第1章常微分方程

1、第一章 初等積分法微分方程的古典內(nèi)容主要是求方程的解，用積分的方法求常微分方程的解，叫做初等積分法，而可用積分法求解的方程叫做可積類型。初等積分法一直被認為是常微分方程中非常有用的基本解題方法之一，也是初學(xué)者必須接受的最基本訓(xùn)練之一。在本章學(xué)習(xí)過程中，讀者首先要學(xué)會準(zhǔn)確判斷方程的可積類型，然后要熟練掌握針對不同可積類型的5種解法，最后在學(xué)習(xí)指導(dǎo)下的幫助下，總結(jié)一下初等積分法中的各種解法與特點與內(nèi)在聯(lián)系，以提高自己的解題能力與技巧。主要內(nèi)容回顧一、主要概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式。常微分方程：未知函數(shù)是一個變元的函數(shù)，由這樣的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式。偏微分方程：未知函數(shù)是兩個

2、或兩個以上變元的函數(shù)，由這樣的未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式。微分方程的階：在微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階。微分方程的解：一個函數(shù)代入微分方程中去，使得它成為關(guān)于自變量的恒等式，稱此函數(shù)為微分方程的解。通解：n階方程，其解中含有n個（獨立的）任意常數(shù)，此解稱為方程的通解。由隱式表出的通解稱為通積分。特解：給通解中的任意常數(shù)以定值，所得到的解稱為特解，由隱式給出的特解稱為特積分。初值問題：求微分方程滿足初值條件的解的問題。變量可分離方程：形如 或 的方程稱為變量可分離方程。齊次微分方程：形如的方程，稱為齊次微分方程。 線性微分方程：未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程。一階線

3、性微分方程：一階線性微分方程的形式是 如果,即 稱為一階線性齊次方程。如果不恒為零，則稱為一階線性非齊次方程。 伯努利（Bernoulli）方程：形如 () 的方程，稱為伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一階方程 的左端恰好是一個二元函數(shù)的全微分，即 則稱是全微分方程或恰當(dāng)方程，而函數(shù)稱為微分式的原函數(shù)。積分因子：假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)，使方程成為全微分方程，我們就把稱為方程的一個積分因子。二、主要定理定理1.1 假如是微分的一個原函數(shù)，則全微分方程（5）的通積分為 ，其中C為任意常數(shù)。定理1.2 如果方程中的在矩形區(qū)域 上連續(xù)可微，則方程（5）是全微分方程的充要條件是：在R上有三、基

4、本解法初等積分法中有5中基本解法，每中解法所對應(yīng)的可積類型可歸納如下：對于導(dǎo)數(shù)已解出的一階方程，有分離變量法常數(shù)變易法 積分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。對于導(dǎo)數(shù)未解出的一階方程有參數(shù)法對于高階方程有降階法教學(xué)基本要求1了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程方程類型的判斷方法。2了解變量分離方程的類型，熟練掌握變量分離方程解法。3了解齊次方程的類型，熟練掌握齊次方程（即第一類可化為變量可分離的方程）的解法。4了解一階線性方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法，掌握伯努利方程的解法。5了解全微分方程的類型及積分因子概念，熟練掌握全微分方程及簡單積分因子的求法。6了解一階隱式微分

5、方程的可積類型，掌握隱式方程類型I、II的參數(shù)解法7了解可降階的高階方程的可積類型，掌握高階方程的三種降階法。8學(xué)會對應(yīng)用問題建立常微分方程的一般步驟。重難點解析1初等積分法簡史1676年Leibniz在Newton的信中，首次提出了“微分方程”這個名稱。Leibniz在1691年給出了一階方程的變量分離法和齊次方程解法，一階線性方程的解法和Bernlulli方程的解法也是由Leibniz分別在1694年和1695年完成的。17331735年，Euler提出了全微分方程（恰當(dāng)方程）和積分因子的解法以及通解、特解等概念。1694年，Leibniz和John Bernoulli提出了等角軌跡問題，

6、而等角軌跡與正交軌線的解法是1715年由Newton完成的。這樣，求解一階方程的主要初等積分法到1715年都已清楚了。2關(guān)于通解的定義在微分方程發(fā)展的早期，通解是作為一個方程全部解的共同表達式加以理解的，后來，在具體應(yīng)用上遇到許多困難：首先，判斷一個解的表達式是否已表示了全部解是困難的；其次，這樣的表達式是否一定存在也是一個問題。11節(jié)所給出的通解的定義，其主要功用在于，如果通解表達式存在，由于通解中的任意常數(shù)是獨立的，這樣對于一定范圍內(nèi)給出的初值條件，可以確定出初值問題解。從這個意義上講，通解包含了一個方程的全部解。3通解是否一定包含了全部解不是。例如，1.1節(jié)中的方程有通解，另外該方程還有

7、常數(shù)解不包含在通解中。4是否任何一個方程都有通解不是。例如，方程，只有解，而無含任意獨立常數(shù)的通解。5常微分方程與其它方程的關(guān)系我們學(xué)過的方程主要有兩類方程。第一類是代數(shù)方程和超越方程。例如，在方程 中，對未知數(shù)所施加的是代數(shù)運算，因此，它們都是代數(shù)方程。在方程 中，出現(xiàn)了對未知量的超越方程。第二類是隱函數(shù)方程，例如 （設(shè)是自變量，則是未知函數(shù)），兩類方程都是要求解，然而，第一類方程的解是求未知量的某些個特定值，第二類方程是要求由方程所確定的某個函數(shù)。一般地，第二類方程統(tǒng)稱為函數(shù)方程。從這個問題上講，常微分方程是最要的函數(shù)方程的一種。6一階顯式方程初等積分法的內(nèi)在關(guān)系用積分因子的觀點可以把1.

