【2020年高考必備】全國普通高等學校高考數學模擬試卷(理科)及答案

1、全國普通高等學校高考數學模擬試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.（5 分） 已知集合 A=x| - x2+4x0 ,丁 一 ： .-，C=（x|x=2n, n81N，貝U（AUB）nC=（ ）A.2，4 B.0，2C.0，2，4 D.x|x=2n,nN2.（5 分）設 i 是虛數單位，若：，-i .，x，y R,則復數 x+yi 的共軛復數2i是（ ）A. 2 - i B.- 2 - i C. 2+i D.- 2+i3.（5 分）已知等差數列an的前 n 項和是 Sn，且 au+a5+a6+a7=1

2、8，貝U下列命題正確的是（ ）A. a5是常數B. S5是常數C. a10是常數D.So是常數4.（5 分）七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為 東方魔板”它是由五塊等腰 直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形） 、- 塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形中任取一D.2 2-1 （a0，b0）的右焦點，直線 x=aa b與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為 A,若 AF 的中點在雙曲線上，貝 U 雙曲線點，則此點取自黑色部分的概率是A.5. （5 分）已知點 F 為雙曲線 C:BCD636448的離心率為（）A.= B. 1 心 C.：二 D.口

3、1 的正六邊形，點G 為 AF 的中點，則該幾何體的外接球的表面積是（AB.c.f sinx,K6 -兀，06.（5 分）已知函數-.i則丨飛（）A. 2+nB.三 C. .三 D.-2*24必7.（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S 的值為（）A.:.B. U；C. = D. Il；-8.（5分）已知函數 5 !：1!_：!：. 0）的相鄰兩個零點差的絕對值為，則函數 f （ X）的圖象（）4A.可由函數 g （x） =cos4x 的圖象向左平移.個單位而得24B.可由函數 g （x） =cos4x 的圖象向右平移一寧個單位而得C.可由函數 g （x） =cos4x 的圖象向右平移個

4、單位而得D.可由函數 g （x） =cos4x 的圖象向右平移個單位而得69.（5分）I：Ji 丄門的展開式中剔除常數項后的各項系數和為（）A. 73B. 61C. 55 D. 6310. （5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中六邊形 ABCDEF 是邊長為31兀63644811. （5 分）已知拋物線C:y2=4x 的焦點為 F,過點 F 分別作兩條直線 li, I2，直線 li與拋物線 C 交于 A、B 兩點，直線 12與拋物線 C 交于 D、E 兩點，若 li與 12的斜率的平方和為 1,則|AB|+| DE 的最小值為（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 3212.

5、（5 分）若函數 y=f （x）, x M，對于給定的非零實數 a,總存在非零常數 T, 使得定義域M內的任意實數 x,都有 af （x） =f （x+T）恒成立，此時 T 為 f （x） 的類周期，函數 y=f （x）是M上的 a 級類周期函數.若函數 y=f （x）是定義在區(qū)間0 , + %）內的 2 級類周期函數，且 T=2,當 x 0 , 2 ）時， a2 Xr 1-1-函數呂（工）二州右也恤.若？劉 6, 8 , ? X2lx2/X.（0, +x）,使 g （X2）- f （X1）w0 成立，則實數 m 的取值范圍是（）、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13

6、 . （ 5 分）已知向量.二、-,：，.,.，且二.二，則A.-=_:0則目標函數為_.15. （5 分）在等比數列an中，a2?a3=2a1,且 a4與 2a?的等差中項為 17,設 bn=a2n-1- a2n, n N*，則數列bn的前 2n 項和為_ .16. （5 分）如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD/ BC,呻）一，點E 是線段 CD 上異于點 C, D 的動點，EF 丄 AD 于點將厶 DEF 沿 EF 折起到 PEF的位置，并使 PF 丄 AF,則五棱錐 P-ABCEF 勺體積的取值范圍為 _.:-一，的最小值14. （5 分）已知三、解答題(本大題共 5

7、 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17.(12 分)已知 ABC 的內角 A, B, C 的對邊 a, b, c 分別滿足 c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=Q 又點 D 滿足石:丄汁(1) 求 a 及角 A 的大小;(2) 求丨二的值.18. (12 分)在四棱柱 ABCD- AiBiCiDi中，底面 ABCD 是正方形，且 一, / AAB=/A1AD=60 .(1) 求證：BD 丄 CC;(2) 若動點 E 在棱 C1D1上，試確定點 E 的位置，使得直線 DE 與平面 BDB 所成 角的正弦值為二.1419. (12 分)過大年，吃水餃”

