一元二次方程知識點(diǎn)的總結(jié)

1、一元二次方程知識點(diǎn)的總結(jié)知識結(jié)構(gòu)梳理(1)含有個(gè)未知數(shù)。J (2)未知數(shù)的最高次數(shù)是1 1、概念 1 (3)是方程。(4) 一元二次方程的一般形式是 。(1) 法，適用于能化為 x m)2 n n 0 的一元。二次方程(2) 法，即把方程變形為 ab=0的形式，2、解法(a, b為兩個(gè)因式),則a=0或法(4) 法，其中求根公式是 c當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。I (5) J當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng) 時(shí)，方程有沒有的實(shí)數(shù)根。I可用于解決實(shí)際問題的步驟可用于解某些求值題I 一元二次方程的應(yīng)用知識點(diǎn)歸類考點(diǎn)一 一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)

2、的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是 2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于X的方程，哪些是一元二次方程？2CO 23 ； x 6x 0 ； (3) Jx x 5 ； (4) x 0 ； (5) 2x(x 3) 2x 1x 5考點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0 (a, b, c是已知數(shù)，a 0)。其中a, b,c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：(1)二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號。(2

3、)要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把 它先化為一般形式。(3)形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程， 當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)是一元二次方程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。一、27-2(1)5x2x；(2)x 2 x 38 ;(3) 3x4 x 3x 22一2 c例2已知關(guān)于x的方程 m 1 xm 2 m 1 x 2 0是一元二次方程時(shí)，則 m 考點(diǎn)三解一元二次方程的方法2使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)x 2時(shí)，x2 3x 2 0所以x 2是x2 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次

4、方程的根。法一直接開平方法解一元二次方程ja,這種解一元二次方程2右x a a 0 ,則x叫做a的平方根，表不為 x的方法叫做直接開平方法。2(1 ) xa a 0 的解是xx Jn m ； (3) mx n 2 c例用直接開平方法解下列一元二次方程2(1) 9x 160 ；(2) x 5Va ；(2) x m 2 nn 0 的解是c nm 0,且c 0的解是x 。m22160 ；(3) x 5 3x 1法二配方法解一元二次方程時(shí)， 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方， 配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二

5、次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程x2px q 0 ,當(dāng)對方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例用配方法解下列方程：(1) x26 x 50； x2 x 202法三因式分解法如果兩個(gè)因式的積等于 0,那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0,即若pq=0時(shí)，則p=0或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程的右邊化為 0; (2)將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。 (3)令每個(gè)因式分別為 0,得兩個(gè)一元一次方程。(4)解這兩 個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為 0; （2）熟練

6、掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有: 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：(1) 5x24x2(2x23)250;(3)26x 95 2x 。法四公式法次方程ax2 bx c 0 a0的求根公式是:b b2 4ac2a用求根公式法解次方程的步驟是:（1）把方程化為ax2bx0的形式,確定的值a,b.c （注意符號）2.2；（2）求出b 4ac的值；（3）若b4ac0,則a,b.把及b2 4ac的值代人求根公式b .b2 4ac2a '求出x1, x2。例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1(2) 2x x22210 ；(3) xx 250

7、技巧選擇適合的方法解次方程考點(diǎn)四二次方程根的判別式2x 8x 60 ； (3) x 2 (x 1)02次方程 ax bx c 0 a20根的判別式 A = b4ac運(yùn)用根的判別式,不解方程，就可以判定二次方程的根的情況:(1) = b24ac > 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2) = b24ac =0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3) = b24ac < 0方程沒有實(shí)數(shù)根;利用根的判別式判定次方程根的情況的步驟:把所有二次方程化為一般形式;直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知 數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是 0,左邊能分解因式；公式

8、法是由配方法推導(dǎo)而來的，要比配方法簡單。二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)， 再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法, 因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。二次方程:例 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸?-2 一一一2(1)2x 392x3；(2)2.2確定a,b.c的值；計(jì)算b 4ac的值；根據(jù)b 4ac的符號判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：(1) 2x23x 5 0 ; (2) 9x230 x 25 ； (3) x2 6x 10 0考點(diǎn)五根的判別式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 。中，(1)方程有兩個(gè)不相

