泰勒公式的推廣及某些應(yīng)515

1、泰勒公式的推廣及某些應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)專業(yè) 2012級(jí)屆 王杰摘 要: 目的推廣帶有皮亞諾(Peano)型余項(xiàng)的泰勒公式及應(yīng)用.方法應(yīng)用帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式.關(guān)鍵詞: 極限；泰勒公式；推廣；應(yīng)用中圖分類號(hào)：O172Some Application of Taylor formula and its extensionAbstract: In order to generalize Taylor formula with remainder item Peano and its application,the application of Taylor formula

2、 with the Peano form of the remainder was discussed in calculating . Key Words: limits; Taylor formula; extension; application目 錄1引言12 泰勒公式在實(shí)分析中的應(yīng)用22.1 泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用22.2 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用33 泰勒公式在復(fù)分析中的一個(gè)推廣43.1 預(yù)備知識(shí)53.2 主要公式及其推論63.3 主要公式的證明73.3 幾個(gè)常見(jiàn)解析函數(shù)的泰勒展式及簡(jiǎn)單應(yīng)用84 泰勒公式在兩函數(shù)的和、差、商的推廣95 結(jié)束語(yǔ)13參考文獻(xiàn)13致謝14泰勒公

3、式的推廣及某些應(yīng)用1引言泰勒公式有那些形式？為了方便我們研究和討論，在這我們先說(shuō)幾種. 定理1.1 設(shè)在點(diǎn)具有階導(dǎo)數(shù)，即存在，則存在的某個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，有 (1.1)我們稱為皮亞諾型余項(xiàng)，(1.1)式稱為帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式. 多項(xiàng)式 (1.2)稱作在處的泰勒多項(xiàng)式. 當(dāng)時(shí)，泰勒公式變成拉格朗日中值公式. (1.3) 在泰勒公式(1.2)中，如果取，則在0與之間因此可令，從而泰勒公式變成較簡(jiǎn)單的形式，即所謂麥克勞林(Maclauri)公式 (1.4)在泰勒公式(1.1)中，如果取，則有帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 （1.5）那么它在這方面有那些應(yīng)用？它又有什么推廣和應(yīng)用？我

4、們通過(guò)以下的幾個(gè)方面來(lái)深入探討和研究. 2 泰勒公式在實(shí)分析中的應(yīng)用泰勒公式是研究復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的極其有效的工具，在證明不等式、求函數(shù)極限、求近似值、判斷函數(shù)極值等方面有著廣泛的應(yīng)用.因此，關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用一直是人們研究的課題. 下面我們介紹泰勒公式的幾個(gè)應(yīng)用.2.1 泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用用泰勒公式證明不等式就是把所要證的不等式適當(dāng)變形,把其中的函數(shù)用此公式展開(kāi),再把展開(kāi)式右邊進(jìn)行放大或縮小,從而推證要證的不等式. 例2.1 當(dāng)時(shí)，證明不等式成立. 證明 由于故即 所以成立. 例2.2 設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù)，且證明. 分析 直接寫(xiě)出的泰勒展開(kāi)式，然后根據(jù)題意對(duì)展式進(jìn)行放縮. 證明 將在

5、點(diǎn)處展開(kāi)成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式得：2.2 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用當(dāng)極限為分式時(shí)，若分子或分母中只需展開(kāi)一個(gè)，那么只需把其展到另一個(gè)的同階無(wú)窮小的階數(shù)；若分子和分母都需要展開(kāi)，可分別展到其同階無(wú)窮小的階數(shù)，即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù). 當(dāng)極限不是為分式時(shí)，展開(kāi)的階數(shù)應(yīng)與函數(shù)中最高次冪相同. 例2.3 求分析 因?yàn)榉肿?、分母都需要展開(kāi)，比較一下分母為兩個(gè)函數(shù)的乘積，先展分母，再把分子展開(kāi)到分母的同階無(wú)窮小. 解 所以 故 通過(guò)上面的幾個(gè)例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函數(shù)的極限具有簡(jiǎn)潔、方便的作用，從而準(zhǔn)確、高效的解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題. 3 泰勒公式在復(fù)分析中的一個(gè)推廣泰勒公式在實(shí)

