第四章向量組的線性相關(guān)性山東建筑大學(xué)

1、山東建筑大學(xué)第四章向量組的線性相關(guān)性1設(shè), 求及.解 2. 設(shè)其中, ,求.解由整理得3設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明設(shè)有使得則(1) 若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),; ; ; ;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2) 若線性無關(guān), 則由知此齊次方程存在非零解. 則線性相關(guān).綜合得證.4. 設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明設(shè)則因向量組線性無關(guān),故因?yàn)楣史匠探M只有零解.則. 所以線性無關(guān)5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示.證明:個(gè)向量必線性無關(guān).證明6. 當(dāng)為何值時(shí)，向量組，線性相關(guān).解 由所以當(dāng)時(shí)，所以.7. CCBC8. (1).線性

2、相關(guān)；(2).；(3).線性相關(guān)；(4).線性無關(guān)。9. 求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無關(guān)組：解線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.10. 利用初等變換求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組，。11. 已知向量組，與向量組，具有相同的秩，且可由向量組線性表示，求的值.解 因?yàn)榫€性無關(guān)，而，所以線性相關(guān)，且向量組的秩為2，所以向量組的秩也為2.由于可由線性表示，故可由線性表示，即線性相關(guān).于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空間記作 ，由所生成的向量空間記作 ，試證:

3、.證明設(shè), 任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù)有唯一解同理可證: () 故14. 驗(yàn)證為的一個(gè)基，并把，用這個(gè)基表示.解 由于即矩陣的秩為3. 故線性無關(guān)，則為的一個(gè)基.設(shè)，則故設(shè)，則故線性表示為15. 求下面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解(1)所以原方程組等價(jià)于取得; 取得.因此基礎(chǔ)解系為，通解為。16. 設(shè)，求一個(gè)矩陣，使，且.解由于,所以可設(shè). 則由可得, ,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣17.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解 由于矩陣的秩為3，一維故其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)

4、解系含有一個(gè)向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，18求下列非齊次方程組的通解.解:通解為19. DBCAD第五章 相似矩陣及二次型1. 試用施密特法把向量組正交化.解：根據(jù)施密特正交化方法:令，, ，故正交化后得 2. 判斷下列矩陣是不是正交陣，并說明理由:(1) (2)解： (1)第一個(gè)行向量非單位向量, 故不是正交陣(2) 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣3. 設(shè)為n維列向量, , 令, 求證: H是對(duì)稱的正交陣.證明 因?yàn)镠T=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)Tx

5、T=E-2xxT,所以H是對(duì)稱矩陣. 因?yàn)镠TH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩陣.4. 設(shè)與都是階正交矩陣, 證明：（1）也是正交陣；（2）也是正交陣.證明（1）因?yàn)槭请A正交陣，故， 所以 故也是正交陣正交.正交.（2） 因?yàn)槭请A正交陣，故，故也是正交陣5. 求下列矩陣的特征值和特征向量:(1) (2).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解：(1) . 故的特征值為當(dāng)時(shí),解方程,由, 得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí),解方程,由, 得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)

6、應(yīng)于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程，由,得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時(shí),解方程，由,得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí)，解方程，由,得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量，所以兩兩正交6.設(shè)為階矩陣, 證明與的特征值相同.證明: 因?yàn)閨AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同, 從而AT與A的特征值相同.7. 設(shè), 證明的特征值只能取1或2. 證明: 設(shè)l是A的任意一個(gè)特征值,x是A的對(duì)應(yīng)于l的特征向量, 則(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因?yàn)閤¹0,

7、 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是說l=1或l=2.8.設(shè)是階矩陣的特征值, 證明也是階矩陣的特征值.證明: 設(shè)x是AB的對(duì)應(yīng)于l¹0的特征向量, 則有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),從而l是BA的特征值, 且Bx是BA的對(duì)應(yīng)于l的特征向量.9. 已知3階矩陣的特征值為1,2,3, 求.解: 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值, 故|A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´

