第2章§3 3.2　數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1、.3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的不等式及綜合問(wèn)題2理解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式難點(diǎn)根底·初探教材整理貝努利不等式定理閱讀教材P38P39“練習(xí)以上部分，完成以下問(wèn)題定理對(duì)任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有1xn1nx.在貝努利不等式中當(dāng)x0時(shí)，n為大于1的自然數(shù)，不等式形式將有何變化？【解】當(dāng)x0時(shí)，不等式將變成等式，即1xn1nx. 質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型貝努利不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)b>a>0，nN，證明：

2、ba1.【精彩點(diǎn)撥】由b>a>0，令1xx>0，利用貝努利不等式證明【自主解答】由b>a>0，知>1，令1xx>0，那么x1，由貝努利不等式1xn1nx，1xn1nx1n，故ba1.利用1x代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.再練一題1試證明>1與>nN【證明】由nN，n12.由貝努利不等式，得1>11.2由1得>1，故>.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式試證明：2n2>n2nN【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】1當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，左邊>右邊；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23

3、210，右邊329，所以左邊>右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立2假設(shè)當(dāng)nkk3且kN時(shí)，不等式成立當(dāng)nk1時(shí)，2k122·2k222k22>2k22k22k1k22k3k22k1k1k3因k3，那么k30，k1>0k22k1k12.所以2k12>k12.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)12知，原不等式對(duì)于任何nN都成立通過(guò)本例可知，在證明nk1時(shí)命題成立的過(guò)程中，針對(duì)目的k22k1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1，2，3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，

4、到達(dá)目的.再練一題2Sn1n>1，nN，求證：S2n>1n2，nN. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910039】【證明】1當(dāng)n2時(shí)，S221>1，即n2時(shí)命題成立2假設(shè)nk時(shí)命題成立，即S2k1>1.當(dāng)nk1時(shí)，S2k11>111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由12知，對(duì)nN，n2，S2n>1都成立.探究性問(wèn)題設(shè)fn1，由f11>，f3>1，f7>，f15>2，.1你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；2是否存在一個(gè)正數(shù)T，使對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有fn<T成立？并說(shuō)明理由【精彩點(diǎn)撥】找出數(shù)列1,3,7,15，的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列，1，2，的通項(xiàng)公式，猜測(cè)

5、一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明【自主解答】1數(shù)列1,3,7,15，的通項(xiàng)公式為an2n1；數(shù)列，1，2，的通項(xiàng)公式為an，猜測(cè)：f2n1>.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f211f11>，不等式成立假設(shè)當(dāng)nkk1，kN時(shí)不等式成立，即f2k1>，那么f2k11f2k1>f2k1>f2k1>.當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知，對(duì)任何nN原不等式均成立2對(duì)任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T，記mT1，那么m>T.由1知，f22m1>m，f22m1>T，這說(shuō)明，對(duì)任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n如可取假設(shè)中n為2m，使得fnT，不存在正數(shù)T，

6、使得對(duì)任意的正整數(shù)n，總有fn<T成立利用數(shù)學(xué)歸納法解決探究型不等式的思想是先通過(guò)觀察、判斷，猜測(cè)出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，否認(rèn)一個(gè)命題，只需找出一個(gè)反例即可.再練一題3假設(shè)不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論【解】當(dāng)n1時(shí)，>，那么>，a<26，又aN，取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明>.1n1時(shí)，已證2假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，>.當(dāng)nk1時(shí)，>.>，>0，>也成立由1，2可知，對(duì)一切nN，都有>，a的最大值為25.構(gòu)建·體系1用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2n5，nN成立時(shí)第二步歸納假設(shè)的正確寫法

7、是A假設(shè)nk時(shí)命題成立B假設(shè)nkkN時(shí)命題成立C假設(shè)nkk5時(shí)命題成立D假設(shè)nkk>5時(shí)命題成立【解析】由題意知n5，nN，應(yīng)假設(shè)nkk5時(shí)命題成立【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<fnn2，nN的過(guò)程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了A1項(xiàng)Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng)D2k項(xiàng)【解析】1.共增加2k項(xiàng)【答案】D3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立，起始值至少取A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，.n7，n取8，選B.【答案】B4用數(shù)學(xué)歸納法證明1<nnN，n>1時(shí)，第一步即證明不等式_成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910040】【解析】因?yàn)閚>1，所以第一步n2，即證明1<2成立【答案】1<25證明：1<2nN