6、變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)中占有重要的地位，特別是在函數(shù)逼近論、求解微分方程、級(jí)數(shù)理論和估值等方面都有其重要的理論與應(yīng)用價(jià)值. 眾所周知，在數(shù)學(xué)分析中，泰勒公式大部分是在Lagrange中值公式的基礎(chǔ)之上推廣而提出的，并結(jié)合數(shù)學(xué)分析中的其它理論得到了帶有各種余項(xiàng)形式的泰勒公式.與此相比較，在復(fù)變函數(shù)中，泰勒公式是在冪級(jí)數(shù)理論部分中提出的，并且主要運(yùn)用柯西積分公式來(lái)證明的，也并沒(méi)有提及泰勒公式余項(xiàng)的問(wèn)題等.當(dāng)然，實(shí)變函數(shù)中的大部分中值公式是不能直接推到復(fù)變函數(shù)中的1，但在復(fù)分析中有Grace公式及其推廣與文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式等類似結(jié)論2.這些理論研究有其不同的研究重點(diǎn)，但是它們也是實(shí)分析中微分

7、中值公式很好的繼承與發(fā)展.基于這些理論和上面的分析比較，給本文公式的提出提供了理論支持和推理模式.本文就是在文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式的改進(jìn)基礎(chǔ)之上2，得出了本文中與實(shí)分析中的泰勒公式相類似的結(jié)論：設(shè)于內(nèi)解析，在上連續(xù)，連線含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有在實(shí)分析實(shí)變函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)時(shí)，要證明其余項(xiàng)趨于零.而在復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)時(shí)，卻不必要，要證明余項(xiàng)趨于零是非常困難與復(fù)雜的.鑒于此，本部分只形式地給出了余項(xiàng). 這也是部分結(jié)合實(shí)變函數(shù)的泰勒公式通過(guò)推理論證而得到的一個(gè)新結(jié)果. 3.1 預(yù)備知識(shí) 定義3.1 具備下列性質(zhì)的非空點(diǎn)集,稱為凸型區(qū)域，簡(jiǎn)稱凸域. （1）為開(kāi)集. （2）中任意兩點(diǎn)的

8、連線全在中. 定義3.2 區(qū)域加上它的邊界,稱為閉域，記為. 定義3.3 如果復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可微，則稱于區(qū)域可微.如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù). 區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，也稱為區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)或正則函數(shù).為了后面主要公式的證明，對(duì)參考文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式進(jìn)行了如下的改進(jìn)2： 引理3.1（Lagrange中值公式） 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,連線包含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有 證 （1）時(shí)，結(jié)論顯然成立. （2）時(shí)，設(shè)線段的方程為：作輔助函數(shù)由于內(nèi)解析,所以于上連續(xù),于上可導(dǎo)，從而與滿足實(shí)變函數(shù)的拉格朗日中值公式，也因此，分別，使 其中， ，整理即得結(jié)論. 證畢. 推論3.

9、1 設(shè)于凸域內(nèi)解析，則必存在兩點(diǎn)，有 注 對(duì)于推論1.1，結(jié)合定義1.1中的（2）中任意兩點(diǎn)的連線全在中，知凸域只是引理1.1中區(qū)域的特例，因此推論又可以敘述為：設(shè)于區(qū)域內(nèi)解析，中任意兩點(diǎn)的連線全在中，則，必存在兩點(diǎn)，有并且，通過(guò)推理過(guò)程，我們可以進(jìn)一步知到推論中所給出存在的兩點(diǎn)，可在所給出的任意兩點(diǎn)的連線上得到. 3.2 主要公式及其推論 定義3.4 設(shè)于內(nèi)解析，在上連續(xù)，連線含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有 推論3.2 設(shè)于凸域內(nèi)解析，則必存在兩點(diǎn)，有3.3 主要公式的證明 證明 （類似引理1.1的證明） （1）時(shí)，結(jié)論顯然成立. （2）時(shí)，設(shè)線段的方程為：. 作輔助函數(shù)則由于內(nèi)解析，所以于上

