概率論基本公式

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計基本公式第一部分 概率論基本公式1、例：證明：2、對偶率：3、概率性率：(1) (2)（3）4、古典概型5、條件概率例：有三個罐子，1號裝有2紅1黑共3個球，2號裝有3紅1黑4個球，3號裝有2紅2黑4個球，某人隨機從其中一罐，再從該罐中任取一個球，（1）求取得紅球的概率；（2）如果取得是紅球，那么是從第一個罐中取出的概率為多少？6、獨立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B獨立。(2)伯努利概型如果隨機試驗只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗，即：P(A)=p, (0<p<1,p+q=1)相同條件獨立重復(fù)n次，稱之為n重伯努利試驗

2、，簡稱伯努利概型。伯努利定理： （k=0,1,2） 事件A首次發(fā)生概率為：例：設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，（1）進(jìn)行5次重復(fù)獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進(jìn)行了7次重復(fù)獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。第二章7、常用離散型分布（1）兩點分布：若一個隨機變量X只有兩個可能的取值，且其分布為： （0<p<1）則稱X服從處參數(shù)為p的兩點分布。特別地，若X服從參數(shù)為p的兩點分布，即：X0 1qp則稱X服從參數(shù)為01分布。其中期望E（X）=p,D(X)=p(1-p)（2）二項分布：若一個隨機變量X的概率分布由 （k=0,1,2）給

3、出，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為：Xb(n,p)（或B(n，p)其中，當(dāng)n=1時變?yōu)椋?（k=0,1）,此時為01分布。其期望E（X）=np，方差D(X)=n(1-p)（3）泊松分布：若一個隨機變量X概率分布為：則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為：,其中，稱為泊松流強度。泊松定理：在n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為,如果時，則對任意給定的k，有，這表明，當(dāng)n很大時，p接近0或1時，有（）。其期望方差相等，即：E(X)=D(X)= 。8、常用連續(xù)型分布（1）均勻分布：若連續(xù)隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布，記為XU(a,b)。其中，分布函數(shù)為：其

4、期望E（X）=，方差D(X)=。（2）指數(shù)分布：若隨機變量的概率為，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡記為Xe().其分布函數(shù)：其期望E(X)=,方差D(X)=.(3)正態(tài)分布：若隨機變量X的概率密度為，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為XN(, ),其中和（>0）都是常數(shù)。分布函數(shù)為：。當(dāng)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：定理：設(shè)其期望E(X)= ,D(X)= 。9、隨機變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機變量函數(shù)分布一般方法：先根據(jù)自變量X的所有可能取值確定因變量Y的所有可能值，然后通過Y的每一個可能的取值(i=1,2,)來確定Y的概率分布。（2）連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布方法：設(shè)已知

5、X的分布函數(shù)或者概率密度，則隨機變量Y=g(X)的分布函數(shù),其中，進(jìn)而可通過Y的分布函數(shù)，求出Y的密度函數(shù)。例：設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為，求隨機變量10、設(shè)隨機變量XN(,Y=也服從正態(tài)分布.即。11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布：XY PX=p PY= 1(2)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布：例：設(shè)隨機變量（X，Y）的密度函數(shù)求，D(X+Y).解：當(dāng)0x2時由，得：，當(dāng)x<0或x>2時，由，所以，同理可求得:； E(X)=,由對稱性同理可求得，E(Y)=7/6。因為E(XY)= 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y

6、)=,所以，=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、條件分布：若13、隨機變量的獨立性：由條件分布設(shè)A=Yy,且PYy>0,則：，設(shè)隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布概率為F（x,y），邊緣分布概率為，若對于任意x、y有：，即：，則稱X和Y獨立。14、連續(xù)型隨機變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量（X,Y）的概率密度為,邊緣概率密度函數(shù)為，則對于一切使>0的x,定義在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為：，同理得到定義在Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為：，若=幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨立。例：設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：，求（1）確定常數(shù)c；（2

