牛頓運(yùn)動定律專題03動力學(xué)的臨界和極值問題

1、 §專題03：動力學(xué)的臨界和極值問題教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：新課引入：教學(xué)過程：一、臨界和極值 在應(yīng)用牛頓定律解決動力學(xué)問題中，當(dāng)物體運(yùn)動的加速度不同時(shí)，物體有可能處于不同的狀態(tài)，特別是題目中出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”等詞語時(shí)，往往會有臨界現(xiàn)象。此時(shí)要采用極限分析法，看物體在不同加速度時(shí)，會有哪些現(xiàn)象發(fā)生，盡快找出臨界點(diǎn)，求出臨界條件。在某些物理情境中，物體運(yùn)動狀態(tài)變化的過程中，由于條件的變化，會出現(xiàn)兩種狀態(tài)的銜接，兩種現(xiàn)象的分界，同時(shí)使某個(gè)物理量在特定狀態(tài)時(shí)，具有最大值或最小值。這類問題稱為臨界問題。在解決臨界問題時(shí)，進(jìn)行正確的受力分析和運(yùn)動分析，找出臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵。

2、1、相互接觸的物體，它們分離的臨界條件是：它們之間的彈力，而且此時(shí)它們的速度相等，加速度相同?！纠咳鐖D，在豎直立在水平面的輕彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計(jì)的薄板，將薄板上放一重物，并用手將重物往下壓，然后突然將手撤去，重物即被彈射出去，則在彈射過程中，（即重物與彈簧脫離之前），重物的運(yùn)動情況是（）FA、一直加速 B、先減速，后加速C、先加速、后減速D、勻加速答案：【例】如圖所示，勁度系數(shù)為的輕彈簧豎直固定在水平面上，上端固定一質(zhì)量為的托盤，托盤上有一個(gè)質(zhì)量為的木塊。用豎直向下的力將原長為的彈簧壓縮后突然撤去外力，則即將脫離時(shí)的彈簧長度為（ ） A、 B、 C、 D、答案： 【例】如圖所示，物體靜止

3、在臺秤的秤盤上，的質(zhì)量為，的質(zhì)量，彈簧質(zhì)量不計(jì)，勁度系數(shù)，現(xiàn)給施加一個(gè)豎直向上的力，使它向上做勻加速直線運(yùn)動，已知力在開始的內(nèi)是變力，此后是恒力，求的最大值和最小值。 答案：、解：由題意可知，它們將在時(shí)分離。分離時(shí)，它們之間的彈力。設(shè)它們加速時(shí)的加速度為，開始時(shí)彈簧的形變量，由開始運(yùn)動到分離時(shí)，的位移為。則：對彈簧：；對：；此時(shí)。分離時(shí)，彈簧的形變量為：；由牛頓第二定律：對：；對：；由以上各式可得：當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)。aPA45°【例】如圖所示，一細(xì)線的一端固定于傾角為的光滑楔形滑塊的頂端處，細(xì)線的另一端拴一質(zhì)量為的小球。當(dāng)滑塊至少以加速度向左運(yùn)動時(shí)，小球?qū)瑝K的壓力

4、等于零。當(dāng)滑塊以的加速度向左運(yùn)動時(shí)，線的拉力大小。 答案：、【例】一個(gè)質(zhì)量為的小球用細(xì)線吊在傾角的斜面頂端，如圖，斜面靜止時(shí)，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，不計(jì)摩擦，當(dāng)斜面以的加速度向右做加速運(yùn)動時(shí)，求繩的拉力及斜面對小球的彈力。 答案：、0【例】如圖所示，在傾角為的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊、。它們的質(zhì)量分別為、，彈簧的勁度系數(shù)為, 為一固定擋板。系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)開始用一恒力沿斜面方向拉物塊使之向上運(yùn)動，求物塊剛要離開時(shí)物塊的加速度和從開始到此時(shí)物塊的位移，重力加速度為。 答案：；?！纠咳鐖D所示，一根勁度系數(shù)為質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為的物體。手持一質(zhì)量為的

5、木板，向上托，使彈簧處于自然長度?，F(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度（）勻加速向下運(yùn)動，求：（1）經(jīng)過多長時(shí)間、分離。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。 答案：；最大：；最?。?。 解：分離時(shí)彈力為0，而且加速度為；開始運(yùn)動時(shí)力最大：對系統(tǒng)：；分離時(shí)力最?。簩Γ骸纠咳鐖D所示，木塊、的質(zhì)量分別為、，緊挨著并排放在光滑的水平面上，與間的接觸面垂直于圖中紙面且與水平面成角，與間的接觸面光滑?，F(xiàn)施加一個(gè)水平力作用于，使、一起向右運(yùn)動且、一不發(fā)生相對運(yùn)動，求的最大值。 答案：【例】如圖所示，一質(zhì)量為的物塊與直立輕彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，一質(zhì)量也為的物塊疊放在的上面，、處于靜止?fàn)顟B(tài)。若、粘