9、等的實(shí)數(shù)根b2 4ac >0(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac=02.(3)方程沒有實(shí)數(shù)根b 4ac <0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。例 m為何值時(shí)，方程 2m 1x2 4mx 2m 3 0的根滿足下列情況：(3)沒有實(shí)數(shù)根;(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;考點(diǎn)六 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2b右x1, *2是一兀二次萬程 ax bx c 0 a 0的兩個(gè)根，則有x1 x2一，x1x2a根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：/ /、222 c1x1 x2(1)x1x2x1 x2

10、2x1x2(2) - x x2x-(3)(x1 a)(x2 a) x1 x2 a x1x2a2 ；(4)x1 x2 = v x1 x2 2 = v x1 x2 2 4x1x2例已知方程2x2 5x 30的兩根為x1,x2,不解方程，求下列各式的值。/ 、22(1)x1x2 ;2(2)為 x2 ?？键c(diǎn)七根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問題時(shí)，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān) 系(即列出方程)，然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例當(dāng)x取什么值時(shí)，代數(shù)式 x2 x60與代數(shù)式3x 2的值相等?強(qiáng)化練習(xí)一、選擇題1 . 一元二次方程x2=2x的根是()A、x=2

11、R x=0G x1=0, x2=2D> x1=0, x2= - 22 .將代數(shù)式x2+4x1化成（x+p） 2+q的形式（）A （x-2） 2+3 B、（x+2） 2 4 C、（ x+2） 2 5 D、（ x+2） 2+43 .方程x2- 4=0的解是（）A x=2 B x= - 2 C、x= ± 2 D x=± 44 .小華在解一元二次方程x2-x=0時(shí)，只得出一個(gè)根x=1,則被漏掉的一個(gè)根是（ ）A x=4 B x=3 C、x=2 D> x=05 .若方程式（3x-c） 2-60=0的兩根均為正數(shù)，其中c為整數(shù)，則c的最小值為 何？（）A 1 B 8C、16

12、 D 61一、一一 2一 一 一 216已知a是方程x+x1=0的一個(gè)根，則 的值為（）a 1 a aA. 1 1 B. 1 屋 C. - 1D.1227 .已知三角形的兩邊長是方程 x2 - 5x+6的兩個(gè)根，則該三角形的周長 L的取值 范圍是（）A. 1<L< 5 B. 2<L< 6 C . 5< L< 9D, 6VL<108 .方程（x+1） （x-2） =x+1 的解是（）A 2 B 3C、-1,2 D -1,39 .分三角形兩邊長分別為3和6,第三邊是方程x2-6x+8=0的解，則這個(gè)三角形 的周長是（）A 11 B 13 C、11或13 D

13、不能確定10一元二次方程（x 3） （x-5） =0的兩根分別為（）A、3, 5 B 、一 3, -5 C、一 3, 5 D、3, 5二、填空題1. （2011江蘇淮安，13, 3分）一元二次方程x2 4=0的解是.2. （2011江蘇南京，19, 6分）解方程x2-4x+1=0.3. （2011山東濟(jì)南，18, 3分）方程x2-2x=0的解為.4. （2011 泰安，21, 3 分）方程 2x2+5x 3 = 0 的解是:5. （2011山東淄博14, 4分）方程x2-2=0的根是 .6. （2011四川達(dá)州，10, 3分）已知關(guān)于x的方程x2 m>+n=0的兩個(gè)根是0和一3,貝U m=, n=.7. （2011浙江衢州，11, 4分）方程x2-2x=0的解為.8. （2011黑龍江省黑河，7 , 3分）一元二次方程 a2 - 4a - 7=0的解為（）。三、解答題1. （2011 江蘇無錫，20, 8 分）（1）解方程：x2+4x-2=0;2.（2011山東煙臺，19, 6分）先化簡再計(jì)算： 22x 2 0的正數(shù)根._x_ x 絲，其中x是一元二次方程x2 x xx3. （2011 清遠(yuǎn)，18, 5 分）解方程：x2-4x1 = 0.4. （2011湖北武漢，17, 6分