第五章--假設檢驗

1、第五章 假設檢驗第一節(jié) 假設檢驗中的基本概念和基本原理一、統(tǒng)計假設的概念統(tǒng)計假設，指的是和抽樣手段聯(lián)系在一起,并且依靠抽樣數(shù)據(jù)來進行驗證的假設。統(tǒng)計假設的內(nèi)容都是數(shù)量化了的，而且驗證的依據(jù)都是憑借抽樣調(diào)查所取得的資料，在抽取樣本資料時，必須保證抽樣的隨機性。假設原假設，又稱為零假設。它一般是根據(jù)已有的資料，或經(jīng)過周密考慮后確定的、具有穩(wěn)定性的、受保護的經(jīng)驗和看法。因此，若沒有充分根據(jù), 是不會被輕易否定的。備擇假設，又稱為研究假設。經(jīng)過抽樣調(diào)查,若有充分根據(jù)否定原假設,自然就得接受其邏輯對立面。原假設的邏輯對立面即為備擇假設。以總體均值的假設檢驗為例，根據(jù)問題的不同，假設檢驗可能有三種：1、雙

2、邊檢驗 ：2、右側(cè)單邊檢驗 ：3、左側(cè)單邊檢驗 ：二、假設檢驗的基本原理小概率原理小概率原理可歸納為兩個方面：一是可以認為小概率事件在一次觀察中是不可能出現(xiàn)的；二是如果在一次觀察中出現(xiàn)了小概率事件，那么，合理的想法是否定原來認為該事件具有小概率的看法。假設檢驗的基本思想:經(jīng)過隨機抽樣獲得一個來自總體的樣本,然后根據(jù)樣本計算某個(或某幾個)統(tǒng)計量的數(shù)值。若在原假設成立的條件下，該統(tǒng)計量數(shù)值的出現(xiàn)幾乎是不可能的,就拒絕或否定原假設,并接受它的邏輯對立面?zhèn)鋼窦僭O。反之,如果在原假設成立的條件下,該統(tǒng)計量數(shù)值出現(xiàn)的可能性不是很小的話，就沒有理由拒絕原假設。 三、假設檢驗中的統(tǒng)計量1、在原假設成立的情況

3、下，統(tǒng)計量中不應包含有未知參數(shù)，其數(shù)值應該是確定的。2、所選用的統(tǒng)計量的分布應該是已知的，是有表可查的。例如，對于正態(tài)總體均值的檢驗：，應選擇的統(tǒng)計量為： （已知） =（未知）四、顯著性水平顯著性水平是假設檢驗中所規(guī)定的小概率的數(shù)量界限。也就是在原假設成立的條件下，判斷統(tǒng)計量數(shù)值的出現(xiàn)是否是小概率事件的標準。常用的標準有：或。五、臨界值、接受域和拒絕域選定一個檢驗統(tǒng)計量后，在原假設成立的條件下，就可畫出統(tǒng)計量的分布。再根據(jù)給定的顯著性水平，就可確定臨界值、接受域和拒絕域。比如，對于正態(tài)總體均值的雙邊檢驗：，在總體方差已知的情況下，我們選擇為統(tǒng)計量；根據(jù)原假設：，就可以畫出如圖5-1-1所示的統(tǒng)

4、計量的分布。圖5-1-1 Z統(tǒng)計量的分布由于雙邊檢驗把拒絕原假設的小概率事件定在了統(tǒng)計量分布的兩側(cè)，因此，兩側(cè)尾部面積總和所代表的概率即為顯著性水平。又由于統(tǒng)計量的分布是對稱的，所以每側(cè)的概率都是。查標準正態(tài)分布表可得： ，即 = 根據(jù)假設檢驗的小概率原理,如果統(tǒng)計量的值，就應拒絕原假設；反之，若統(tǒng)計量的值，就應接受原假設。因此，該雙邊檢驗以為臨界值，兩者之間的區(qū)域為接受域，兩邊為拒絕域。六、雙邊檢驗和單邊檢驗 (一)雙邊檢驗雙邊檢驗的假設形式為：雙邊檢驗的拒絕域被定在了統(tǒng)計量分布的兩側(cè)。若給定的顯著性水平為,則每側(cè)拒絕域的概率應各為。假定所選統(tǒng)計量為統(tǒng)計量，則臨界值和顯著性水平有如下的關系式

