滬教版九年級上冊 244 平面向量的運算 講義

1、主 題平面向量的運算教學內(nèi)容學習目標：1理解實數(shù)與向量相乘的意義，會畫實數(shù)與向量相乘所得的向量，會進行向量的線性運算和化簡算式；2知道向量加法、實數(shù)與向量相乘的有關運算律；3知道平行向量定理，知道向量的線性表示和向量的分解的意義互動：（此環(huán)節(jié)設計時間在4050分鐘）回顧上次課的預習思考內(nèi)容向量的加法和減法的運算方法是什么？怎么表示的？平行四邊形法則是怎么表示的？（任取兩個向量，作圖說明下）參考答案：向量的加法和減法的運算方法是三角形法則；如圖所示：任取兩個向量作圖思考：我們知道，那么 ？ ？即幾個相同的向量相加，是否能像幾個相同的數(shù)相加一樣呢？以上面問題作圖說明一下。參考答案：；如圖：作出，此

2、時，又由于與方向相同且故， 同理：類似的也可以有：注意：根據(jù)實數(shù)與向量相乘的意義畫圖后與學生共同歸納，,體會實數(shù)與向量相乘的幾何表示，初步感受到實數(shù)與向量相乘的積是一個與原向量平行的向量知識點歸納：一般的，設為正整數(shù)，為向量，我們用表示個相加；用表示個相加又當為正整數(shù)時，表示與同向且長度為的向量.在此基礎上規(guī)定向量的另一種新的運算，即實數(shù)與向量相乘的運算：為實數(shù)，為向量；如果，那么的長度；的方向：當時，與同方向；當時，與反方向。如果或，那么；根據(jù)實數(shù)與向量相乘的意義：練習： 如圖，矩形ABCD中，E、M、F、N 是AB、DC 的三等分點，設試用向量表示向量.參考答案：；思考：如圖，已知非零向量

3、，求作（1） （2）（3） （4） （5） （6）。觀察、比較（1）與（2），（3）與（4），（5）與（6）的結果，你有什么發(fā)現(xiàn)？參考答案：圖略；討論：通過前面的發(fā)現(xiàn)，討論總結一下實數(shù)與向量相乘運算的一般規(guī)律。注意引導實數(shù)變成一般字母的規(guī)律；同時注意讓學生體會實數(shù)為負數(shù)同樣成立的舉例驗證設為實數(shù)，為向量，則（1）實數(shù)與向量相乘的結合律：；（2）實數(shù)與向量相乘對于實數(shù)加法的分配律：；（3）實數(shù)與向量相乘對于向量加法的分配律：練習：1下面給出四個命題中不正確的是（ ）A對于實數(shù)和向量恒有：B對于實數(shù)、和向量，恒有C對于實數(shù)和向量，若，則有D對于實數(shù)和向量，若，則2計算：.3如果向量滿足關系式，試用

4、向量表示向量.參考答案：1C 3思考：若是非零向量，那么向量與有什么位置關系？答案：若m為正數(shù)，則 與同向，； 若m為負數(shù)，則 與反向，思考：如圖，在等腰梯形ABCD中，EF是梯形中位線，AD=2，BC=4，設,能將向量用向量表示出來嗎？參考答案： 且結合圖形可知與同向，與反向；又 備注：老師適當給出規(guī)范過程供學生模仿；討論：已知是非零向量，如果，那么能用表示出來嗎？答案：如果是非零向量，那么由可知 與同向或反向；設，得；當 與同向時，；當 與反向時， 如果，那么；平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一實數(shù)m，使.練習：1設非零向量，滿足，判斷向量，是否平行？2已知，其中是非零向量

5、，判斷向量，是否平行？參考答案：1平行； 2平行精選例題：（此環(huán)節(jié)設計時間在2030分鐘）例題1：我們把長度為1的向量叫做單位向量，通常用符號表示，模長表示為：，則下列說法錯誤的是（ ）A. 有無數(shù)個 B. 不同的單位向量，它們的方向不同C. 設是非零向量，且，則 D. 設是非零向量，且，則參考答案：C 備注：重點強調(diào)單位向量的概念；試一試：若向量與單位向量的方向相同，且，則_（用表示）參考答案：例題2： 如圖，已知兩個不平行的向量先化簡，再求作：（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）解：如圖：則為所求備注：老師注意總結引出以下概念：1向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算

6、叫做向量的線性運算.2如果是兩個不平行的向量，、是實數(shù)，那么叫做線性組合.例題3：如圖，梯形中， /，、是、的中點，若，那么用、的線性組合表示向量 解： 備注：注意已知向量和所求向量的方向，要求學生習慣性在圖中標出。試一試：在中，點 在邊 上，, , ，那 參考答案：討論：如圖，給定兩個不平行的向量，對于平面內(nèi)任意一個向量，都可以確定它關于的分解式嗎？ 參考答案：如圖，在平面內(nèi)取一點O，作 ，；再作直線OA、OB . 設點C 不在直線 OA和OB上，過點C分別作直線 OA、OB的平行線，由于向量不平行，可知所作兩直線分別與直線OB、OA 有唯一的交點，記為N、M. 作向量、. 因為，所以存在唯

7、一的實數(shù)，使 ； 因為，所以存在唯一的實數(shù)，使 . 而四邊形OMCN是平行四邊形，因此即 如果點 C 在直線OA或 OB上，那么或 .這時得 或所以關于、 的分解式總是確定的.備注：平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解.用上面的方法畫圖，可以作出這個向量在給定的兩個不平行向量的方向上的分向量.試一試：如圖，平行四邊形中，點、分別是邊、的中點，設，（1）分別求向量、關于、的分解式；（2）作出向量分別在、方向上的分向量（畫出圖形，寫出結論，不要求寫作法）答案：(1) ； ； ； (2)作圖略 課堂達標訓練：此環(huán)節(jié)設計時間在30分鐘左右（20分鐘練習10分鐘互動講解）。1已知兩

8、個不平行的向量，化簡并求作：參考答案： ；圖略2如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都是1,已知向量和的起點、終點都是小正方形的頂點.請完成下列問題：（1）設，判斷向量是否平行，說明理由；（2）在正方形網(wǎng)格中畫出向量：，并寫出的模（不需寫出做法，只要寫出哪個向量是所求向量）解：(1) (2) 圖略 .3如圖，已知，點A、G、B、C分別在和上， （1）求的值； （2）若，用向量與表示解：（1） (2) ， =4如圖，在中，點是邊的中點，. （1）求的長； （2）設，求向量（用向量、表示）. 解：（1）點D是邊AB的中點，又公共 ，即， （2）點是邊的中點， 課堂回顧：（此環(huán)節(jié)設計時間在510分鐘內(nèi)）讓學生回顧本節(jié)課所學的重點知識，以學生自我總結為主，學科教師引導為輔，為本次課做一個總結回顧課后作業(yè)：【鞏固練習】1如圖，在中，點是重心， 設向量，那么向量 （結果用、表示）2已知是的重心，設，那么= （用、表示）3如圖，梯形中， ，請用 向量表示向量 4在中，點 在邊 上，, , ，則 =5如圖，點E是平行四邊形ABCD邊BC上一點，且，點F是邊CD的中點，AE與BF交于點O