泰勒公式及其應(yīng)用1103

1、 泰勒公式及其應(yīng)用摘 要 文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)的展開式, 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿，本文針對(duì)泰勒公式的應(yīng)用討論了九個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)用泰勒公式求極限，證明不等式，判斷級(jí)數(shù)的斂散性，證明根的唯一存在性,函數(shù)的凸凹性，拐點(diǎn) ,求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,進(jìn)行近似計(jì)算,求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值,求行列式的值.中間值關(guān)鍵詞 泰勒公式；極限；不等式；斂散性；凸凹性；拐點(diǎn)；;展開式;近似計(jì)算;行列式.1 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似的表示為

2、簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)方面問(wèn)題的有力杠桿，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)上有一定的應(yīng)用，本文主要敘述其應(yīng)用，通過(guò)大量的例題進(jìn)行講解說(shuō)明。2 知識(shí)點(diǎn)定義2.1 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 =+（x-）+(x-+（x-+- (1)這里-為佩亞諾型余項(xiàng),稱(1)f在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變成, =+x+稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式，定義2.2 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, = +-+-+-+, （ 2 ） 這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見

3、函數(shù)的展開式： . .3 泰勒公式的應(yīng)用3.1 利用泰勒公式求極限為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開式來(lái)代替該項(xiàng),使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)捷地求出.例3.1求極限 . 分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和sinx, 分別用泰勒展開式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解： 由, 于是，3.2 利用泰勒公式證明不等式例3.2 在上，且，試證明證明： 任取，對(duì)任意，利用泰勒公式及其條件可得 （1） （2） （1）得 所以有 即 （3） 設(shè)，使 根據(jù)（3）及 0得 即 3.3 利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性例3.3 由于收斂，所以3.4 利用泰勒公式判斷函

4、數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn) 例3.4 ： 可得 例3.5 ？ 解： 因?yàn)椋?所以不是的拐點(diǎn)。 3.5 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,通過(guò)泰勒展開式：可以求得。 例3.6 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.解 ：由于，（n 1,2,3）所以的拉格朗日余項(xiàng)為 ， 顯見它對(duì)任何實(shí)數(shù)x，都有因而，所以有，。3.6 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例3.7 計(jì)算lg11的值,準(zhǔn)確到 解: 因?yàn)?，, 要使 取，故 例3.8 估計(jì)下列近似公式的絕對(duì)誤差： 解： 當(dāng)時(shí)，3.7 利用泰勒公式

5、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果f(x)泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例2.9設(shè) 求由得泰勒公式：可得：， ， 所以 3.8 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n階行列式 D= （1）解 記,按泰勒公式在z處展開：, （2）易知 （3）由（3）得, .根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.3.9 利用泰勒公式證明與某階導(dǎo)數(shù)的中間值 例3.11 ， ，證明：證明：=

6、+與3.10 利用泰勒公式解經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題 我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是不可缺的，在這里將以定積分為平臺(tái)，利用泰勒公式去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，例3.12 完全競(jìng)爭(zhēng)行業(yè)中某廠商的成本函數(shù)為STC=，假設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為66元， 求：（1）由于競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)供求發(fā)生變化，由此決定新的價(jià)格為30元，在心的價(jià)格下，廠商是否會(huì)發(fā)生虧損，如果會(huì)，最小的虧損額是多少？ 解： （1）由于市場(chǎng)供求發(fā)生變化，新的價(jià)格為27元，廠商是否發(fā)生虧損仍需要根據(jù)P=MC所決定的均衡產(chǎn)量計(jì)算利潤(rùn)為正還是為負(fù)，不論利潤(rùn)最大還是虧損最小，均衡條件都是P=MC， 成本函數(shù)為STC=，令=由泰勒公式我們知道，所以所以

7、 STC= 又因?yàn)?P=MC，即27= 所以因?yàn)?（1） （2）所以 4，616故 是利潤(rùn)最大或者最小的產(chǎn)量。利潤(rùn) 可見， 當(dāng) 價(jià)格為27元時(shí)，當(dāng)廠商生產(chǎn)量為1時(shí)，其最大盈利額為19 當(dāng)廠商生產(chǎn)量為4時(shí)，其發(fā)生虧損，最小虧損額為17參考文獻(xiàn)1陳傳章 金福林：數(shù)學(xué)分析（下）北京：高等教育出版社,1986.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學(xué)證題方法陜西：陜西科學(xué)出版社,1985.3王向東：數(shù)學(xué)分析的概念和方法上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1989.4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)【M】.北京：人民教育出版社,1999.5劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義【M】.北京：人民教育出版社,2000.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系

8、,數(shù)學(xué)分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.7張立民Visual Foxpro5.x中文版應(yīng)用技術(shù)手冊(cè)【M】大連：大連理工大學(xué)出版社,19978中文版Visual Foxpro3.0編程指南【M】西安：西安交通大學(xué)出版社,19979高鴻業(yè) 西方經(jīng)濟(jì)學(xué) 第三版 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社Some Equivalent Definitions and Applications of Convex FunctionName:liulei,StudentNumber:200725020221,Advisor:wangchunsheng AbstractThis paper briefly introd

9、uces the Taylor formula and the expansion of several common functions, Taylor formula of higher mathematics is a very important content, it will be some complex function approximation to express for simple polynomial function, this kind of change numerous for brief function, make it become analysis

10、and study other powerful levers mathematical problems for the Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylors formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, Function and convexity-concavity of inflection point , find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determin