熱學(xué)李椿章立源錢尚武習(xí)題解答氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律

1、第 三 章 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率和能量的統(tǒng)計(jì)分布律 3-1 設(shè)有一群粒子按速率分布如下：粒子數(shù)Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00 試求(1)平均速率V；（2）方均根速率（3）最可幾速率Vp 解：（1）平均速率：(m/s) (2) 方均根速率(m/s)3-2 計(jì)算300K時(shí)，氧分子的最可幾速率、平均速率和方均根速率。解：3-3 計(jì)算氧分子的最可幾速率，設(shè)氧氣的溫度為100K、1000K和10000K。解：代入數(shù)據(jù)則分別為：T=100K時(shí) T=1000K時(shí) T=10000K時(shí) 3-4 某種氣體分子在溫度T1時(shí)的方均根速率等于溫度T2時(shí)的平均速率，求T2/T1。解

2、：因 由題意得： T2/T1=3-5 求0時(shí)1.0cm3氮?dú)庵兴俾试?00m/s到501m/s之間的分子數(shù)（在計(jì)算中可將dv近似地取為v=1m/s） 解：設(shè)1.0cm3氮?dú)庵蟹肿訑?shù)為N，速率在500501m/s之間內(nèi)的分子數(shù)為N，由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑?N= Vp2= ，代入上式 N=因500到501相差很小，故在該速率區(qū)間取分子速率V=500m/s，又 V=1m/s（=1.24）代入計(jì)算得：N=1.86×103N個(gè)3-6 設(shè)氮?dú)獾臏囟葹?00，求速率在3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)N1與速率在1500m/s到1510m/s之間的分子數(shù)N2之比。解： 取分子速率為V1=300

3、0m/s V2=1500m/s, V1=V2=10m/s由5題計(jì)算過(guò)程可得：V1=N2= N/N2=其中VP=m/s =1.375，=0.687 解法2：若考慮V1=V2=10m/s比較大，可不用近似法，用積分法求N1，N2 dN= N1= N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16題結(jié)果: N1= （1） N2=（）其中VP= 查誤差函數(shù)表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722將數(shù)字代入（）、（）計(jì)算，再求得：3-7 試就下列幾種情況，求氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：（1） 速率在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)（2）

4、 速度分量vx在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)（3） 速度分量vp、vp、vp同時(shí)在區(qū)間vp1.0vp1內(nèi)解：設(shè)氣體分子總數(shù)為N，在三種情況下的分子數(shù)分別為N1、N2、N3（1） 由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑?N=令v2=1.01vp，vi=vp，則，利用16題結(jié)果可得；查誤差函數(shù)表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468（2） 由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑毫睿?，利用誤差函數(shù)：（3）令，由麥?zhǔn)纤俣确植悸傻茫?-8根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)，計(jì)算足夠多的點(diǎn)，以dN/dv為縱坐標(biāo)，v為橫坐標(biāo)，作1摩爾氧氣在100K和400K時(shí)的分子速率分布曲線。 解：由麥?zhǔn)纤俾史植悸傻茫簩?3.14，N=NA=6.02&

5、#215;1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常數(shù)：A= （1）為了避免麻煩和突出分析問(wèn)題方法，我們只做如下討論：由麥?zhǔn)纤俾史植悸晌覀冎溃瑔挝凰俾蕝^(qū)間分布的分子數(shù)隨速率的變化，必然在最可幾速率處取極大值，極大值為：令則得又在V=0時(shí)，y=0，V時(shí)，y0又 T1=100KT2=400K 由此作出草圖3-9根據(jù)麥克斯韋速率分布律，求速率倒數(shù)的平均值。解：3-10一容器的器壁上開有一直徑為0.20mm的小圓孔，容器貯有100的水銀，容器外被抽成真空，已知水銀在此溫度下的蒸汽壓為0.28mmHg。（1） 求容器內(nèi)水銀蒸汽分子的平均速率。（2） 每小時(shí)有多少克水銀從小孔逸出？解

