相似專項(xiàng)訓(xùn)練

1、 相似 專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1證明三角形相似的方法要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)：(1)已知角相等時(shí)，找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(2)無(wú)法找到角相等時(shí)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(3)考慮平行線截三角形相似定理及相似三角形的“傳遞性”利用平行線判定兩三角形相似1如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于點(diǎn)P，Q.(1)請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1除外)；(2)求BP:PQ:QR.(第1題)利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似2下面關(guān)于直角三角形相似敘述錯(cuò)誤的是()A有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩

2、個(gè)直角三角形相似B兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似C有一條直角邊相等的兩個(gè)直角三角形相似D兩個(gè)等腰直角三角形相似3如圖，BCAD，垂足為C，AD6.4，CD1.6，BC9.3，CE3.1，求證：ABCDEC.(第3題)利用角判定兩三角形相似4如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)，與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的長(zhǎng) (第4題)利用邊角判定兩三角形相似5如圖，AB3AC，BD3AE，又BDAC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上(第5題)求證：ABDCAE.利用三邊判定兩三角形相似6如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是

3、AB，AC的中點(diǎn)求證：DEFABC.(第6題)專訓(xùn)2巧作平行線構(gòu)造相似三角形解題時(shí)，往往會(huì)遇到要證的問(wèn)題與相似三角形聯(lián)系不上或者說(shuō)圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點(diǎn)時(shí)，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q，求BP:PQ:QD.(第1題)過(guò)頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2如圖，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BFAF32，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延

4、長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求的值(第2題)3如圖，過(guò)ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E.求證：AE:ED2AF:FB.(第3題)過(guò)一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使ADAE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.求證：.(第4題)過(guò)一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形5如圖，在ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AEAB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC2CD.專訓(xùn)3用線段成比例法解四邊形問(wèn)題利用線段成比例不僅能解三角形問(wèn)題，還能解四邊形問(wèn)題在中考中涉及相似、線段成比例的四邊形的題型有填空題、選擇

5、題、解答題，是中考熱門命題點(diǎn)之一一、選擇題1如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，則AN()(第1題)A3 B4 C5 D62如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB8，AD6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點(diǎn)為F，則CEF的面積為()(第2題)A. B. C2 D43如圖，在平行四邊形ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BGAE于G，BG4，則EFC的周長(zhǎng)為()A11 B10 C9 D8(第3題)(第4題)二、填空題4如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C

6、重合，折痕為EF，若AB4，BC2，那么線段EF的長(zhǎng)為_三、解答題5如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.(1)設(shè)RtCBD的面積為S1，RtBFC的面積為S2，RtDCE的面積為S3，則S1_S2S3(填“>”“”或“<”)；(2)寫出圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明(第5題)6如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，沿直線MN對(duì)折，使A，C重合，直線MN交AC于O.(1)求證：COMCBA；(2)求線段OM的長(zhǎng)度(第6題)7如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，

7、且AFEB.(1)求證：ADFDEC；(2)若AB8，AD6，AF4，求AE的長(zhǎng)(第7題)8如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DECF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接DF.(1)求證：ADEDCF.(2)若E為CD的中點(diǎn)，求證：Q為CF的中點(diǎn)(3)連接AQ，設(shè)SCEQS1，SAEDS2，SEAQS3，在(2)的條件下，判斷S1S2S3是否成立？并說(shuō)明理由 (第8題)9如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連接AE，作BFAE，垂足為H，交CD于F，作CGAE，交BF于G.求證：(第9題)(1)CGBH；(2)FC2BF·GF；(3).

8、10如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：APBAPD；(2)已知DFFA12，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)(第10題)專訓(xùn)4用線段成比例法解與圓有關(guān)問(wèn)題線段成比例法求解有關(guān)線段問(wèn)題在三角形、四邊形中有著廣泛的應(yīng)用，是近幾年中考命題的必考內(nèi)容；在中考中，它的另一重點(diǎn)是與圓的知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查；題型既有選擇題、填空題，也有解答題，也常以壓軸題的形式出現(xiàn)一、選擇題1如圖，已知ABC，ABBC，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的O的切線交BC