8、是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗.2018 年春節(jié)前夕，A 市某質檢部門隨機抽取了 100 包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質量 指標，(1) 求所抽取的 100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數 ：(同一組中的 數據pBB用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，速凍水餃的該項質量指標值Z服從正態(tài)分布N (卩,2),利用該正態(tài)分布，求 Z 落在(14.55, 38.45)內的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購買了 4 包這種品牌的速凍水餃，記這 4 包速凍水餃中這種質量指標值位于(10，30)內的包數為 X,求 X 的分布列和數 學期望.附：計算得所抽查的這 100 包速凍水

9、餃的質量指標的標準差為- . -: ；若 Z, CT?)，貝 U P(廠oZ p+ o)=0.6826，P(卩2oZ妙 22=0.9544.頻斛組距00300.025 - - - -_10.020廠0.015八,0.010 J0 20304050各水收質 量指標20.(12 分)已知橢圓 C:的離心率為二，且以兩焦點為直a b2徑的圓的內接正方形面積為 2.(1) 求橢圓 C 的標準方程；(2) 若直線 I: y=kx+2 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點，在 y 軸上是否存在點 D,使 直線AD 與 BD 的斜率之和 kAD+kBD為定值？若存在，求出點 D 坐標及該定值，若 不存在，試說明

10、理由.21.(12 分)已知函數 f (x) =ex- 2 (a- 1) x- b，其中 e 為自然對數的底數.(1) 若函數 f (x)在區(qū)間0,1上是單調函數，試求實數 a 的取值范圍；(2) 已知函數 g (x) =ex-(a- 1) x2- bx- 1,且 g (1) =0,若函數 g (x)在 區(qū)間0,1上恰有 3 個零點，求實數 a 的取值范圍.請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修 4-4 :坐標系與參數方程22.(10 分)在平面直角坐標系 xOy 中，圓 Ci的參數方程為z(0I. y=-l + asin6為參數，a 是大于 0 的常數

11、).以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標 系，圓C2的極坐標方程為一 -；：二 二.(1) 求圓 Ci的極坐標方程和圓 C2的直角坐標方程；(2) 分別記直線 I:一，pR 與圓 G、圓 C2的異于原點的焦點為 A，B,若12圓 Ci與圓 C2外切，試求實數 a 的值及線段 AB 的長.選修 4-5:不等式選講23.已知函數 f (x) =|2x+1| .(1) 求不等式 f (x) 0 , C=x| x=2n, n81N，貝U(AUB)nC=()A.2，4 B.0，2C.0，2，4 D.x|x=2n,nN【解答】 解：A=x| - X +4x 0 =x| 0 x 4，J 行： Ji

12、=x|3-4v3xv33=x|-4Vxv3，ol則 AUB=x|-4vx0, b0）的右焦點，直線 x=abz與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為 A,若 AF 的中點在雙曲線上，貝 U 雙曲線 的A.316B.C.D.BCD離心率為（）A.- B. X：-：C.D. -1.- 口2 2【解答】解：設雙曲線 C:，-的右焦點 F （c, 0）,2 1 2a b雙曲線的漸近線方程為 y=x,且由 x=a 代入漸近線方程可得 y=b，則 A（a，b），可得 AF 的中點為（空 W,丄 b），2 2代入雙曲線的方程可得：川- I =1，擰4可得 4a2- 2ac- c2=0，由 e，可得 e2+2e

13、4=0，且解得 e=二-1 （- 1 -匸舍去），故選：D.6. （5 分）已知函數-則 W ）A.2+nB CD. I ：疋,0乙疋(0, 1I , .!/ = / cOsdt= I :=t 旦 t=arcsim= 一 = ，二 I H :- I 一-二!： - - ：!.f-兀耳x (0,【解答】解：-F+ (- cosx)-故選：D.7. (5 分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 S 的值為()A.B. UC. = D.Il ；-【解答】解：第 1 次循環(huán)后，S 二匚，不滿足退出循環(huán)的條件，k=2; 第 2 次循環(huán)后，S=二，不滿足退出循環(huán)的條件，k=3;第 3 次循環(huán)后，S= =2，

14、不滿足退出循環(huán)的條件，k=4；第 n 次循環(huán)后，S=，不滿足退出循環(huán)的條件，k=n+1 ； 第 2018 次循環(huán)后，S=込二9,不滿足退出循環(huán)的條件，k=2019第 2019 次循環(huán)后，S=*m=2H滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的 S 值為 2 ，故選：C-L 2f(x? =sinWxcos* x/3cos 3零點差的絕對值為【，則函數 f(x)的圖象()A. 可由函數 g (x) =cos4x 的圖象向左平移一一個單位而得24B. 可由函數 g (x) =cos4x 的圖象向右平移. 個單位而得24771C.可由函數 g (x) =cos4x 的圖象向右平移個單位而得D. 可由函數 g (x)