6、：（1）（2）逸出分子數(shù)就是與小孔處應(yīng)相碰的分子數(shù)，所以每小時(shí)從小孔逸出的分子數(shù)為：其中是每秒和器壁單位面積碰撞的分子數(shù)，是小孔面積，t=3600s，故，代入數(shù)據(jù)得： N=4.05×1019（個(gè)）3-11如圖3-11，一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強(qiáng)，分子數(shù)密度分別為p1、n1、p2、n2。兩部分氣體的溫度相同，都等于T。摩爾質(zhì)量也相同，均為。試證明：如隔板上有一面積為A的小孔，則每秒通過(guò)小孔的氣體質(zhì)量為：證明：設(shè)p1p2，通過(guò)小孔的分子數(shù)相當(dāng)于和面積為A的器壁碰撞的分子數(shù)。 從1跑到2的分子數(shù)： 從2跑到1的分子數(shù)：實(shí)際通過(guò)小孔的分子數(shù)：（從1轉(zhuǎn)移到2）因t=1秒，T1=T

7、2=T若P2P1，則M0，表示分子實(shí)際是從2向1轉(zhuǎn)移。3-12 有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1) 作速率分布曲線。(2) 由N和v0求常數(shù)C。(3) 求粒子的平均速率。解：（1） 得速率分布曲線如圖示（2）即 （3）3-13 N個(gè)假想的氣體分子，其速率分布如圖3-13所示（當(dāng)vv0時(shí)，粒子數(shù)為零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之間的分子數(shù)。（3） 求分子的平均速率。 解：由圖得分子的速率分布函數(shù)： () () f(v)= ()(1) (2) 速率在1.5V0到2.0V0之間的分子數(shù) 3-14 證明：麥克斯韋速率分布函數(shù)可以寫作： 其中 證明：3-15設(shè)氣體分子的

8、總數(shù)為N，試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為：（提示：速度的x分量在0到之間的分子數(shù)為）證明：由于速度的x分量在區(qū)間vxvx +dvx內(nèi)的分子數(shù)為：故在vx范圍內(nèi)的分子數(shù)為： 由題意：令利用誤差函數(shù)得：3-16 設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，試證明速率在0到任一給定值v之間的分子數(shù)為：其中，vp為最可幾速率。提示：證明：令 ，則由提示得：3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。 解：設(shè)總分子數(shù)N，速度分量vx大于2 vp的分子數(shù)由15題結(jié)果得：其中可直接查誤差函數(shù)表得：erf（2）=0.9952也可由誤差函數(shù)： erf（z）=將z=2代入計(jì)算得：erf（2）=0.97

9、523-18 設(shè)氣體分子的總數(shù)為N，求速率大于某一給定值的分子數(shù)，設(shè)（1）v=vp（2）v=2vp，具體算出結(jié)果來(lái)。解：（1）v=vp時(shí)，速率大于vp的分子數(shù)：利用16題結(jié)果：這里（2）v=2vp時(shí)，則速率大于2vp的分子數(shù)為：3-19 求速率大于任一給定值v的氣體分子每秒與單位面積器壁的碰撞次數(shù)。解：由18題結(jié)果可得單位體積中速率大于v的分子數(shù)為：在垂直x軸向取器壁面積dA，則速率大于v能與dA相碰的分子，其vx仍在0間，由熱學(xué)P30例題，每秒與單位面積器壁碰撞的速率大于v的分子數(shù)為： 3-20 在圖3-20所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，設(shè)鉍蒸汽的溫度為T=827K，轉(zhuǎn)筒的直徑為D=10cm，轉(zhuǎn)速為=2

10、00l/s，試求鉍原子Bi和Bi2分子的沉積點(diǎn)P到P點(diǎn)（正對(duì)著狹縫s3）的距離s，設(shè)鉍原子Bi和Bi2分子都以平均速率運(yùn)動(dòng)。解：鉍蒸汽通過(guò)s3到達(dá)P處的時(shí)間為：在此時(shí)間里R轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為： 代入數(shù)據(jù)得：3-21 收音機(jī)的起飛前機(jī)艙中的壓力計(jì)批示為1.0atm，溫度為270C；起飛后壓力計(jì)指示為0.80atm，溫度仍為27 0C，試計(jì)算飛機(jī)距地面的高度。 解：根據(jù)等溫氣壓公式： P=P0e - 有In = - H = - In 其中In =In = -0.223，空氣的平均分子量u=29.H= 0.223× =2.0×103(m)3-22 上升到什么高度處大氣壓強(qiáng)減為地面的75

