極限的解法與技巧匯總

1、精品極限的求法與技巧極限是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有效的工具。以下列舉種方法，并附有例題。1.運(yùn)用極限的定義例：用極限定義證明：2.xlim 3x 2 1x 2證：由3x2感謝下載載則當(dāng)0時(shí)，就有x23x2x2由函數(shù)極限定義有:x23x2limx2x22.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限預(yù)備知識(shí)：若數(shù)列an收斂，則a為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M ,使得對(duì)一切正整數(shù)n,有an此方法的解題程序?yàn)?1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列an單調(diào)有界;2、設(shè)an的極限存在，記為limanA代入給定的表達(dá)式中，則該n式變?yōu)锳的代數(shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。例：若序列an的項(xiàng)滿足a1a(a0)且am-,(n1,2,),

2、an試證an有極限并求此極限。解由a1石1a2a12aa12a1aa1ai用數(shù)學(xué)歸納法證明ak需注意akakaak2akakakanananaan2ana2anan為單調(diào)減函數(shù)且有下界。令其極限為由anan更有:anlimannanana2(A0)從而limnan3.利用等價(jià)無(wú)窮小替換常用的等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系:x0,sinxx,arctanxn1x1tanxx,arcsinxX,1一X,nexX,lOga(1x)xlnaax1xlna,1,1x12X，(1x)1x,in(ix)x,等價(jià)無(wú)窮小代換法設(shè)，都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有：，lim-r存在，則lim也存在，且有l(wèi)im=lim例:求極限

3、21cosxlim1222x0xsinx解：sinx2-x2,/221cosx2222(*)1 cosx21lim-%=%丁2 222x0xsinxxx2注：在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)階數(shù)”可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后,往往改變了它的無(wú)窮小量之比的4.利用極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：lim g(x) A Bx 5若limf(x)Alimg(x)Bxxoxxo(I) limf(x)g(x)limf(x)xx)xxo(II) limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxxoxxxo(III)若Bo貝U:l3XX。

4、g(x)limf(x)xxolimXx0g(x)(IV)limcf(x)xx)上述性質(zhì)對(duì)于x,x總的說(shuō)來(lái),差、積、商例：求解:limf(x)xxo就是函數(shù)的和、差、2x3x5limx2x4x23x5limx2x42232cA（C為常數(shù)）時(shí)也同樣成立積、商的極限等于函數(shù)極限的和、5、利用兩個(gè)重要的極限（Y11x(B)lim(1-)xxx但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(A)limsin(x)(x)1,(x)0)(B)lim(1(x)e,(x)例：求下列函數(shù)極限ax1啊丁lncosax(2)、limx0lncosbx解：（1）令axu,則x1n(1u)于是lnaulnaln(1u)又當(dāng)x故有：lim

5、o訓(xùn),uax1x0.ulnalimu0ln(1u).lnalimu0ln(1u)ulimlnau0ln(1u)(2)、原式lim1n(1(cosax1)x0ln1(cosbx1)limln(1(cosax1)cosbx1x0cosax1cosax1ln1(cosbx1)cosbx1cosbx1lim0cosax12sin2xlim2x02sin2bx22asin-x2_a2b2(-x)2(-x)2lim2x02b,a2sin-x(-x)22b2(x)2b2-2a6.利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這

6、種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚?。?limnn1n11-nsin-.nnlimnn1.1sin一n=limn.1sinn=limnn1sinQ1=limn.1sinn1例：求極限limxa1sinx.sina解limxasinsin=limxasinxsinasina=limxaxa.x2cossin22sina1sinacosaxacosasina=limxa2cosasin-a2sinasinacosa(xa)cosasina=limxaxa2cosasin2sinasinacosa(xa)ctga=ectgasin7、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。(I)若：limf(x)則limf(x)(I

