第25講平面向量的數(shù)量積

1、第 25 講 平面向量的數(shù)量積 （1課時(shí)）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確記憶！平面向量數(shù)量積和運(yùn)算重點(diǎn)難點(diǎn)好好把握！重點(diǎn)：1數(shù)量積的概念的幾何意義。2數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及運(yùn)算律。難點(diǎn)：1數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用。2數(shù)量積的性質(zhì)?？季V要求注意緊扣！1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。2了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。3. 掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用。4. 掌握平移公式。命題預(yù)測僅供參考！1數(shù)量積在高考中占有重要地位，涉及的題型有選擇題、填空題、解答題。2數(shù)量積在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的應(yīng)用?？键c(diǎn)熱點(diǎn)一定掌握！1平面向量的數(shù)量積 定義：a、

2、b的數(shù)量積a·b = |a|·|b|· 。其中a、b不等于零，是a、b的夾角，數(shù)量積也稱為內(nèi)積。規(guī)定：0向量與任一向量的數(shù)量積為0。特別地，當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a|b|（這也是的另一形式的充要條件）；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|。 a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上的投影|b|cosq的乘積。例已知 ,與的夾角是120º，計(jì)算： ； 。解： 點(diǎn)評：求向量的模時(shí)，注意利用公式 ， 。2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算律：；。數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a = (x1, y1)，b = (x2,

3、 y2)，則：ab = x1x2 + y1y2 。注意事項(xiàng)：若 或 ，則，反之則不然。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，也有。若 ，則 ，反之則不然，即向量等式不能兩邊同時(shí)除以一個(gè)向量。因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)，那么與平行，同理與平行，而一般、并不平行。即向量數(shù)量積的結(jié)合律不成立。例設(shè)、是任意的非零向量，且相互不共線，則下列四個(gè)命題中是真命題的有（）： ； ； 不與垂直； 。. . . . 解：因?yàn)榕c平行，與平行，所以和不一定相等，命題不正確。因?yàn)?、是任意的非零向量，且相互不共線，則根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知命題正確。因?yàn)?=，所以與垂直，命題不正確。，命題正確。綜上所述，應(yīng)選。3數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是

4、與b同向的單位向量，是a與b的夾角，則 ea = ae =|a|cosq 。 ab Û ab = 0 。設(shè) a = (x, y) ，則特別的aa = |a|2或。設(shè) a 的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則 （兩點(diǎn)距離公式）。 cosq =，其中a =、b = （夾角公式）。 |ab| |a|b| 。 幾個(gè)推論在數(shù)量積運(yùn)算律中，有三個(gè)形似實(shí)數(shù)的公式在解題中可以直接應(yīng)用：(a±b)a±a·bb， (ab)(ab)ab 。例已知兩單位向量a與b的夾角為120º，若 c=2a-b，d=3b-a，試求c與d的夾角。解： a、b為兩單位向量， |a|=|b|=1

5、，又 a與b的夾角為120º， ab=|a|b|cos120º， |c|=cc=(2a-b) (2a-b)=4aa-4ab+bb=4|a|-4ab+|b|=7， |c|=。 ， 。 ， （其中為的夾角）。 。4兩個(gè)向量垂直的充要條件ab Û ab = 0 （a、b均為非零向量），設(shè) a =、b =，則 ab Û x1x2 + y1y2 = 0 。例已知 ，與的夾角為，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)， ； 。解： 要使 ，則要 ，即 ， 當(dāng) 時(shí)，。 要使 ，則要 ，即 ， ， ， 。5數(shù)量積的應(yīng)用例（2002年高考題）已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)使、成公差小于零的等差數(shù)列 點(diǎn)的軌跡是什

6、么曲線？ 若點(diǎn)坐標(biāo)為，記為與的夾角，求。解：（1） 設(shè)P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得， =（1x，y）， =（1x，y）， =（2，0），=2（1+x）， =x2+y21，=2（1x），于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0） ， ， ， ， 。點(diǎn)評：本題是向量在數(shù)列與曲線方程中的應(yīng)用。能力測試認(rèn)真完成！參考答案仔細(xì)核對！習(xí)題雙基細(xì)目表XL0105平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算12345678a·b = |a|·|b|· （定義）ab = x1x2 + y1y2 (坐標(biāo)運(yùn)算) (數(shù)

7、量積的交換律) (數(shù)對數(shù)量積的結(jié)合律) (加法對數(shù)量積的分配律)ea = ae =|a|cosq （性質(zhì)）|ab| |a|b| （性質(zhì)）(a±b)a±a·bb （推論）(ab)(ab)ab （推論）XL0106平面向量的垂直ab Û ab = 0ab Û x1x2 + y1y2 = 0XL0109應(yīng)用 （兩點(diǎn)距離公式）cosq = （夾角公式）1判斷正誤，并簡要說明理由.·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；若·，則與中至少有一個(gè)為0；對任意向量，都有（·）（·）；與

8、是兩個(gè)單位向量，則；（3+2）·（32）= 94 ；= | 。解：上述8個(gè)命題中只有正確；對于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·；對于：應(yīng)有·0；對于：由數(shù)量積定義有···cos，這里是與的夾角，只有或時(shí)，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記。則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）。點(diǎn)評：這一類問題

9、，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律。2對任意向量 、 ， 與 的大小關(guān)系是（）A   B C   D無法確定答案：C。3 =_答案：-1 。4已知a，b，a·b，求ab，ab.解：ab（ab）aa·bb×（）ab，（ab）（ab）a2a·bb22×（3）×35，ab5（2000年上海高考題）已知向量(1，2)、(3，m)，若，則m 。答：4。6設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( )A.正方形B.矩形 C.菱形D.平行四邊形分析： =(1，2)，=(1，2)， =。又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)， ABDC且|AB|=|DC|， ABCD是平行四邊形，又|=， =(5，3)，=， |， ABCD不是菱形，更不是正方形。又=(4，1)， 1×4+2×1=60， 不垂直于， ABCD也不是矩形，故選D。7已知a（，），b（，），則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角，需先求a·b及a