9、于點(diǎn)E.若CD5，CE4，則O的半徑是()A3 B4 C. D. (第1題) (第2題)2如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，弦AD平分BAC，交BC于點(diǎn)E，AB6，AD5，則AE的長(zhǎng)為()A2.5 B2.8 C3 D3.23如圖，A，B，C，D是O上的四個(gè)點(diǎn)，ABAC，AD交BC于點(diǎn)E，AE3，ED4，則AB的長(zhǎng)為()A3 B2 C. D3 (第3題) (第4題)二、填空題4如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在圓上，CDAB，DEBC，則圖中與ABC相似的三角形有_個(gè)5如圖，直線l與半徑為4的O相切于點(diǎn)A，P是O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過(guò)點(diǎn)P作PBl，垂足為B，連接PA.設(shè)PAx，PBy，則x

10、y的最大值是_(第5題)三、解答題6如圖，AB是O的直徑，AC是O的弦，過(guò)點(diǎn)B作O的切線DE，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，作AEAC交DE于點(diǎn)E.(1)求證：BADE；(2)若O的半徑為5，AC8，求BE的長(zhǎng)(第6題)7如圖，在ABC中，BABC，以AB為直徑作半圓O，交AC于點(diǎn)D，連接DB，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，垂足為點(diǎn)E.(1)求證：DE為半圓O的切線；(2)求證：DB2AB·BE.(第7題)8如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D在圓O上，且AD平分CAB.過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證：EF與圓O相切；(2)若AB6，AD4，求EF的長(zhǎng)(

11、第8題)9如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，CAB的平分線交O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F.(1)猜想ED與O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB6，AD5，求AF的長(zhǎng) (第9題)10如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，DBCBED.(1)求證：BC是O的切線；(2)已知AD3，CD2，求BC的長(zhǎng)(第10題)11如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，AE和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AC，BC，PBPC12.(1)求證：AC平分BAD；(2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若

12、AD3，求ABC的面積 (第11題) 1解：(1)BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ.(2)四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形BCADCE，ACDE，BCPBER，則，BPPR，.點(diǎn)R是DE的中點(diǎn)，DRRE.又PCDR，.QR2PQ.又BPPRPQQR3PQ，BPPQQR312.2C3證明：AD6.4，CD1.6，ACADCD6.41.64.8.3.又3，.又BCAD，ACBDCE90°，ABCDEC.(第4題)4(1)證明：ABC是等邊三角形，AACB60°.ACF120°.CE是外角平分線，ACEACF×120°

13、;60°.AACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)解：如圖，作BMAC于點(diǎn)M，則AMCM3，BM3.AD2CD，CD2，AD4.則MD1.在RtBDM中，BD2.由ABDCED得，即2，ED.BEBDED3.5證明：BDAC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上，DBACAE，又3，ABDCAE.方法規(guī)律：本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和演繹推理，通過(guò)已知條件尋找兩邊成比例并且?jiàn)A角相等，從而證明兩三角形相似6證明：AD是ABC的高，ADBD.又E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)在RtABD中，DE為斜邊AB上的中線DEAB，即.同理.EF為ABC的中位線，EFBC，即.DEFABC.1解：如圖，連接D

14、F，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BEEFFC.D是AC的中點(diǎn)，ADCD.DF是ACE的中位線DFAE，且DFAE.DFPE.BEPBFD.BF2BE，BD2BP.BPPD.DF2PE.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQFDQ.設(shè)PEa，則DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.(第1題)(第2題)2解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGAB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.CGAB，DAFG.又D為CF的中點(diǎn)，CDDF.在ADF和GDC中，ADFGDC(AAS)AFCG.BFAF32，ABAF52.ABCG.ABEGCE.3證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BNCF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.，ECDNB

15、D.又CDEBDN，EDCNDB.BDCD，EDDNEN.AEED2AFFB.(第3題)(第4題)4證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFAB交DP于點(diǎn)F，PCFPBD.ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.5證明：(方法一)過(guò)點(diǎn)C作CFAB，交DE于點(diǎn)F，CDFBDE.點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，AMCM.CFAB，BACMCF.又AMECMF，AMECMF.AECF.AEAB，BEABAE，BE3AE.，即BD3CD.又BDBCCD，BC2CD.(方法二)過(guò)點(diǎn)C作CFDE，交AB于點(diǎn)F，.又點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，AC2AM.2AEAF.AEEF.又AEAB，2.又C