7、I)若：limf(x)0且f(x)R則lim，f(x)例：求下列極限lim-lim-xx5x1x11解：由lim(x5)故limxxx51由lim(x1)0故lim=x1x1x18.變量替換例求極限分析當(dāng)時(shí),分子、分母都趨,不能直接應(yīng)用法則,注意到,故可作變量替換.解原式=（令精品感謝下載載引進(jìn)新的變量,將原來(lái)的關(guān)于的極限轉(zhuǎn)化為.)精品感謝下載載型,最高次冪在分母上)9.分段函數(shù)的極限例設(shè)討論在點(diǎn)處的極限是否存在精品分析所給函數(shù)是分段函數(shù)是分段點(diǎn),要知是否存在,必須從極限存在的充要條件入手.感謝下載載解因?yàn)樗圆淮嬖?精品注1因?yàn)閺牡淖筮呞呌?故注2因?yàn)閺牡挠疫呞呌诟兄x下載載精品，故10、利用

8、函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限)0)若(*)在*0處連續(xù),則limf(x)f(x0)xX0小)若(x)是復(fù)合函數(shù)，又lim(x)a且xx0f(u)在ua處連續(xù),則limf(x)flim(x)f(a)xx0xx0例：求下列函數(shù)的極限感謝下載載曬_xecosx5x2ln(1x)(2)ln(1x)一ax、cuV二解：由于x0屬于初等函數(shù)f(x)e25的定義域之內(nèi)1xln(1x)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：-X.ecosx5lim2f(0)6x01xln(1x)1(2)、由ln1一x)ln(1x),x1令x(1x)x故有：1x)x) Ine 11limJnjx)1而m(1x)xln(lim(1

9、x0xx0x011、洛必達(dá)法則(適用于未定式極限)定理：若(i)limf(x)0,limg(x)0x%x%(ii)f與g在x0的某空心鄰域u0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0(iii)limL(x)A(A可為實(shí)數(shù)，也可為或)，則xx0g(x).f(x).f(x)八limlim,Axx0g(x)xx0g(x)此定理是對(duì)0型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說(shuō)，在沒有化為-,-時(shí)不可求導(dǎo)。02、 應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式

10、，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)Ma需不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在,此時(shí)求極限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限limex(12x)ln(1x2)lnxlima-(axx0,x0)解:令f(x)=有:(x)ex(x)ex由于f(0)(1(1但f(0)2,g2x)(1122x)12,g(x)=ln(1g(x)2x)32,g(x)(0)0,g(0)g(0)2x2)2x1x22(1x2)(1(0)從而運(yùn)用洛必達(dá)法則兩次后得到limx0limxlxm022x)ex(12x)12ln(1x2)由limlnxxlnxaxlimxx.elimx01xa1ax

11、2sinx2-x一22sinxcosx-xlimx12(12x)22x2x1aaxx.elimx0(12x)322(1x2)22(1x)故此例屬于一型,0(a0,x0)注:此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限法。由洛必達(dá)法則解法二:21cosxlim2x0xsinx=lim22x2sin一22_2xsinxlxmo2xsin22x2sinx2-x2xsin萬(wàn)1x2222注：此解法利用三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三:d2.1cosxlim2limx0xsinxx0/2C21cosx2xsinx-z-klim-zxxx04xlim22xsinx1x04x注:此解法利用了兩個(gè)重要極

12、限法配合使用無(wú)窮小代換法以及洛必達(dá)法則解法四:d21cosxlim-2x0xsinxd21cosxlim4x0x42x2sinx/22(x)2x2sinx注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:21cosxlim222x0xsinxlim22sin222,2xsinx2吟)2lim_2-x0x(x)14xlimn-21-x0x4注:此解法利用三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。解法六:令ux221cosxlim-2-x0xsinx1cosulimu0usinusinulimu0sinuucosulimcosuu0cosucosuusinu注：此解法利用變量代換法配合使

13、用洛必達(dá)法則。21 COSX liml 2 X 0 x sin x_ _2sin xlim -22x 0 x cosx sin x解法七:11lim釬-x0x221X2tgx注:此解法利用了洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限。12、利用函數(shù)極限的存在性定理(夾逼準(zhǔn)則)定理:設(shè)在X0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)1,n0)k蟲4+1于是當(dāng)n0時(shí)有:n XX an XX a(k1)nkakn1-k一aa時(shí),klimk1)ka(klimk(k1)k1alimkknk1alimk0-0alimx=013、用左右極限與極限關(guān)系（適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形）定理：函數(shù)極限噸存在且等于A