5、：=也就是說，該雙邊檢驗的拒絕域為：,如圖5-1-3所示。圖5-1-3 雙邊檢驗的接受域、拒絕域(二)單邊檢驗l.右側(cè)單邊檢驗右側(cè)單邊檢驗的假設形式為：右側(cè)單邊檢驗把拒絕域定在了統(tǒng)計量分布的右側(cè)。若給定的顯著性水平為,則統(tǒng)計量分布右尾的概率應為。假定所選統(tǒng)計量為統(tǒng)計量，則臨界值和顯著性水平有如下的關系式：也就是說，該右側(cè)單邊檢驗的拒絕域為：，如圖5-1-4所示。圖5-1-4 右側(cè)單邊檢驗的接受域、拒絕域2.左側(cè)單邊檢驗左側(cè)單邊檢驗的假設形式為：左側(cè)單邊檢驗把拒絕域定在了統(tǒng)計量分布的左側(cè)。若給定的顯著性水平為,則統(tǒng)計量分布左尾的概率應為。假定所選統(tǒng)計量為統(tǒng)計量，則臨界值-和顯著性水平有如下的關系

6、式：也就是說，該左側(cè)單邊檢驗的拒絕域為：，如圖5-1-5所示。圖5-1-5 左側(cè)單邊檢驗的接受域、拒絕域第二節(jié) 假設檢驗的步驟和兩類錯誤一、假設檢驗的步驟1、根據(jù)實際問題作出假設，包括原假設和備擇假設兩部分；2、根據(jù)樣本構(gòu)造合適的統(tǒng)計量,并在原假設成立的條件下確定統(tǒng)計量的分布；3、根據(jù)有關要求給定顯著性水平，并根據(jù)統(tǒng)計量的分布求出拒絕域和臨界值；4、根據(jù)樣本統(tǒng)計量的觀測值進行判斷。若樣本統(tǒng)計量的值落入統(tǒng)計量分布的拒絕域,則拒絕原假設,接受備擇假設；反之,則接受。二、假設檢驗的兩類錯誤1、棄真錯誤棄真錯誤，又稱為第一類錯誤，指的是否定了未知的真實狀態(tài)，把正確的原假設當成了假的而加以拒絕的錯誤。這

7、是在拒絕原假設時可能出現(xiàn)的錯誤。犯棄真錯誤的概率就是顯著性水平。2、納偽錯誤納偽錯誤，又稱為第二類錯誤，指的是接受了未知的不真實狀態(tài)，把錯誤的原假設當成了真的而加以接受的錯誤。這是在接受原假設時可能出現(xiàn)的錯誤。犯納偽錯誤的概率的大小是不確定的。它的數(shù)值大小取決于真實的和原假設中的的偏離程度。越小, 犯納偽錯誤的概率越大；反之，越大,的數(shù)值就越小。（下圖中陰影部分的面積）在樣本容量一定的情況下, 不可能同時減小犯兩類錯誤的概率。要想同時減小犯兩類錯誤的概率，就只能增加樣本容量。第三節(jié) 單總體假設檢驗一、大樣本假設檢驗（一）大樣本總體均值的假設檢驗在大樣本情況下，總體均值的假設檢驗的統(tǒng)計量為：1、

8、雙邊檢驗： （ 拒絕域為： ）2、右側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）3、左側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）圖5-3-1 大樣本總體均值的假設檢驗例、某部門統(tǒng)計報表顯示,該部門職工的人均月收入為1500元。為檢查統(tǒng)計報表的正確性，在該部門職工中抽查了60人，抽查結(jié)果為：元，問該部門統(tǒng)計報表中的人均月收入是否正確（）？解：本問題是在0.05下檢驗假設：。由于是大樣本，所以應選用作為檢驗統(tǒng)計量，在成立的條件下，。查標準正態(tài)分布表可得=1.96。因此，該雙邊檢驗的拒絕域為：。根據(jù)抽樣結(jié)果有， =4.3031.96所以,拒絕原假設,認為該部門的報表中的人均月收入不正確。由假設檢驗的原理及方法可知，假設檢

9、驗與區(qū)間估計其實是同一個問題的兩種不同的表述方法，假設檢驗的接受域也正是區(qū)間估計的置信區(qū)間。（二）大樣本總體成數(shù)的假設檢驗大樣本總體成數(shù)的假設檢驗的統(tǒng)計量為：1、雙邊檢驗： （ 拒絕域為： ）2、右側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）3、左側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）圖5-3-2 大樣本總體成數(shù)P的假設檢驗例、某縣近年的高考升學率都保持在30%左右，為提高升學率，該縣各校進行了一系列的教學改革。為檢查改革的成效，在該縣今年的應屆畢業(yè)生中抽查了100人，結(jié)果有38人考上大學。請問該縣各校的一系列教學改革是否取得成效（）？解：本問題是在0.05下檢驗假設：由于是大樣本，所以應選用作為檢驗統(tǒng)計量，在