15、 =cos4x 的圖象向右平移一個單位而得【解答】 解：函數 f (x)=sin xcos Xco s 宜+=s in ( 2x)-乙?： ：+-7T兀=sin(2x-) (0)的相鄰兩個零點差的絕對值為z，2 TV TTTTJT8. (5 分)已知函數(30)的相鄰兩個=cos (4x7?可廠三，二3=2 f (x) =sin (4x-可)=cos (4x-可)6故把函數 g （x） =cos4x 的圖象向右平移個單位，可得 f （x）的圖象，24故選：B.9.（5 分）苛丄門的展開式中剔除常數項后的各項系數和為（）A.- 73 B.- 61 C.- 55 D.- 63【解答】解：-:展開式

16、中所有各項系數和為（2- 3） （1+1）6=- 64;x（2x-3）（l+1）S=（2x-3） （1+丄|+），其展開式中的常數項為-3+12=9, 所求展開式中剔除常數項后的各項系數和為-64 - 9=- 73.故選：A.10. （5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中六邊形 ABCDEF 是邊長為AB.【解答】解：如圖，可得該幾何體是六棱錐 P-ABCDEF 底面是正六邊形，有一PAF 側面垂直底面，且 P 在底面的投影為 AF 中點，過底面中心 N 作底面垂線,G 為 AF 的中點，則該幾何體的外接球的表面積是（31兀Q 蓋1兀3b/五兀C64D. 481 的正六邊形，點過側面

17、 PAF 的外心 M 作面 PAF 的垂線，兩垂線的交點即為球心 0,設厶 PAF 的外接圓半徑為 r，.|，解得 r=.，.宀| i 二| .，.表面積是則該幾何體的外接球的表面積是 ssR=11.（5 分）已知拋物線C:y2=4x 的焦點為 F,過點 F 分別作兩條直線 li, I2，直 線 li與拋物線 C 交于 A、B 兩點，直線 12與拋物線 C 交于 D、E 兩點，若 li與 12的斜率的平方和為 1,則|AB|+| DE 的最小值為（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32【解答】解：拋物線C：y2=4x 的焦點 F (1, 0),設直線 11： y=k1(x- 1),直

18、線12： y=k2(x- 1),由題意可知，貝 U ： |，y=ki （x-1），整理得：則該幾何體的外接球的半徑R .，聯(lián)立-k12x2-( 2k12+4) x+k12=0,設 A (X1, y1), B (X2, y2),2ki2+4則 X1+X2=設 D (X3, y3), E (X4, y4),4同理可得：X3+&=2+.,由拋物線ABI=X1+X2+p=4+,故選：C.CDDEI=X3+X4+p當且僅當一時，上式“我立.施1臨22 | AB|+| DE 的最小值 24,故選：C.12. (5 分)若函數 y=f (x), x M，對于給定的非零實數 a,總存在非零常數 T, 使得定義

19、域M內的任意實數 x,都有 af(x)=f(x+T)恒成立，此時 T 為 f (x) 的類周期，函數y=f(x)是M上的 a 級類周期函數.若函數 y=f(x)是定義在 區(qū)間0 , + %)內的 2 級類周期函數，且 T=2,當 x 0, 2 )時，f(X)2函數 g(x)=-21nx+7rx+x+m 若？Xi 6 , 8 , ?x2f(2-x), lx2X.),使 g (X2)- f (Xi)w0 成立，則實數 m 的取值范圍是()A. _ B. _ . C. _ . D. - . ：2 2 2 2丄-2/, 0 xl【解答】解：根據題意,對于函數 f(x),當 x 0 , 2)時,f(x)

20、二 2,f(2-x), lx2X.分析可得：當 0Wx 1 時，f (x)二訂-2,有最大值 f (0)十,最小值 f (1)2 22，當 1vXV2 時，ffx) =f (2-x),函數 ffx)的圖象關于直線 x=1 對稱，則此時 有f (x),又由函數 y=f (x)是定義在區(qū)間0,+x)內的 2 級類周期函數，且 T=2；則在 6, 8) 上, f (x) =23?f (x-6),則有-12f (x)0,函數 g (x)為增函數，【解答】解：根據題意，對于函數 f(x),當 x 0,2)時，fW 二 21 AB+| DE峠=則函數 g (X)在(0, +X)上，由最小值 f (1) =