14、的充分必要條件是左極限limf(x)及右極限limf(x)都存在且都等于A。即有：xx0xx0limf(x)Alimf(x)=limf(x)=Axx0xx0xx012ex,x0例：設(shè)f(x)=x,0x1求limf(x)及l(fā)imf(x)xx0x12x,x1解：limf(x)lim(12ex)1x0x0lim f (x)x 0x x lim ()x 0 xlim (. x 1) x 0由 lim f (x) lim f (x)1x 0x 0lim f (x)1x 0又 lim f (x) lim -x=lim (& 1) 0x 1x 1、xx 1lim f (x) lim x2 1 x 1x 1由

15、 f(1 0) f (1 0)lim f(x)不存在x 114、約去零因式（此法適用于x x0時(shí)，0型）例:3 求 xlim2,24_x 16x 202 一 _7x 16x 12解:原式=limx 23x2 10x (2x2 6x 20)5x2 6x (2x2 10x 12)7m2(x 2)(x2 3x 10)(x 2)(x2 5x 6)xim22(x2 3x 10) =(x2 5x 6)17x 3lim (x 5)(x 2)x 2(x 2)(x 3)15、利用化簡(jiǎn)來(lái)求極限（分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形）比如求1xm，4V此題要用到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)將分子有理化分母分解因式(K 2V 2)

16、=(x 1)(x 2)(. x 3 2)(x 2)(、x 3 2)12通分法（適用于型）16、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開式:2、sin x3、cosx4、ln(1x)5、(1 x)2 x2!3 x3!2 x2!5 x5!4 x4!2!n xn!/ n o(x)(1)n1(2n 1)!/ 2n、 o(x )2nn x2 2n 1(1) O(x )(2n)!(1)n1 xno(x ) n(1)( n 1)xn O(xn)n!6、o(xn)上述展開式中的符號(hào)o(xn)都有:lxm0o(xn)例:求limx 0a 2x a x:(a0

17、)解:利用泰勒公式，當(dāng)x x 1x1- o(x)2iia 2x a x=limx 01 2x a1 2x.a 1(一) o(x) 12 ax一o(x) ax1,一 a o(x) 2a2x a=lim limx 0xx 0x o(x)12 .a17、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件:(I) f在閉區(qū)間上連續(xù)(II)f在(a內(nèi)可導(dǎo)則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)f( ) f(b) f(a)b a，使得此式變形可為：皿丁 f(a (b b aa)(01)1)即sin x ex sin xf (sin x(x sin x)(01)xsinx例:求limee-x0xsinx解:令f(x)ex

18、對(duì)它應(yīng)用中值定理得exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx)(0f(x)ex連續(xù)limf(sinx(xsinx)f(0)1xsinx從而有:lim-1x0xsinx18.利用定積分和積分中值定理求極限比如設(shè)xn=J(n1)(n2)L(n或(n1,2,L),求limxnnn1ni解因?yàn)閘nxnln(1)ni1n1 ni1所以limxnlimln(1)=ln(1x)dx2ln21nnni1n019、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若R(x)P(x)Q(x)ma0xaxb0xnbixn1ambn(a00,b00)當(dāng)x時(shí),lim%xQ(x)mm1a0xaxl

19、imnn-1xb0xtxambna0b00(II)當(dāng)x0時(shí)有:若Q(xo)lim*x0Q(x)P(x。)Q(x。)若Q(xo)P(xo)0則M0QS若Q(xo)0,P(x。)0,則分別考慮若x為P(x)0的S重根,即：P(x)(xx0)sPi(x)也為Q(x)0的r重根，即:Q(x)(xx)rQi(x)可得結(jié)論如下:l心 limx x0 Q(x)X M(x x0)s rF1(x)Qi(x)0 , Pi(x。) Qi(x。),s,sx3 3x 2x4 4x 3例：求下列函數(shù)的極限lim(2xa/3；2)30x(2x1)解：分子，分母的最高次方相同，故2030-20-30-(2x3)(3x2)_23330lim50=50()x(2x1)22P(x)x33x2,P(1)0一4一一一Q(x)x4x3,Q(1)0P(x),Q(x)必含有(x-1)之因子，即有1的重根故有：x33x2(x1)2(x2)x21limlim；lim；-x1x44x3x1(x1)2(x22x3)x1x22x32(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。JlJ例：求Jim(,x.