<b時(shí)，E在最優(yōu)解為EA+EB=最后得出，站點(diǎn)為。再次考慮A，B兩煉油廠(chǎng)有共用管線(xiàn)且它們的建設(shè)費(fèi)用相等，建立直角坐標(biāo)系并建立二元函數(shù)模型，如圖： 圖6模型一： (6)討論并求解：先令k=1，u=1對(duì)f求偏導(dǎo)： (7) (8)由 (9)解得兩個(gè)

14、駐點(diǎn)： =（) (10) = () (11)代入模型一: (12) (13)化簡(jiǎn)后，得出： (14) 由上式可知連續(xù)用MATLAB解出-=0不存在，所以,不相交。又取了任意兩組數(shù)來(lái)驗(yàn)證a1=6,b1=8,；得出:=21.4338, =15.6033;a2=5,b2=5,2=10.得出：=19.4338 , =13.6603,a3=9;b3=7;3=13;得出：=26.7639=19.7583程序求解見(jiàn)于附表有驗(yàn)證可見(jiàn)：恒小于，所以，點(diǎn)是最值點(diǎn)，帶入任意a,b,l都可求出和最短輸油管道的鋪設(shè)距離。對(duì)a，b，l進(jìn)行討論用matlab對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)： (15)將具體的a，b，l代入上試可求出最優(yōu)值作為未

15、知量，用的取值范圍求的的范圍。（I）a<b時(shí)，有實(shí)際情況可得：l=0時(shí)即x=0， ，最值點(diǎn)（0，a）。l>0時(shí)，因?yàn)?，所以因隨著單調(diào)遞減，=時(shí),最值點(diǎn) 。證明此模型適合無(wú)共用管線(xiàn)模型。 （II）a=b時(shí)， ， （16）（III）a<b時(shí)，運(yùn)用以上模型可得出結(jié)果?？紤]到非共用管線(xiàn)和共用管線(xiàn)的建設(shè)費(fèi)用不相等建立建設(shè)費(fèi)用模型： （17）代入得 （18）有試可知f隨l單調(diào)遞減。（I）a<b時(shí)，有實(shí)際情況可得：l=0時(shí)即x=0，l>0時(shí)，因?yàn)椋杂缮显嚳芍S著單調(diào)遞減，=時(shí)，無(wú)共用管線(xiàn)方案最優(yōu)方案的費(fèi)用：有共用管線(xiàn)方案最優(yōu)方案的費(fèi)用：經(jīng)過(guò)比較，選擇共用管線(xiàn)的方案。模型推廣

16、：本模型只考慮共用路線(xiàn)和不共用費(fèi)用不同的情況，但在現(xiàn)實(shí)中各廠(chǎng)的輸油管到聚合點(diǎn)的修建費(fèi)用受地形，人口等因素影響，因此各廠(chǎng)的非共用管線(xiàn)的建設(shè)費(fèi)用不同，考慮這一因素進(jìn)行建模，模型三：（19）有實(shí)際情況可知，設(shè)為各路段建設(shè)費(fèi)用的平均值。對(duì)模型三求偏導(dǎo)： （20） （21）由 （22）求出駐點(diǎn)，并求出極值。由于上述方程組的求解過(guò)于復(fù)雜，考慮到篇幅過(guò)多的問(wèn)題，正文中就不再進(jìn)行討論。如果給出相關(guān)的數(shù)據(jù)，可以通過(guò)獲得具體數(shù)據(jù)后解方程組來(lái)確定在費(fèi)用最小的情況下最優(yōu)建設(shè)費(fèi)用。5.2問(wèn)題二問(wèn)題的求解對(duì)于問(wèn)題二，由于三家工程咨詢(xún)公司的資質(zhì)和決策者的偏好不同，我們采用主觀(guān)賦權(quán)與客觀(guān)賦權(quán)相結(jié)合得出權(quán)值。根據(jù)工程咨詢(xún)公司的

