點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用

1、點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用廣西南寧外國語學(xué)校 隆光誠（郵政編碼530007） 圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。 若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理 在雙曲線（0，0）中，若直線與

2、雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則有，得又同理可證，在雙曲線（0，0）中，若直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.典題妙解例1 已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).（1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；（2）若P恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線的方程.解：（1）焦點(diǎn)在y軸上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由得：，整理得：所求的軌跡方程為（2） P恰為弦AB的中點(diǎn)，由得：即直線的方程為，即例2 已知雙曲線與點(diǎn)（1）斜率為且過點(diǎn)P的直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是否存在過點(diǎn)P的弦AB，使得AB

3、的中點(diǎn)為P？（3）試判斷以為中點(diǎn)的弦是否存在.解：（1）直線的方程為，即由得直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，得解之得：且的取值范圍是（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)存在過點(diǎn)P的弦AB，使得AB的中點(diǎn)為P，則由得：由（1）可知，時(shí)，直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，存在這樣的弦.這時(shí)直線的方程為（3）設(shè)以為中點(diǎn)的弦存在，則由得：由（1）可知，時(shí)，直線與C沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)以為中點(diǎn)的弦不存在.例3 過點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，已知（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為.由平行四邊形法則知：，即Q是線段OP的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由得：，整理得

4、：配方得：.點(diǎn)P的軌跡方程是，它是中心為，對稱軸分別為軸和直線的雙曲線.例4. 設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn)，以拋物線的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線 （）試求雙曲線C的方程； （）設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求； （）對于直線，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線 (為常數(shù))對稱，若存在，求出值；若不存在，請說明理由解：（）由得，拋物線的頂點(diǎn)是，準(zhǔn)線是.在雙曲線C中，. 雙曲線C的方程為.（）由得：.設(shè)，則. （）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則是線段AB的垂直平分線. 因而，從而. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.由得：，. 由得：.由、得：.由得：，.又由

5、得：直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，0，即6，且. 符合題意的的值存在，.金指點(diǎn)睛1. (03全國)已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 2.（02江蘇）設(shè)A、B是雙曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn).（1）求直線AB的方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么？3. 已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn). （1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡; （2）若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn)，求直線的方程和弦AB的長.4、雙曲線C的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，

6、以拋物線的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的值.參考答案1. 解：在直線中，時(shí)，. 由得.又由得.故答案選D.2. 解：（1），焦點(diǎn)在上. 由得：，.所求的直線AB方程為，即.（2）設(shè)直線CD的方程為，點(diǎn)在直線CD上， ，.直線CD的方程為.又設(shè)弦CD的中點(diǎn)為，由得：，即.由得.點(diǎn)M的坐標(biāo)為.又由得.由兩點(diǎn)間的距離公式可知：.故A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.3. 解：（1），焦點(diǎn)在上. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.若直線的的斜率不存在，則軸，這時(shí)直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，不合題意，故直線的的斜率存在.由得：，整理，得：.點(diǎn)M的軌跡方程為.（2）由得：，.所求的直線方程為，即.由得，解之得：. 4. 解：（1）在橢圓中，焦點(diǎn)為.在拋物線中，準(zhǔn)線為.在雙曲線中