10、成立的條件下，。查標準正態(tài)分布表可得=1.645。因此，該右側(cè)單邊檢驗的拒絕域為：。根據(jù)有關數(shù)據(jù)，得 =1.7461.645所以,拒絕原假設,認為該縣的教學改革取得了成效。二、小樣本假設檢驗在小樣本情況下，檢驗統(tǒng)計量的分布與總體分布有關。（一）單正態(tài)總體的均值檢驗1、已知總體均值的假設檢驗的統(tǒng)計量為: （1）雙邊檢驗： （ 拒絕域為： ）（2）右側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）（3）左側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）圖5-3-3 單正態(tài)總體均值的假設檢驗(已知)例、某廠生產(chǎn)的某種螺栓的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，設備維修后，從新生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽查20個，測得=21mm。若方差沒有發(fā)生變化

11、，問設備維修后，螺栓的直徑有沒有顯著變化（）？解：本問題是在0.05下檢驗假設：由于是正態(tài)總體及小樣本，且已知，所以應選用作為檢驗統(tǒng)計量，在成立的條件下，。查標準正態(tài)分布表可得1.96。因此，該雙邊檢驗的拒絕域為：。根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，可得 =3.7271.96所以,拒絕原假設,認為設備維修后螺栓的直徑發(fā)生了變化。2、未知總體均值的假設檢驗的統(tǒng)計量為: （1）雙邊檢驗： （ 拒絕域為： ）（2）右側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）（3）左側(cè)單邊檢驗： （ 拒絕域為： ）圖5-3-4 單正態(tài)總體均值的假設檢驗(wei 3知)例、某糖廠用自動打包機裝糖，每袋糖的額定重量為50千克，設每袋糖的重量服從正態(tài)分

12、布。每天開工后，都要檢查打包機所裝糖包的重量是否符合標準。某天開工后抽查了12包，測得平均包重為49.32千克,標準差為1.35千克。問該天打包機工作是否正常（0.05）？解：本問題是在0.05下檢驗假設：由于是小樣本，總體方差又未知，所以應選用=作為檢驗統(tǒng)計量，在成立的條件下，。查分布表可得=2.201。因此，該雙邊檢驗的拒絕域為：。根據(jù)上述抽樣結(jié)果，有 2.201所以,接受原假設,認為打包機工作正常。（二）單正態(tài)總體的方差檢驗總體方差的假設檢驗的統(tǒng)計量為:（1）雙邊檢驗 （ 拒絕域為： ）（2）右側(cè)單邊檢驗 （ 拒絕域為： ）（3）左側(cè)單邊檢驗 （ 拒絕域為： ）圖5-3-5 單正態(tài)總體方

13、差的假設檢驗例、某廠生產(chǎn)某種型號的螺釘，要求其長度的方差不超過2mm。今從某批該型號的螺釘中抽出10顆，測得樣本方差2.38mm,設該螺釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布。問這批螺釘?shù)拈L度的方差是否合乎標準（0.05）？解：本問題是在0.05下檢驗假設：2：2應選用作為檢驗統(tǒng)計量，在成立的條件下，。查分布表可得臨界值=16.919。因此，該檢驗的拒絕域為：16.919。根據(jù)題中數(shù)據(jù),有 =10.7116.919所以,接受原假設,認為這批螺釘?shù)拈L度的方差合乎標準。復習思考題1、據(jù)有關部門統(tǒng)計，某市歷年的年人均醫(yī)療費支出為564元。該市最近執(zhí)行了一項新的門診病人治療收費標準。然后抽查了150人，抽查結(jié)果為：元，

14、問該標準實施后該市的年人均醫(yī)療費支出有無明顯下降（）？2、某單位即將進行換界選舉，為了解該單位職工對某候選人的支持度，組織部門在該單位職工中隨機抽查了100人，結(jié)果有72人對該候選人表示支持，請在顯著性水平下，檢驗該單位職工對該候選人的支持度不低于75%的假設。3、某部門工作人員去年人均不到崗天數(shù)為16.2天，標準差為5.8天。部門領導為整頓工作紀律，解決人員長期缺勤的問題，對勞動報酬制度進行了修改，規(guī)定無故缺勤者按缺勤天數(shù)扣發(fā)當月津貼。此規(guī)定實施后，對20名工作人員的進行初步調(diào)查的結(jié)果表明，平均不到崗天數(shù)下降為9.3天。若該部門工作人員人均不到崗天數(shù)服從正態(tài)分布，且方差沒有發(fā)生變化。問該規(guī)定的實施是否有效地解決了該部門人員長期缺勤的問題？（）4、有關資料顯示，某地區(qū)職工的工資水平服從平均數(shù)為1