11、%？設(shè)空氣的溫度為0 0C. 解：由題意知： =0.75 故H = -In 代入數(shù)據(jù)得：H =2.3×103(m)3-23 設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為t=5.0 0C,海平面上的氣壓為P0=750mmHg,令測(cè)得某山頂?shù)臍鈮篜=590mmHg,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97. 解：H = - In 代入數(shù)據(jù)得：H=2.0×103(m)3-24 根據(jù)麥克斯韋速度分布律，求氣體分子速度分量vx的平均值，并由此推出氣體分子每一個(gè)平動(dòng)自由度所具有的平動(dòng)能。 解：（1） x= -vx2f(vx)dv x =2 0vx2( ) e - vx2dv x = v -1p 0vx2

12、 e - vx2dv x查熱學(xué)附錄3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子總的平動(dòng)能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可見，氣體分子的平均動(dòng)能按自由度均分，都等于 KT.3-25 令= mv2表示氣體分子的平動(dòng)能，試根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明，平動(dòng)能在區(qū)間+d內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：f()d= (KT) -3/2 e-/KTd 根據(jù)上式求分子平動(dòng)能的最可幾值。 證明：（1） f(v)dv =4( )3/2e v2v2dv = (KT) -3/2( v2)1/2e-mv2/2KTd( ) = mv2 故上式可寫作： F()d= (KT)

13、-3/2 e -/KTd(2) 求最可幾值即f()為極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值。 = (KT) -3/2 e -/KT(- )+e- - = (KT) -3/2e - ( - - /KT)=0 - - =0 得: p = = 3-26 溫度為27 0C時(shí)，一摩爾氧氣具有多少平動(dòng)動(dòng)能？多少轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能？ 解：氧氣為雙原子氣體，在T=300K下有三個(gè)平動(dòng)自由度，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。 由能均分定理得： = RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J) 3-27 在室溫300K下，一摩托車爾氫和一

14、摩爾氮的內(nèi)能各是多少？一克氫和一克氮的內(nèi)能各是多少？ 解：U氫= RT =6.23×103(J) U氮= RT =6.23×103(J) 可見，一摩氣體內(nèi)能只與其自由度（這里t=3,r=2,s=0）和溫度有關(guān)。 一克氧和一克氮的內(nèi)能： U= U氫= = = 3.12×103(J) U氮= = = 2.23×103(J)3-28 求常溫下質(zhì)量為M=3.00g 的水蒸氣與M=3.00g的氫氣的混合氣體的定容比熱 解：設(shè)Cv1 、Cv2 分別為水蒸氣和氫氣的定容比熱，Cv1 、Cv2分別為水蒸氣和氫氣的定容摩爾熱容量。在常溫下可忽略振動(dòng)自由度，則有： Cv1=

15、 R =3R Cv1= = Cv2= R =2.5R Cv2= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK)3-29 氣體分子的質(zhì)量可以由定容比熱算出來(lái)，試推導(dǎo)由定容比熱計(jì)算分子質(zhì)量的公式。設(shè)氬的定容比熱Cv = 75CalKg-1K-1,求氬原子的質(zhì)量和氬的原子量. 解：（1）一摩爾物質(zhì)定容熱容量為：Cv =ucv,對(duì)理想氣體來(lái)說(shuō)： Cv = (t+r+2s)R 分子質(zhì)量m = = = (t+r+2s)R = (t+r+2s) (Cv=75cal/kgk) (2) 氬是單原子分子，故Cv = R =3(Cal/molK) 故氬的原子量u= = 4.0×10-2(Kg/mol) 分子質(zhì)量m= = 6.6×10-26(K