8、2節(jié)1.5節(jié)所介紹的五種可積類型方程（變量可分離方程，齊次方程，線性方程，伯努利方程幾及全微分方程）如圖所示：變量可分離方程 線性方程齊次方程 全微分方程 坐標(biāo) 平移 伯努利方程 一階顯式方程可積類型關(guān)系圖7積分因子是否唯一不是。例如，考慮方程，顯然它不是全微分方程。但是，因為 所以，都是此方程的積分因子。一般地，設(shè)是方程的一個積分因子，于是存在二元函數(shù)，有?，F(xiàn)對于的任一連續(xù)函數(shù)，由于其中是的一個原函數(shù)，可見也是方程的積分因子，因而方程有無窮多個積分因子。8判斷題型的順序為了熟練掌握初等積分法，不僅要掌握每種可積類型方程的解法，而且還要正確而又敏捷地判斷一個給定方程屬于何種可積類型。在判斷題型

9、時，經(jīng)驗告訴我們，可以按如下順序判斷，即： 階顯次 即 線性方程 伯努利方程 顯式方程 齊次方程 一階方程 非線性方程 變量可分離方程 階 隱式方程 全微分方程 高階方程 （積分因子） 判斷順序，由左向右，通常積分因子在最后加以考慮。計算題類型及其解法一、一階微分方程類型及其解法 表一方程類型及其表達式解法及其解的表達式變量可分離方程兩邊乘以，令則通解為 若有使得，則也是其解。齊次型方程或者其中是關(guān)于的零次齊次函數(shù)令，則，故，利用，有，有，利用變量分離方程的解法，其通解為 一階線性方程用常數(shù)變易法：（1）求對應(yīng)齊次方程的通解（利用齊次方程的解法）（2）令原方程的解為（3）代入原方程整理得得到（

10、4）原方程的通解為方程類型及其表達式解法及其解的表達式恰當(dāng)方程（全微分方程）其中 通解為，其中（或者通解為）伯努利方程其中n為常數(shù)且和1以乘方程的兩邊，得令，有這是一個關(guān)于未知函數(shù)的一階線性方程不顯含未知函數(shù)的二階方程或令，則，原函數(shù)化為是一個一階方程，設(shè)其解為即，則原方程的通解為不顯含的二階方程或令，把看作的函數(shù)，則,把的表達式代入原方程得 是一個一階方程設(shè)其解為即則原方程的通解為（注：對于微分方程，在方程兩邊乘以函數(shù)后的微分方程為全微分方程，則稱為原微分方程的積分因子。二階微分方程為），有四個變數(shù)，僅當(dāng)缺少或時一定可以降階求解。對既不含的二階微分方程，可視為左邊兩類可降階方程的特解情況。）

11、 表二原微分方程積分因子化為全微分方程二、典型例題1.變量可分離的方程的求解【題型特點與解題技巧】判斷為變量分離方程后，在變量分離的同時，會漏掉一部分解，要在最后補上，在作適當(dāng)變換把原方程化為變量分離方程求解后，一定要還原為原變量。例1 求解下面微分方程： 解：該方程是可分離變量。用去除方程，則有 變量可分離方程的解法 積分上式，得 ， 因此，方程的通解是。顯然即是原方程的解，而此解在通解中令得到。例2 求解微分方程：變量可分離方程 解：令 ，得 代入原方程，經(jīng)整理，得 ，兩邊積分得：，還原變量，得：變量可分離方程 例3求解微分方程： 解： 分離變量，方程化為 兩端積分，即得通積分 （）整理，

12、得方程通解 （）例4求解微分方程： 解：分離變量，方程化為 兩端積分，得 因此，上式即為方程的通解。例5求解微分方程滿足初值條件的解。求可分離變量初值問題的解解：原方程可改寫為 分離變量，得 兩端積分，得 將代入上式，得 ，則所求解為 例6求解微分方程滿足初值條件的解。解：原方程可改寫成 兩端積分，得 又由 ，有故所求方程的特解為：2齊次型方程的求解【題型特點與解題技巧】此類方程的求解方法要點是利用變量變換將原方程化為變量分離方程對于形式為方程，通常令例7求解方程解：這是齊次方程，以及代入，則原方程變?yōu)榧?將上式變量分離，得 兩邊積分，整理得 此外方程還有解 即 若要 允許 則包含在其中。故原