10、連續(xù)，于上可導(dǎo)，又由解析函數(shù)的無(wú)窮可微性，從而與滿足實(shí)變函數(shù)的泰勒公式，則分別，有從而， 其中，整理即為所證. 說(shuō)明 對(duì)于推論3.2，由凸域的定義3.1中（2）中任意兩點(diǎn)的連線全在中，知本公式的區(qū)域是公式3.1中區(qū)域的特例，從而可以按公式3.1直接證出. 在Grace公式的推廣3(文獻(xiàn)有詳細(xì)的敘述與論證)及其文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式等結(jié)論的研究與改進(jìn)的基礎(chǔ)之上2，結(jié)合實(shí)分析中的泰勒公式及其導(dǎo)出模式，形式地得到了解析函數(shù)在線段上的帶有余項(xiàng)的泰勒展式：給出這個(gè)的泰勒展式，在解某些題目時(shí)，便于簡(jiǎn)化問(wèn)題，使解題過(guò)程直觀易于理解. 3.3 幾個(gè)常見(jiàn)解析函數(shù)的泰勒展式及簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3.1 求函數(shù)在

11、平面的解析區(qū)域內(nèi)的線段上的泰勒展式(). 分析 我們已經(jīng)熟知在解析區(qū)域中的泰勒展式，又由于泰勒公式的唯一性，因此，可以只考慮展示的尾項(xiàng)，這是這種展開(kāi)式的關(guān)鍵. 解 因?yàn)樗?. 例3.2 求函數(shù)在平面的解析區(qū)域內(nèi)的線段上的泰勒展式(). 分析 我們可以結(jié)合實(shí)分析的泰勒展式及其本文中的公式，從而可以只考慮尾項(xiàng)，得到等的展式. 解 考慮尾項(xiàng)得到 例3.3 為解析函數(shù)的至少級(jí)零點(diǎn)，又為解析函數(shù)的級(jí)零點(diǎn)，則證 分析 本題的應(yīng)用關(guān)鍵在于，在所要求的區(qū)域充分小的情況下，我們可以保證鄰域中的任意點(diǎn)與的連線段含于其鄰域內(nèi)，從而在這些線段上有本文的泰勒公式成立，從而可以運(yùn)用這個(gè)公式，相對(duì)原來(lái)的解法直觀一些. 證

12、明 因與在的某鄰域內(nèi)解析，為的至少級(jí)零點(diǎn)，為的級(jí)零點(diǎn)，則在的某鄰域內(nèi)由于時(shí)，鄰域中的任意點(diǎn)與的連線段含于其鄰域內(nèi)，從而在這些線段上有： 所以有4 泰勒公式在兩函數(shù)的和、差、商的推廣如果對(duì)和在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)分別使用泰勒公式4.則有，將公式移項(xiàng)，得 (4.1) (4.2)問(wèn)題是，能否找到一個(gè)共同的，使得（4.1）（4.2）兩式的兩端經(jīng)四則運(yùn)算以后，分別得到如下幾個(gè)等式： (4.3) (4.4) (4.5) (4.6)事實(shí)上，（4.5）式不成立.因?yàn)槿魧ⅲ?.5）式右端取到一階導(dǎo)數(shù)，且令，怎應(yīng)有.現(xiàn)在取，,取，則，而二者不相等，即在內(nèi)找不到，使得（4.5）式成立. 下面證明(4.3)、(4.4)、（

13、4.6）式成. 定理 4.1 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，在間至少存在一點(diǎn)，使得（4.3）式成立. 證明 設(shè)，顯然滿足泰勒公式的條件，則有即移項(xiàng)并重新排序即得（4.3）式成立，證畢. 類似的，只要設(shè)，即可證明（4.4）式成立. 定理 4.2 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，且在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)處處不為零，則在之間至少存在一使得（4.6）式成立. 證明 設(shè)易知在內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，且：于是，經(jīng)反復(fù)使用柯西中值定理，有.這里在與之間，在與之間，在與之間，因而也在與之間 注意到,故有，于是,將與代入即得（4.6）使式，證畢. 若取，則定理4.2可化簡(jiǎn)為如下形式： (4.7) 例4.1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，試證明 證明 令，因?yàn)?所以，于是根據(jù)（4.7）式，有證畢. 結(jié)束語(yǔ) 根據(jù)題目特點(diǎn),靈適地運(yùn)用泰勒公式及其推廣,不斷加深對(duì)其理解與認(rèn)識(shí),對(duì)學(xué)習(xí)微積分學(xué)都十分有益. 希望本文對(duì)泰勒公式的部分總結(jié)和提出的泰勒公式與其相應(yīng)推論能有其廣泛的理論價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值. 參 考 文 獻(xiàn)1 鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論M. 北京:高等教育出版社，2003.2 潘韻淮. 解析函數(shù)的微分中值公式J. 四川師范