17、資質(zhì)等級(jí)的四項(xiàng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1，我們將其中的任意兩項(xiàng)進(jìn)行權(quán)衡輕重：系數(shù)重要程度13前者稍微重要46前者重要些57前者較重要89前者很重要1/91/8后者稍微重要1/71/5后者重要些1/61/4后者較重要1/31后者很重要如上表格所示，得出矩陣后求得矩陣A的權(quán)向量 =0.0591 0.5481 0.2189 0.1739令19表示某等級(jí)下的公司每項(xiàng)指標(biāo)的實(shí)力。甲級(jí)和乙級(jí)公司每項(xiàng)指標(biāo)的實(shí)力分別為：=8 9 8 7=7 8 6 7再通過(guò)求和公式： （23）求得 甲級(jí)公司和乙級(jí)公司的綜合實(shí)力分別為： 8.3742，7.3292 。最終由 （24）求得甲乙兩公司的綜合實(shí)力，即評(píng)估能力權(quán)值:，。工程咨詢(xún)公司公

18、司一公司二公司三附加費(fèi)用（萬(wàn)元/千米）212420再由如上表格中的已知的三家公司的估測(cè)數(shù)據(jù)，由 （25）得出附加費(fèi)用的期望值： =21.6394（萬(wàn)元/千米）城區(qū)段的鋪設(shè)總費(fèi)用：（萬(wàn)元/千米）圖7然后構(gòu)造直角坐標(biāo)系如上圖所示，建立動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型。坐標(biāo)系上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P（15，n）在直線(xiàn)x=15上移動(dòng)，使得輸油管道鋪設(shè)從城區(qū)到郊區(qū)的距離盡可能的短。同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)在縱坐標(biāo)與直線(xiàn)x=15之間，使得除城區(qū)鋪設(shè)的管道外，費(fèi)用最省。由此可得線(xiàn)性規(guī)劃表達(dá)式： （26）經(jīng)LINGO求得該模型中有這樣的兩點(diǎn)P(15,7.37),Q(5.4,1.86)為最優(yōu)解。輸油管線(xiàn)的鋪設(shè)總費(fèi)用283.34萬(wàn)元 結(jié)

19、果的檢驗(yàn)圖8如上圖所示，我們?cè)阡佋O(shè)非共線(xiàn)管線(xiàn)的前提下建立一個(gè)只有動(dòng)點(diǎn)P(15, )的模型，確定非線(xiàn)性規(guī)劃表達(dá)式：s.t. （27）通過(guò)lingo求解，得到=7.2 ，總費(fèi)用=285.2426萬(wàn)元，大于已求得的最優(yōu)解。所以由兩動(dòng)點(diǎn)P、Q求得的結(jié)果最優(yōu)。圖9上圖即為鋪設(shè)的線(xiàn)路圖5.3問(wèn)題三 模型一對(duì)于問(wèn)題三，我們進(jìn)一步考慮各段的鋪設(shè)費(fèi)用不同的實(shí)際情況，依然在第二問(wèn)所建立的優(yōu)化模型上，考慮動(dòng)點(diǎn)位置的不確定性。通過(guò)非線(xiàn)性規(guī)劃，在可行域內(nèi)求得最優(yōu)解。 根據(jù)題意，A廠(chǎng)輸油非公用管線(xiàn)鋪設(shè)每千米5.6萬(wàn)元， B廠(chǎng)輸油管線(xiàn)的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，由線(xiàn)性規(guī)劃表達(dá)式： （28）通過(guò)lin

