矩陣特征值的運(yùn)算性質(zhì)及推廣

1、矩陣特征值的運(yùn)算性質(zhì)及推廣摘 要:本篇論文主要從五方面來進(jìn)行講解：引言；矩陣特征值的性質(zhì)；矩陣特征值的應(yīng)用推廣；分塊矩陣的性質(zhì)；分塊矩陣特征值應(yīng)用推廣。由于本篇論文是要以矩陣特征值性質(zhì)的應(yīng)用為主題，首先介紹總結(jié)了矩陣的一些基本概念及矩陣基本運(yùn)算，然后在文中著重闡述了矩陣特征值性質(zhì)，羅列出相關(guān)引理并予以證明,然后通過五種類型的矩陣特征值的應(yīng)用例子將矩陣特征值的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行推廣。將矩陣拓展到分塊矩陣，討論分塊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 矩陣，特征值，特征向量，特征方程，特征多項(xiàng)式 The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui hai

2、yang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic c

3、oncepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue,

4、 Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1 引 言矩陣計(jì)算領(lǐng)域在不斷的發(fā)展和成熟，作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它是眾多理工學(xué)科重要的數(shù)學(xué)工具，矩陣?yán)碚摷仁墙?jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，是數(shù)學(xué)的一個重要且目前仍然非?；钴S的領(lǐng)域，又是一門最有實(shí)用價值的數(shù)學(xué)理論，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程計(jì)算的核心，已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系強(qiáng)有力的工具.計(jì)算機(jī)科學(xué)和工程問題很多都可以轉(zhuǎn)化成矩陣的運(yùn)算與求解，特別是計(jì)算機(jī)普及應(yīng)用為矩陣論的應(yīng)用開辟了廣泛的前景.隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)的知識已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩

5、陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具.半個多世紀(jì)以來，計(jì)算機(jī)已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域，使得矩陣?yán)碚摰闹匾栽絹碓斤@著，這是因?yàn)橛镁仃嚴(yán)碚摵头椒ń鉀Q現(xiàn)代工程技術(shù)中的各種問題，不僅表述簡潔，便于進(jìn)行研究，而且更具有適合計(jì)算機(jī)處理的特點(diǎn)，電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的迅速發(fā)展為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了更廣闊的前景。矩陣?yán)碚撛诟鲗W(xué)科領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、控制論、力學(xué)、電子學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、保險、社會科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ灿兄种匾膽?yīng)用.目前在高等院校，矩陣論（或稱為矩陣分析、矩陣?yán)碚?、?/p>

6、陣方法等）已經(jīng)列為工科研究生的必修課程.但是對本科學(xué)生來說，一般只作為選修課程（也有為數(shù)不多的院校把它列為必修課），學(xué)生學(xué)到的矩陣?yán)碚撝R與方法非常有限，無法適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展.本課題引入幾種在矩陣的理論和計(jì)算方法中有重要應(yīng)用的特殊的矩陣乘法運(yùn)算，深入討論矩陣特征值的研究意義，以及矩陣特征值的應(yīng)用. 2. 矩陣特征值的性質(zhì)與應(yīng)用 2.1 矩陣特征值的性質(zhì)設(shè)是階方陣,如數(shù)與維非零列向量使關(guān)系式成立,則稱數(shù)為方陣的特征值,稱為的對應(yīng)于的特征向量；稱為特征多項(xiàng)式，稱為特征方程5.性質(zhì)16設(shè)為階方陣,為的個特征值,則.性質(zhì)26方陣可逆的個特征值都不為零.性質(zhì)36設(shè)為方陣的特征值，為的多項(xiàng)式,則

7、為的特征值.性質(zhì)46不為方陣的特征值.性質(zhì)56(凱萊哈密頓定理)設(shè)階方陣的特征多項(xiàng)式為,則.性質(zhì)66設(shè)階方陣的個特征值為,且為對應(yīng)的個線性無關(guān)的特征向量,記,則性質(zhì)76設(shè)為階實(shí)對稱陣, 是它的個特征值,則(1)當(dāng)且僅當(dāng)都大于零時, 正定;(2)當(dāng)且僅當(dāng)都小于零時, 負(fù)定;(3)當(dāng)且僅當(dāng)都非負(fù),但至少一個等于零時, 是半正定;(4)當(dāng)且僅當(dāng)都非正,但至少一個等于零時, 是半負(fù)定;(5)當(dāng)且僅當(dāng)中既有正數(shù),有又負(fù)數(shù)時, 是不定的. 2. 2矩陣特征值的應(yīng)用 2. 2. 1 求方陣的行列式以及的多項(xiàng)式的行列式7.例1已知三階矩陣的特征值為1,-1,2,設(shè),求：；.解: 由性質(zhì)1可得；因,由性質(zhì)3可知

8、的特征值為, , .故.的特征多項(xiàng)式為,令,得，故：.例2設(shè)是的特征值, ,求.解: 因是的特征值,既有,故. 2. 2. 2判斷方陣及的可逆性7.例 3 設(shè) ,問當(dāng)為何值時，可逆.解：因,故,為的三個特征值,由性質(zhì)4可知,當(dāng)時,可逆.例 4設(shè)矩陣滿足,證明可逆.證明：設(shè),則,因,即有,即,而,只有,于是,可知3不是的特征值,所以,即可逆. 2. 2. 3求方陣,的逆陣及的次冪7.例 5 設(shè),求;.解： ,由性質(zhì)5有,故由,可知0不是的特征值,由性質(zhì)2知可逆.而,故,故注：用此法可將都化作的次數(shù)小于等于3的多項(xiàng)式,從而簡化的計(jì)算.例 6設(shè)3階方陣的特征值為;對應(yīng)的特征向量依次為.求 (為大于1