16、FDE，2.BC2CD.(方法三)過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F，AEFABC.由AEAB，知，EFBC，AFAC.EFCD，EFMDCM，.又AMMC，MFMC，EFCD.BC2CD.(方法四)過(guò)點(diǎn)A作AFBD，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AEFBED.AEAB，AEBE.AFBD.由AFCD，易證得AFMCDM.又AMMC，AFCD.CDBD.BC2CD.點(diǎn)撥：由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構(gòu)造相似一、1.B2.C3.D二、4.三、5.解：(1)(2)BCFDBCCDE；選BCFCDE，證明：在矩形ABCD中，BCD90°，且點(diǎn)C在邊EF上，BCFDCE90

17、76;.在矩形BDEF中，F(xiàn)E90°，在RtBCF中，CBFBCF90°，CBFDCE，BCFCDE.(答案不唯一)6(1)證明：由折疊可知，COM90°，BCOM.又MCOACB，COMCBA.(2)解：AB6，BC8，AC10，OCAC5，COMCBA，即，OM.7(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，CB180°，ADFDEC.AFDAFE180°，AFEB，AFDC.在ADF與DEC中，ADFDEC.(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB8.由(1)知ADFDEC，DE12.在RtADE中，由勾股定理得AE

18、6.8(1)證明：由ADCD，ADEDCF90°，DECF得ADEDCF.(2)證明：易證ADEECQ，所以.因?yàn)?，所以，即點(diǎn)Q是CF的中點(diǎn)(3)解：S1S2S3成立理由：因?yàn)锳DEECQ，所以，所以.因?yàn)镃AEQ90°，所以AEQECQ，所以AEQECQADE，所以，所以.因?yàn)镋Q2AE2AQ2，所以S1S2S3.9證明：(1)BFAE，CGAE，BAHABH90°，CGBF.CBGBCG90°.在正方形ABCD中，ABHCBG90°，BAHCBG，ABHBCG.ABBC，ABHBCG，CGBH.(2)BFCCFG，BCFCGF90°

19、;，CFGBFC，即FC2BF·GF.(3)CBGFBC，CGBBCF90°，BCGBFC，即BC2BG·BF.ABBC，AB2BG·BF，即.10(1)證明：點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，DAPPAB，ADAB.在APB和APD中，APBAPD(SAS)(2)解：APBAPD，DPPB，ADPABP.在DFP和BEP中，DFPBEP(ASA)，PFPE，DFBE.GDAB，F(xiàn)DGFAB，.DFFA12，.DGBE，DPGEPB，.PEPF，yx.當(dāng)x6時(shí)，y×64，PFPE4，DPPB6，F(xiàn)DGFAB，解得FG5，故線段FG的長(zhǎng)為5.

20、方法規(guī)律：本題運(yùn)用了演繹推理，考查了相似三角形、全等三角形和函數(shù)知識(shí)，是一個(gè)綜合性的問(wèn)題推出，是解題的關(guān)鍵一、1.D2.B3.C二、4.45.2三、6.(1)證明：O與DE相切于點(diǎn)B，AB為O的直徑，ABE90°，BAEE90°.又DAE90°，BADBAE90°，BADE.(2)解：如圖，連接BC，AB為O的直徑，ACB90°.AC8，AB2×510，BC6.又BCAABE90°，BACE，ABCEAB，.BE.(第6題)(第7題)7證明：(1)如圖，連接OD.AB為半圓O的直徑，ADB90°.ABBC，D為AC

21、中點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，ODBC.DEBC，ODECED90°，DE為半圓O的切線(2)ABBC，ADB90°，CBDDBA.又ADBDEB90°，ADBDEB.，即DB2AB·BE.8(1)證明：連接OD，如圖因?yàn)镺AOD，所以O(shè)ADODA.又因?yàn)锳D平分BAC，所以O(shè)ADCAD，所以O(shè)DACAD.所以O(shè)DAE.又因?yàn)镋F垂直于AE，所以O(shè)D垂直于EF，所以EF與圓O相切(2)解：如圖，連接CD，BD，BC，則CDBD.因?yàn)锳B是直徑，所以ACBADB90°.又因?yàn)锳B6，AD4，所以BD2，所以CD2.因?yàn)镺ADCAD，ADBE90°，所以ADEABD，所以，所以，所以DE.在RtCDE中，CE.易得四邊形CEDG是矩形，所以DGCE，OGB90°.所以DG，OG3.在RtOGB中，GB.因?yàn)锳CBE90°，所以BCEF，所以O(shè)GBODF，所以，所以，所以DF.所以EFDEDF.(第8題)(第9題)9