7、）X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；（3）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)PYX;(5)條件概率密度函數(shù)；（6）PX<2|Y<115、數(shù)學(xué)期望：（1）離散型：（2）連續(xù)型：，因為并不是每一個函數(shù)都能積分，所以并非所有隨機變量都有數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)： E(CX)=CE(X) 設(shè)X,Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).例：10個人隨機進(jìn)入15個房間，每個房間容納的人數(shù)不限，設(shè)X表示有人的房間數(shù)，求E(X)(設(shè)每個人進(jìn)入房間是等可能的，且各人是否進(jìn)入房間相互獨立)附：二項分布b(n,p)和兩點分布b(1,p)的另一個關(guān)系，仍設(shè)一個實驗只有兩個結(jié)果：,且P(A)=p,現(xiàn)在將試驗獨立進(jìn)行n

8、次，記為n次試驗中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)，則，若記其中：16、方差：(1)(2)方差性質(zhì)：D(CX)=CD(X);若X.Y相互獨立，則：17、協(xié)方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特別，X,Y獨立時，有：cov(X,Y)=0.（2）協(xié)方差性質(zhì)：cov(X,X)=D(X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(C,Y)=0;cov(,Y)=隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系.(3)相關(guān)系數(shù),性質(zhì)：;若X和Y相互獨立，則=0，即X和Y不相關(guān)。若D(X)>0，D(Y)>0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a，b（），使：附注：設(shè)e=EY-(,稱為用來近似Y的均方差，則：設(shè)

9、D(X)>0，D(Y)>0,有：使均方誤差達(dá)到最小。18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X的期望E(X)=,方差D(X)=,則對于給定任意正數(shù)，有：19、大數(shù)定理：設(shè)隨機變量X,X,X相互獨立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，則對于任意>0,有：20、中心極限定理；（1）設(shè)隨機變量X,X,X相互獨立，服從同一分布，且， i=1,2,3，則：一個結(jié)論：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：設(shè)隨機變量X,X,X相互獨立，并且都服從參數(shù)為p的兩點分布，則對任意實數(shù)x，有：第二部分 數(shù)理統(tǒng)計21、由于樣本方差（或樣本標(biāo)準(zhǔn)差）很好的反應(yīng)總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）的信息，因此，當(dāng)方差未知時，常用去估

10、計，而總體標(biāo)準(zhǔn)差則常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S去估計。22、常用統(tǒng)計分布（1）分位數(shù)：設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F（x）,對給定的實數(shù)22、抽樣分布A、單正態(tài)總體抽樣分布（1）設(shè)總體則有：B、雙正態(tài)總體抽樣分布：23、參數(shù)估計點估計：，需要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)模?，然后觀察值：來估計，稱為的估計量，稱為的估計值，估計量和估計值統(tǒng)稱為點估計。設(shè)是未知參數(shù)的估計量，若,則稱為的無偏估計量，24、點估計常用方法（1）矩估計法：先求E（X）,得到一個E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把E(X)用代替即可。例：已知總體X的概率分布為求參數(shù)的矩估計。（2）最大似然估計：一般方法：a、寫出最大似然函數(shù)L(;或c、判斷并求出最大值點，在最大值點得表達(dá)式中，用樣本均值代入即得到參數(shù)的最大釋然估計值。25、假設(shè)檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)實際問題的要求，充分考慮和利用已知的背景知識，提出原假設(shè)及備擇假設(shè)；（2）給定顯著水平以及樣本容量n；（3）確定檢驗統(tǒng)計量U，并在原假設(shè)成立的前提下導(dǎo)出U的概率分布，要求U的分布不依賴于任何未知參數(shù)；（4）確定拒絕域，即依據(jù)直觀分析先確定拒絕域形式，然后根據(jù)給定的顯著性水平和U的分布，由P拒絕|為真=，確定拒絕域的臨界值，從而確定拒絕域W；（5）做一次具體抽樣，根據(jù)得到的樣本觀察值和所得的拒絕域，對假設(shè)做出拒絕或接受的判斷。例：水泥