21、 +m ,2若？為 6,8,? X2(0,+x),使 g(X2)-f(xi)0 成立, 必有 g (X)min f (X)max，即 +m 8,2解可得 mW二，即卩 m 的取值范圍為(-x,二；2 2故選：B.二、填空題(每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上)13. (5 分)已知向量.v , -，且，則=5 【解答】解：根據題意，向量.二，-，:1.-:,【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,若 alb,則 0?b=2sin cosa=0 則有 tana=,2.仃Vs sinCL5仃2V?，又由 sin2a+cosa=1 則有*則=(:匸)或(-:555則| 竺亠5sina=L

22、 或 邁或） ,則0, f (乂)在(0, 1)上單調遞增，又 f (0) =0, f (1)=.v1五棱錐 P-ABCEF 的體積的范圍是(0, I ).3故答案為：.三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.）17. （12 分）已知 ABC 的內角 A, B, C 的對邊 a, b, c 分別滿足 c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又點 D 滿足丄汁二 J(1)求 a 及角 A 的大小;【解答】 解：(1)由 2bcosA+acosC+ccosA=0 及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osAsinC， 即2

23、si nBcosA=si n( A+C) =s inB,在厶 ABC 中，sinB 0,所以，.2又 A(0, n),所以.二在厶 ABC 中，c=2b=2,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=E+c2+bc=7, 所以.舒，得.L y18. (12 分)在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD 是正方形，且：丨_ ,/ AAB=/ A1AD=6C.(1) 求證：BD 丄 CG;(2) 若動點 E 在棱 C1D1上，試確定點 E 的位置，使得直線 DE 與平面 BDB 所成 角的正弦值為棄.r* 1 (2)由 i . Al(2)求：|i的值.所以工-一【解答】解：(1

24、)連接 AiB, AiD, AC,因為 AB=AA=AD,/ AiAB=ZAiAD=60,所以 AiAB 和厶 AiAD 均為正三角形，于是 AiB=AiD.設 AC 與 BD 的交點為 0,連接 AiO,則 AiO 丄 BD,又四邊形 ABCD 是正方形，所以 AC 丄 BD,而 AiOnAC=O,所以 BD 丄平面 AiAC.又 AAi?平面 AiAC,所以 BD 丄 AAi,又 CG/ AAi,所以 BD 丄 CG.(2)由，及丨二.一，知 AiB 丄 AiD,于是從而 AiO 丄 AO,結合 AiO 丄 BD, AOnAC=O 得 AiO 丄底面 ABCD,所以 OA、OB、OAi兩兩

25、垂直.如圖，以點 O 為坐標原點，的方向為 x 軸的正方向，建立空間直角坐標系 -xyz則 A (i, 0 , 0), B (0 , i , 0), D (0, - i , 0), Ai(0 , 0 , i) , C (- i , 0 , DB=(O?2, 0),畫二瓦二(-X 0, 1) , D1_C=DC=(-h 1, 0),由川：“I：1. LL.一：，得 Di(- i , - i , i).設nT-：(疋0 , i),則(XE+1,yE+i,ZE-i)=X(-i,i,0),即 E(-X-i,入-i,i),所以 J -1.-.O0),設平面 BiBD 的一個法向量為-,設直線 DE 與平

26、面 BDB 所成角為 9,貝丄-解得.或（舍去），_所以當 E 為 DiCi的中點時，直線 DE 與平面 BDBi 所成角的正弦值為.19. （ 12 分）過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗.2018 年春節(jié) 前夕，A 市某質檢部門隨機抽取了 100 包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質量 指標，（1） 求所抽取的 100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數 -（同一組中的 數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2） 由直方圖可以認為，速凍水餃的該項質量指標值Z 服從正態(tài)分布 N （卩,2）,利用該正態(tài)分布，求 Z 落在（14.55, 38.45）內的概率；將頻率視為概率，若某人從某超

27、市購買了 4 包這種品牌的速凍水餃，記這 4 包速凍水餃中這種質量指標值位于（10，30）內的包數為 X,求 X 的分布列和數 學期望.附：計算得所抽查的這 100 包速凍水餃的質量指標的標準差為 -：-：1f：；若N（卩，CT?）,貝UP（卩eVZwp+ o）=0.6826,P（卩2eVZw（J+2o）=0.9544.n-DB=O得*ivBB二0I 爲令x=1,得&Of【解答】解：(1 )所抽取的 100 包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數 匚為(2) Z 服從正態(tài)分布 N (仏 向，且 卩=26.5 代 11.95, P(14.55VZV38.45)=P(26.5-11.95VZv26.

