等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1

1、1(1)naand()nmaanm d等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義：)2()(*1*1nNndaaNndaannnn且或mnpqmnpqaaaa(1) 等差數(shù)列等差數(shù)列8，5，2，的第，的第20項(xiàng)是項(xiàng)是 ；(2)等差數(shù)列等差數(shù)列-5，-9，-13，的第的第n項(xiàng)是項(xiàng)是 ；(3) 已知已知an為等差數(shù)列，若為等差數(shù)列，若a1=3，d= ，an=21， 則則n = ；(4) 已知已知an為等差數(shù)列，若為等差數(shù)列，若a10= ，d= ，則則 a3= .2532-4913613 23（5）在）在數(shù)列數(shù)列an中中a1=1，an= an+1+4，則，則a10= .-35復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固an = -5+(n-

2、1).(-4)填空題：填空題：an=-4n-1問(wèn)題問(wèn)題1 1:怎樣才能快速地計(jì)算出怎樣才能快速地計(jì)算出一堆鋼管有多少根？一堆鋼管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每層的根數(shù)先算出每層的根數(shù)-每層都是每層都是14根根!再計(jì)算層數(shù)再計(jì)算層數(shù)-共共5層層!所以共所以共(14 5)/2=35根根.問(wèn)題問(wèn)題2 2： 一個(gè)堆放鉛筆的一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最形架的最下面一層放一支鉛筆，往下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放多放一支，最上面一層放100支支.這個(gè)這個(gè)V形架上共放著形架上共放著多少支鉛筆？多少支鉛筆？

3、問(wèn)題就是問(wèn)題就是 求求“1+2+3+4+100=？” S=1 + 2+ 3+ +98+99+100 S=100+99+98+ + 3+ 2+ 1 2S=(1+100) 100=10100S=5050. 高斯 Gauss.C.F （17771855）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家問(wèn)題問(wèn)題3:3:求和求和:1+2+3+4+n=?記記:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1)1(2 nnS上述求解過(guò)程帶給我們什么啟示？上述求解過(guò)程帶給我們什么啟示？(1)所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)來(lái)表示；所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)來(lái)表示；(2)等差數(shù)列中任意

4、的第等差數(shù)列中任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。2)1( nnS問(wèn)題問(wèn)題4 4：設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公差為，公差為d，如，如何求等差數(shù)列的前何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閍1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 兩式左右分別相加，得兩式左右分別相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (

5、an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)變式：能否用變式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 2)(1naaSnn2) 1(1dnnnaSn 兩個(gè)公式的共同已知量是兩個(gè)公式的共同已知量是a1和和n, ,不同的已知量是不同的已知量是: :公式（公式（1 1）已知）已知an, ,公式（公式（2 2）已知）已知d 。 已知三個(gè)量就可以求出已知三個(gè)量就可以求出Sn ，我們要根據(jù)具體我們要根據(jù)具體題目，靈活采用這兩個(gè)公式。題目，靈活采用這兩個(gè)公式。 等差數(shù)列等差數(shù)列an的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公差為公差

6、為d，項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為數(shù)為n，第，第n項(xiàng)為項(xiàng)為an，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，請(qǐng)?zhí)钫?qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：寫(xiě)下表： a1dnan sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5 ;s,101a, 3a1a150501n求求）以以知知（中中，：在在等等差差數(shù)數(shù)列列例例 .s,21d, 3a2101求求）以知）以知（ 解：解：項(xiàng)項(xiàng)和和公公式式，得得）根根據(jù)據(jù)等等差差數(shù)數(shù)列列前前（n15021013Sn 2600 項(xiàng)項(xiàng)和和公公式式，得得）根根據(jù)據(jù)等等差差數(shù)數(shù)列列前前（n2212910310Sn 2105 求和求和 (1) 1+3+5+ +(2n-1) 例例2

7、2 ：例例題題解解析析2) 12(1nn（1）原式）原式=n2解：解：（2）10,6,2, 2, , （4n-14)1062 + 2 + +（4n-14)2)14410(nnnn1222（2）原式）原式=注意在運(yùn)用公式時(shí)，注意在運(yùn)用公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。 例例題題解解析析例例3：等差數(shù)列等差數(shù)列1010，6 6，2 2，2 2， 前前9 9項(xiàng)的和多少？項(xiàng)的和多少？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為解：設(shè)題中的等差數(shù)列為 an 則則 a1=10，5442899)10(9 S能用能用公式（公式（1）計(jì)算嗎？）計(jì)算嗎？ 應(yīng)用公式時(shí)，要根據(jù)題目的具體條件，靈應(yīng)用公式時(shí)，要根據(jù)題目的具

8、體條件，靈活選取這兩個(gè)公式活選取這兩個(gè)公式 。d=4,n=9例例題題解解析析 變式：變式：等差數(shù)列等差數(shù)列10，6，2，2，前多少項(xiàng)和是前多少項(xiàng)和是54 ？ 解解: 設(shè)題中的等差數(shù)列為設(shè)題中的等差數(shù)列為an, dnnnaSn2) 11 （ 得得 n2-6n-27=0 故故 n1=9, n2=-3(舍去）。舍去）。544 2)1(10 nnn 在等差數(shù)列的求和公式中，含有四個(gè)量，在等差數(shù)列的求和公式中，含有四個(gè)量，運(yùn)用方程的思想，運(yùn)用方程的思想，知三可求一知三可求一. . d= -4 設(shè)設(shè) Sn= 54,則則 a1= -10, 因此，等差數(shù)列因此，等差數(shù)列 10，6，2，2 前前9項(xiàng)和是項(xiàng)和是5

9、4。例例2 2 ：例例題題解解析析解：解： .,215,23,21,1naSadannn及求已知中在等差數(shù)列.2321) 1(,25223,11nana得由題意由,得, 2211na代入后化簡(jiǎn)得03072 nn3),(3101an從而舍去或所以 1.推導(dǎo)等差數(shù)列前推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的方法項(xiàng)和公式的方法三三.小結(jié)小結(jié)2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想例例3 3 例例題題解解析析解解在等差數(shù)列中,已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310,第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910,求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和. ,由題意得公差為設(shè)此等差數(shù)列為dan,910

10、310102010SSS910310219202031029101011dada. 6, 4,1da解得于是所以,124620421a15106291012410302221aaa即第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和為1510例例6.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中， (1)已知已知d=3,an=20,Sn=65, 求求a1和和n以及此數(shù)列的后以及此數(shù)列的后6項(xiàng)和；項(xiàng)和； (2) 已知已知an=11-3n,求求Sn. (3)已知已知a11=-1，求，求S21.備用備用:例例7. 已知一個(gè)等差數(shù)列的前已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前前20項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是1220，求其前，求其前n項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的