20、go求得最優(yōu)解為P(6.73,0.14),Q(15,7.28),總費(fèi)用萬(wàn)元。該問(wèn)是第二問(wèn)的深化模型，由第二問(wèn)的檢驗(yàn)可知，上述求解的結(jié)果是最優(yōu)方案，本處不再重復(fù)檢驗(yàn)。圖10如上圖，為第三題最優(yōu)解的最優(yōu)鋪設(shè)管線(xiàn)圖模型二：模型的再深化 模型的建立本身就是一個(gè)理想化的應(yīng)用模型，諸多因素被忽略與簡(jiǎn)化，隨著模型的建立后的再重建或再深化，才能具有更好的應(yīng)用價(jià)值與靈活性。模型一主要是對(duì)兩個(gè)工廠(chǎng)的最優(yōu)方案的求解，而現(xiàn)實(shí)中可能會(huì)有多個(gè)類(lèi)似的煉油廠(chǎng)或其它工廠(chǎng)需要求解出最優(yōu)解。于是，我們建立了第二個(gè)模型，進(jìn)行再深化探討，是的模型具有更大的實(shí)用價(jià)值。圖11 假設(shè)：在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在有三個(gè)煉油廠(chǎng)，為了城市的環(huán)保，只在

21、城市中建立一個(gè)煉油廠(chǎng)，其余兩個(gè)建在郊外，A、B兩個(gè)煉油廠(chǎng)位置不變，如上圖所示，以鐵路為x軸，點(diǎn)A到鐵路的垂線(xiàn)為y軸，該垂線(xiàn)到鐵路的點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)G坐標(biāo)為（6,6），動(dòng)點(diǎn)P為，輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.0萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米7.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米8萬(wàn)元，輸送G廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元。拆遷等附加費(fèi)用同上。經(jīng)確定的線(xiàn)性規(guī)劃表達(dá)式： （29）用lingo解得最優(yōu)解為P（8.89,1.95）Q（15,7.20），總費(fèi)用為263.0397萬(wàn)元。六、模型評(píng)價(jià)改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：1. 本文考慮了兩家煉油廠(chǎng)在鐵路同側(cè)的各種情況，并同時(shí)考量共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)兩類(lèi)方案，得出了問(wèn)題的僅含有數(shù)學(xué)符號(hào)一般解，

22、具有普遍性與推廣深化的可行性；2. 建立靜態(tài)的優(yōu)化模型，缺乏應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)情況的靈活性，而建立動(dòng)態(tài)的優(yōu)化模型雖然具有靈活性，但也不很全面，所以我們針對(duì)不同情況建立了動(dòng)靜不同的模型，通過(guò)對(duì)兩類(lèi)模型的考量，得出最優(yōu)解；3. 我們通過(guò)問(wèn)題的深入，逐步深化模型的建立與求解，是模型更具有現(xiàn)實(shí)性和可操作性，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)有價(jià)值與巨大的潛力；4. 在第三問(wèn)的基礎(chǔ)上，我們考慮到現(xiàn)實(shí)中可能多個(gè)煉油廠(chǎng)，所以我們求得了有三個(gè)煉油廠(chǎng)的最優(yōu)解，使得模型更具有實(shí)用性。缺點(diǎn)：雖然我們考慮到了諸多因素，某些因素未能考慮，需要進(jìn)一步研究，由于數(shù)據(jù)不足，所以這里不再深究。模型的改進(jìn) 1. 進(jìn)一步考慮三個(gè)煉油廠(chǎng)的不同位置，建立

23、新模型，使模型更具有可行性與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的普遍性。2. 考慮鐵路的彎曲問(wèn)題，建立新模型，使模型更具有可操作性。七、參考文獻(xiàn)1 韓中庚 , 綜合評(píng)價(jià)方法及其應(yīng)用 , 海南數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) ,2006。2 韓中庚 . 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用 . 北京：高等教育出版社， 2005。3 C. L. 戴姆 , E. S. 艾維著 , 數(shù)學(xué)構(gòu)模原理，海洋出版社， 1985。4 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，高等教育出版社， 2003。5 蕭樹(shù)鐵等，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社， 1999。6 韓明等，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，同濟(jì)大學(xué)出版社，2009。7 葉其孝主編，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材（三），長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，19988 2010-6