28、5+11.95)=0.6826,Z 落在(14.55, 38.45)內的概率是 0.6826.根據題意得 X B(4,二)， - 丄：廠；-：-: -1 1；二 X 的分布列為X01234P11111648416二20.(12 分)已知橢圓 C：y、的離心率為竺二，且以兩焦點為直 a2b22徑的圓的內接正方形面積為 2.(1) 求橢圓 C 的標準方程；(2) 若直線 I: y=kx+2 與橢圓 C 相交于 A, B 兩點，在 y 軸上是否存在點 D,使 直線AD 與 BD 的斜率之和 kAD+kBD為定值？若存在，求出點 D 坐標及該定值，若 不存在，試說明理由.0.0300.0250.020

29、)0 20 304050質量指標2所求橢圓方程為(2x . 2_1(2)由 * 2 丫 一丄得(1+2k2) x2+8kx+6=0,y=ky+2則厶=64k?- 24 (1+2k2) =16k2- 240,解得設 A (xi, yi), B (X2, y2),則人I ,1l+2k21 l+2k2丫1切+丫滬1_0(“ +垃J _2kx1x2+(2-m)(z1+ i2)_龜-4k(2-ID)所以=，一：；-要使 kAD+kBD為定值,只需 6k- 4k (2 - m) =6k- 8k+4mk=2 (2m- 1) , k 與參數k 無關,故 2m -仁 0,解得-廠二,當廠:時，kAD+kBD=0

30、.綜上所述，存在點口；丄丄,使得 kAD+kBD為定值,且定值為 0 21.(12 分)已知函數 f (x) =ex- 2 (a- 1) x- b,其中 e 為自然對數的底數.(1) 若函數 f (x)在區(qū)間0 , 1上是單調函數，試求實數 a 的取值范圍；(2) 已知函數 g (x) =ex-(a- 1) x2- bx- 1,且 g (1) =0 ,若函數 g (x)在 區(qū)間0 ,1上恰有 3 個零點，求實數 a 的取值范圍.【解答】解：(1)根據題意，函數 f (x) =e2- 2 (a- 1) x- b ,【解答】a-22csin-W2 解得a2=2,=& ,-口設存在點 D (0, m

31、),則 ky 1 f妙二匚“BD二忑一,其導數為f(x) =ex- 2 (a- 1),當函數 f (x)在區(qū)間0 , 1上單調遞增時，f(x) =ex- 2 (a- 1)0 在區(qū)間0 ,1上恒成立， 2 (a- 1 )( ex)min=1 (其中 x 0,1)，解得且號；當函數 f (X)在區(qū)間0, 1單調遞減時，f (x)=ex- 2 (a- 1)( ex)max=e (其中 x 0，1)，解得且違+1 綜上所述，實數 a 的取值范圍是：，|(2)函數 g (x) =ex-( a- 1) x2- bx- 1，則 g (x) =ex- 2 (a- 1) x- b，分析可得 f (x) =g (

32、x).由 g (0) =g (1) =0，知 g (x)在區(qū)間(0，1)內恰有一個零點，設該零點為 X。，則 g (x)在區(qū)間(0，X。)內不單調，所以 f (x)在區(qū)間(0，刈)內存在零點 X1，同理，f (x)在區(qū)間(x，1)內存在零點 X2，所以 f (x)在區(qū)間(0, 1)內恰有兩個零點.由(1 )知，當 W 時，f (x)在區(qū)間0，1上單調遞增，故 f (x)在區(qū)間(0,21)內至多有一個零點，不合題意.當二丁時，f (x)在區(qū)間0, 1上單調遞減，故 f (乂)在(0, 1)內至多有一個零點，不合題意；所以，二；2 2令f(x) =0,得 x=ln( 2a- 2)( 0, 1),所以函數 f (x)在區(qū)間0, In (2a-2)上單調遞減，在區(qū)間(ln (2a- 2), 1 上單調遞增.記 f ( X)的兩個零點為 X1, X2(X1 0, f (1) =e- 2a+2- b0.由 g (1) =0,得 a+b=e,所以 I i- ；-.-,又 f （0） =a- e+10, f （1） =2- a 0,所以 e- 1vav2.綜上所述，實數 a 的取值范圍為（e- 1, 2）.請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修 4-4 :坐標系與參數方程22.（10 分）在平面直角坐標系 xOy 中，圓 Ci 的參