9、的整數(shù)).解: 因線性無關(guān),記,由性質(zhì)6有所以故 于是當(dāng)為偶數(shù)時，；為奇數(shù)時，注：此法當(dāng)可以對角化時才可使用.例 7設(shè)3階實(shí)對稱陣的特征值為6,3,3,與特征值6對應(yīng)的特征向量為,求.解：設(shè)對應(yīng)于3的特征向量為,因?qū)崒ΨQ陣的不同特征值下的特征向量正交,即有,即的分量滿足.又因特征值3的重?cái)?shù)為2,所以對應(yīng)于3恰有兩個線性無關(guān)的特征向量,顯然的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于3的兩個線性無關(guān)的特征向量.由得它的一個基礎(chǔ)解系為.令，由性質(zhì)6有.故. 2. 2. 4 求方陣的多項(xiàng)式7.例 8 設(shè),計(jì)算.解：，而，顯然.由性質(zhì)5可知，所以. 2. 2. 5判斷實(shí)對稱陣的正定性例 9設(shè)階實(shí)對稱陣正定,則存在矩陣,使,且

10、也是正定矩陣.證明: 因?yàn)閷?shí)對稱陣,故存在正交矩陣,使，其中為的個特征值.因正定，故有.于是令,故有,又因即與對角陣相似，相似矩陣的特征值相同，故為的個特征值，因，由性質(zhì)7知正定.3. 矩陣特征值的推廣 3. 1 分塊矩陣的性質(zhì)在高等代數(shù)中，矩陣的特征值問題是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，特征值對于線性變換的研究具有基本的重要性而我們在求一些階數(shù)較高和較復(fù)雜的矩陣特征值時，經(jīng)常會用矩陣的分塊去解決，這樣可以使問題的解決更簡明下面就分塊在矩陣特征值問題中的應(yīng)用進(jìn)行一些簡單的討論對普通矩陣作初等變換相當(dāng)于在矩陣左（或右）乘一個初等矩陣，同理，我們用廣義初等矩陣左（或右）乘一分塊矩陣，也就相當(dāng)于對分塊矩陣作一

11、次廣義行（或列）初等變換且對矩陣作若干廣義初等變換，其秩也不變性質(zhì)1 設(shè)是矩陣,是矩陣,證明的特征多項(xiàng)式與的特征多項(xiàng)式有關(guān)系:. 11 分析:我們先把上式改寫為因?yàn)槎际浅橄缶仃?我們無法把和直接算出來,但它們是兩個行列式的值,我們就不妨構(gòu)造出兩個矩陣來,使得它們的行列式為和,這樣,我們構(gòu)造分塊矩陣,要出現(xiàn)行列式,則我們對做初等變換,即左乘一個廣義初等分塊矩陣對上式求行列式,得到: (1)同理, 右乘一個矩陣兩邊取行列式得到: (2)由(1)和(2)命題得證階引理1 設(shè)為矩陣,則為冪等矩陣的充分必要條件是,為階單位矩陣,表示的秩.引理2 冪等矩陣與或相似,.性質(zhì)2 設(shè)均為階方陣,且.若,則的特征

12、值為1或0,且1的個數(shù)和它們的秩相等.分析:因?yàn)榻o出的矩陣并不是具體的,所以我們考慮用分塊矩陣初等變換來解這個題目. 12證明: (1) 可逆時,即,因?yàn)?所以,又,由已知得,由引理1得到,同樣,所以是冪等矩陣,由引理2, ,和,有相同的特征值,所以的特征值為1或0,且特征值1的個數(shù)和它們的秩相等.(2) 當(dāng)時,即,結(jié)論顯然成立.(3)設(shè),即為非零又不可逆矩陣.因?yàn)?故存在可逆矩陣,使,令這里 ,從而這樣,且,由(1)的證明可知,存在可逆矩陣,使設(shè)因?yàn)樗栽O(shè)同上可得，故又，從而（因?yàn)樯鲜鼍仃嚨闹葹椋?，同樣，及故有綜上所述，對于，結(jié)論都成立。從上面的討論我們知道，對于一些給出的不是具體的矩陣，如

13、果要計(jì)算或證明有關(guān)它的特征值問題時，我們一般都采用分塊矩陣的方法，這樣可以使解決過程變得簡潔當(dāng)然，分塊矩陣的應(yīng)用并不僅僅在于特征值問題上，對于一些求矩陣的逆或者計(jì)算行列式等問題時，同樣可以用分塊矩陣去解決，在這里就不討論了參考文獻(xiàn)1 雷紀(jì)剛,唐平,田茹矩陣論及其應(yīng)用M北京:機(jī)械工程出版社20052 程云鵬矩陣論M西北:工業(yè)大學(xué)出版社19993 史榮昌矩陣分析M北京:北京理工大學(xué)出版社20044 湯鳳香,方秀男矩陣 Khatri - Rao 積的推廣J黑龍江:佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)20075 楊忠鵬,馮曉霞矩陣特殊乘積之間關(guān)系J.西安:莆田高等?？茖W(xué)校學(xué)報20016 戴華矩陣論M北京:科學(xué)

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