13、方程的通解是，C為任意常數(shù)。例8求解微分方程 解：設(shè) ，則得 此方程是齊次型，可設(shè) ，即得從而得 ，即 又由于 得 即 當(dāng)即時，也是原方程的解，而這已包含在通解之中（C=0）時，故原方程的通解為 ，C為任意常數(shù)。例9求微分方程滿足初始條件的特解。解：原方程改寫為這是齊次型方程。令，代入原方程得 分離變量并積分得 得 即 將 代入上式得 由 ，得 ，則所求解為，即 3一階線性微分方程的求解【題型特點與解題技巧】對于一階齊線性方程（即為變量分離方程）的求解，參見題型一，對于一階非齊次線性方程的求解利用常數(shù)變易法。注意此類型在考研中出現(xiàn)的頻率很高。例10求解微分方程 （1）解：先求化方程為 的通解。

14、由于 其次利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解。為此，在上式中把C看成為的待定函數(shù)，即 積分之，得到 將上兩式代入原方程，并整理后得 故原方程的通解為 ，C為任意常數(shù)。也可利用通解公式直接求之。例11求解微分方程 解：先解對應(yīng)齊次方程 （1）將（1）式變形得到 兩端同時積分得 即 下面用常數(shù)變易法解原方程的解。設(shè) 是原方程的解，則 代入原方程得 即 兩端同時積分，得所以，原方程的通解為 即 例12求解微分方程 （1） 的通解解：先求（1）式所對應(yīng)的齊次微分方程 （2）的通解上式化簡后得 兩端同時積分，得 常數(shù)變易法令 是（1）的通解，則代入（1）式，得解得 所以原方程的通解為例13求微分方程

15、（1）解：將上式化簡得 （2）（2）式所對應(yīng)的齊次方程的通解為令 是方程（1）的通解，因此有 將上式代入（1）得整理后得 即 （3）所以，微分方程（1）的通解為 4全微分方程的求解【題型特點與解題技巧】對于形式為的微分方程，若能驗證，則其為全微分方程，進一步可求得其解。若不成立，則可利用積分因子。具體做法見以下例子。例12驗證下面微分方程是否為全微分型并求解解：設(shè) 因為 ，所以所給微分方程是全微分型。利用全微分方程的通解公式，有全微分方程的通解公式故通解為 （C為任意常數(shù)）例13求解微分方程 解法1 設(shè)，由于 ，故所給微分方程為全微分型。由通解公式，得故其通解為，C為任意常數(shù)。解法2 利用簡單

16、全微分湊微分 原方程可以寫為 有 故有 ，即得原方程的通解為 C為任意常數(shù)。例14 求解微分方程 解：因為，故方程為全微分方程。把方程重新“分項組合”，得到即 或為 于是，方程的通解為，C為任意常數(shù)。例15求解微分方程解： 可驗證其不是全微分方程，利用積分因子，在方程兩邊除以，得 即 在方程兩邊乘以，便有利用全微分方程通解公式 ，即得方程通解為 即 ，C為任意常數(shù)。例16求解微分方程 （1）解：通過觀察，知方程有積分因子 由表二可知以乘方程（1），得 （2）因為 ，于是方程（2）可化為因而方程（1）的通積分為例17求解微分方程 （1）解：可知方程有積分因子由表二可知 方程（1）稱以，得 （2）

17、因為 ，所以方程（1）的通積分為例18求方程 （1）的積分因子。解：因為 ，,知 所以此方程不是全微分方程，但是 為只含的函數(shù)，所以方程（1）存在只含的積分因子，且 方程（1）稱以積分因子，得全微分方程 5伯努利（）方程的求解【題型特點與解題技巧】首先判斷方程類型為方程，為常數(shù)。利用變量變換可將其化為線性方程，則可按上面介紹的方法求得它的通解，然后代回原來的變量，便得到原方程的通解。此外，當(dāng)時，方程還有解 例19求解微分方程 解：原方程可變?yōu)榉匠?設(shè) ，則可得線性方程 ，即 它的通解為線性方程的通解公式 代回原來的變量，得 即為 例20求方程的通解解：這是時的方程。令 ，可得 ，代入原方程得

18、這是線性方程，它的通解為 線性方程的通解公式 代回原來的變量，得到或者為 即為原方程的通解。此外，方程還有解 例21求微分方程 滿足初始條件的特解解：原方程改寫為 線性方程的通解公式兩邊同除以 ，得 令 ,原方程化為線性方程 它的通解為 由 知 ，【小 結(jié)】審視方程，判斷方程類型，根據(jù)不同類型，確定解題方案，故判斷一個一階方程是屬于哪一類方程便十分重要。必要的時候可作變量變換。要熟練掌握湊微分的技巧。（必須熟悉初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分）6可降階的二階微分方程【題型特點與解題技巧】判斷二階微分方程只要缺少或即可利用表一的解法。例22求解方程解：此方程不含，故可設(shè)，從而，故 ，（1）當(dāng)時，由得 ，即 積分上式，得 即 改寫任意常數(shù)后得也是方程的解，不過這已包含在通解當(dāng)中。（2）當(dāng)時，可得，這也包含在通解中。例23 求解微分方程