8、3=18.10. 設(shè)方陣與相似, 求x , y.解 方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，即11. 設(shè)A與B都是n階方陣,且,證明AB與BA相似.證明: 則可逆 則與相似12. 設(shè)矩陣可相似對(duì)角化, 求.解由,得A的特征值為l1=6,l2=l3=1.因?yàn)锳可相似對(duì)角化,所以對(duì)于l2=l3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解,因此R(A-E)=1.由知當(dāng)x=3時(shí)R(A-E)=1,即x=3為所求.13. 設(shè)3階方陣A的特征值為;對(duì)應(yīng)的特征向量依次為求A.解：因?yàn)?，又，所以?14. 已知是矩陣的一個(gè)特征向量，試求參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值.解：設(shè)l是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值,則 (

9、A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.15. 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣A的特征值為6,3,3, 與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求A.解： 設(shè). 由，知3是的二重特征值,根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理知的秩為1，故利用可推出秩為1.則存在實(shí)的使得成立由解得得16. 試求一個(gè)正交的相似變換矩陣, 將下列對(duì)稱陣化為對(duì)角陣:(1); 解：故得特征值為當(dāng)時(shí)，由. 解得. 單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由. 解得. 單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由.解得單位特征向量可取:, 得正交陣. . (2) 解：，故得特征值為當(dāng)時(shí)，由. 解得此二個(gè)向量正交,單位化后,得兩個(gè)單位正交的特征向量; ，單位化得當(dāng)時(shí),由. 解得. 單

10、位化得.得正交陣. 17. 設(shè), 求解 由,得A的特征值為l1=1,l2=5,l3=-5.對(duì)于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1,0,0)T.對(duì)于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2,1,2)T.對(duì)于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3), 則P-1AP=diag(1,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因?yàn)長100=diag(1,5100,5100),所以.18. 用矩陣記號(hào)表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一個(gè)正交矩陣化下列二次型成標(biāo)準(zhǔn)

11、形:(1);解：二次型的矩陣為, 故的特征值為當(dāng)時(shí), 解方程，由. 得基礎(chǔ)解系. 取當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系. 取當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系. 取，于是正交變換為. 且有(2).解：二次型矩陣為，故的特征值為當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，當(dāng)時(shí)，可得單位特征向量，于是正交變換為且有20. 證明:二次型在時(shí)的最大值為方陣A的最大特征值.證明為實(shí)對(duì)稱矩陣，則有一正交矩陣，使得成立其中為的特征值，不妨設(shè)最大，為正交矩陣，則且，故則其中當(dāng)時(shí)，即即故得證21.用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣：(1)；解 f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2

12、x3=(x1+x3)2+x32+2x2x3;=(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.令 , 即,二次型化為規(guī)范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為(2).解 f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.令 , 即,二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為22.判別下列二次型的正定性:(1);解：, ，故為負(fù)定 (2).解：，, ,故為正定23.設(shè)U為可逆矩陣, 證明為正定二次型.證明：因?yàn)樗訟對(duì)稱.對(duì)于由于U為可逆矩陣，有否則，若則必有矛盾.所以當(dāng)所以為正定二次型。24.設(shè)對(duì)稱陣A為正定陣, 證明存在可逆矩陣U, 使.證明：

13、正定，則矩陣滿秩，且其特征值全為正不妨設(shè)為其特征值，存在一正交矩陣使又因?yàn)檎痪仃嚕瑒t可逆，所以令，可逆,則25. 試證:（1）A正定,則與也正定;（2）A與B均為n階正定陣, 則A+B為正定陣.證明：（1），（2）26. 選擇題：（1）設(shè)=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣有一個(gè)特征值等于（ b ）(a) (b) (c) (d) （2）設(shè)A為n階可逆陣，為A的一個(gè)特征值，則A的伴隨陣的一個(gè)特征值是（ b ）(a) (b) (c) (d) （3）設(shè)A為n階可逆陣，且（k為正整數(shù)）, 則（ c ）(a) A=0 （b）A有一個(gè)不為零的特征值(c) A的特征值全為零 （d）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量（4）設(shè)是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，則A的屬于的全部特征向量是（ d ）(a) （b）(c)(全不為零) （d）(不全為零)（5）下列二階矩陣可對(duì)角化的是（ c ）(a) (b) (c) (d) 線性代數(shù)期