24、-49 八、附錄表附表：附件一（求偏導(dǎo)）：syms k u a b l x y z dx dy zx zy zxx zxy zyyz=k*(sqrt(x2+(y-a)2)+sqrt(x-l)2+(y-b)2)+k*u*yzx=diff(z,x),zy=diff(z,y),dz=zx*dx+zy*dy,zxx=diff(zx,x),zxy=diff(zx,y),zyy=diff(zy,y)結(jié)果：>>z=k*(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)+(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)+k*u*yzx=k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+

25、1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)zy=k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*y-2*b)+k*udz=k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)*dx+(k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*y-2*b)+k

26、*u)*dyzxx=k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)zxy=k*(-1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x*(2*y-2*a)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)*(2*y-2*b)zyy=k*(-1/4/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*(2*y-2*a)2+1/(x2+y2-2*y

27、*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*y-2*b)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)附件二:在極值點(diǎn)求X,Y值：clearsyms x y a b l k uf1=('k*(1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*x+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)*(2*x-2*l)=0');f2=('k*(1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)

28、*(2*y-2*b)+k*u=0');x,y=solve(f1,f2,x,y)>> W=simple(zyy) W = k*(-1/4/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*(2*y-2*a)2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*y-2*b)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2) 化簡(jiǎn)：>> E=simple(zxy) E = k*(-1/2/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x*(2*y-2*a)-1/4/(x2-2*x*l+

29、l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)*(2*y-2*b) >> R=simple(zxx) R = k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2)simple(R*W-E2)ans = k2*(b*x+a*l-a*x-l*y)2/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)ans =

30、 k*(-1/(x2+y2-2*y*a+a2)(3/2)*x2+1/(x2+y2-2*y*a+a2)(1/2)-1/4/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(3/2)*(2*x-2*l)2+1/(x2-2*x*l+l2+y2-2*y*b+b2)(1/2) （矩陣求權(quán)向量）A=1 1/5 1/4 1/3;8 1 2 6;4 1/2 1 2/3;3 1/6 2/3 1>>A= 1.0000 0.2000 0.2500 0.3333 8.0000 1.0000 2.0000 6.0000 4.0000 0.5000 1.0000 0.6667 3.0000 0.1667 0

31、.6667 1.0000>> b=a/sum(a)b = 0.0591 0.5481 0.2189 0.1739附件(第二問(wèn))min=7.2*(x12+(x2-5)2)(1/2)+7.2*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7.2*x2+28.5341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2<=5; x3<=8;endLocal optimal solution found. Objective value: 281.8612 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 79

32、Variable Value Reduced Cost X1 5.452634 0.000000 X2 1.851920 0.000000 X3 7.364094 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 281.8612 -1.000000 2 9.547366 0.000000 3 3.148080 0.000000 4 0.6359055 0.000000檢驗(yàn)min=7.2*(h+5)2+225)0.5+28.5341*(25+(8-h)2)0.5;h<=8;end Local optimal solution found. Object

33、ive value: 283.6966 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 44 Variable Value Reduced Cost H 7.193886 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 283.6966 -1.000000 2 0.8061138 0.000000三題min=5.6*(x12+(x2-5)2)(1/2)+6.0*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7.2*x2+27.3341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2&l

34、t;=5; x3<=8;end Local optimal solution found. Objective value: 251.1304 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 77 Variable Value Reduced Cost X1 6.736599 0.000000 X2 0.1368665 0.000000 X3 7.275038 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 251.1304 -1.000000 2 8.263401 0.000000 3 4.863134 0.000000 4 0.7249618 0.000000再建模型min=5*(x12+(x2-5)2)(1/2)+(x1-6)2+(x2-6)2)0.5+7*(x1-15)2+(x2-x3)2)(1/2)+7*x2+27.3341*(25+(8-x3)2)(1/2); x1<=15; x2<=5; x3<=8;endLocal optimal solution found. Objective value: 260.4119 Extended solver steps: 5 Total solver