6、連在一起，用一豎直向上的拉力緩慢上提，當(dāng)拉力的大小為時(shí)，物塊上升的高度為，此過程中，該拉力做功為；若、不粘連，用一豎直向上的恒力作用在上，當(dāng)物塊上升的高度也為時(shí)，與恰好分離。重力加速度為，不計(jì)空氣阻力，求恒力的大小。BA 答案：解：靜止時(shí)，對：； 粘連時(shí)，緩慢地提： 對：； 又 不粘連，分離時(shí)：； 對：； 對：； 由以上各式可得：?！纠咳鐖D所示，質(zhì)量的小球掛在傾角為的光滑斜面的固定鐵桿上，當(dāng)小球與斜面一起向右以：（重力加速度為）（1）時(shí)，繩子拉力和斜面的彈力大??；（2）時(shí)，繩子拉力和斜面的彈力大小。 答案： ； 0 2、繩子的張緊和松馳也會存在著臨界問題，此時(shí)繩子的張力：?！纠咳缦聢D所示，

7、兩繩系一個(gè)質(zhì)量為的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的、兩處，上面繩長,兩繩都拉直時(shí)與軸夾角分別為和。問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊？ 答案：【例】如圖所示，兩細(xì)繩與水平的車頂面的夾角為和，物體的質(zhì)量為。當(dāng)小車以大小為的加速度向右勻加速運(yùn)動時(shí)，繩1和繩2的張力大小分別為多少？ 答案：0 。 3、由運(yùn)動情況造成的臨界和極值問題，此時(shí)題目中將會出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”、“恰好”等詞語?！纠课矬w的質(zhì)量，靜止在光滑水平面上的平板車的質(zhì)量為、長。某時(shí)刻以向右的初速度滑上木板的上表面，在滑上的同時(shí)，給施加一個(gè)水平向右的拉力。忽略物體的大小，已知與之間的動摩擦因數(shù)，取重力加速度。試求:（1）若

8、，物體在小車上運(yùn)動時(shí)相對小車滑行的最大距離；（2）如果要使不至于從上滑落，拉力大小應(yīng)滿足的條件。 答案：；。 解：由牛頓第二定律： 對：； 對：； 此后，物體將做減速運(yùn)動，而將加速，直到達(dá)到共速； 有： 得： 此時(shí)，相對位移 之后，將從的左端滑下。 當(dāng)較小時(shí)，將從的右端滑下，臨界條件是：到達(dá)的右端時(shí)，、具有共同的速度。 當(dāng)較大時(shí)，將從的左端滑下，臨界條件是：達(dá)到共同速度時(shí)，、相對靜止。此時(shí)：?！纠恳恍A盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的邊重合，如圖。已知盤與桌布間的動摩擦因數(shù)為，盤與桌面間的動摩擦因數(shù)為?，F(xiàn)突然以恒定加速度將桌布抽離桌面，加速度的方向是水平的且垂直于

9、邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度滿足的條件是什么?(以表示重力加速度) 答案： 解：圓盤的運(yùn)動應(yīng)該是先在桌布上加速，后在桌子上做勻減速運(yùn)動，如果圓盤未從桌面上掉下來（設(shè)從桌布上掉下來時(shí)的速度為，末速度為0），則有： 對圓盤：； 加速階段：； 減速階段：； 設(shè)桌布從盤下抽出所經(jīng)歷時(shí)間為，在這段時(shí)間內(nèi)桌布移動的距離為。 對桌布：； 由運(yùn)動情況：；。 由以上各式得：?！纠咳鐖D所示，一質(zhì)量的木箱放于質(zhì)量的平板車的后部，木箱到駕駛室的距離，已知木箱與木板間的動摩擦因數(shù)，平板車運(yùn)動過程中所受的阻力是車和箱總重的倍。平板車以的恒定速率行使，突然駕駛員剎車，使車做勻減速運(yùn)動，為了不讓木箱撞擊駕駛室，試求

10、：（1）從剎車開始到平板車完全停止至少要經(jīng)過多長時(shí)間？（2）駕駛員剎車時(shí)的制動力不能超過多少？ 答案：；。 解：設(shè)箱的位移為，車的位移為；車的加速度為。 箱子如果不與車相碰，則有： 由牛頓定律，對箱：； 由運(yùn)動學(xué)公式，對箱：； 對車：； 由以上各式有：，所以。 設(shè)汽車的制動力為，由牛頓第二定律： 得：【例】一木箱可視為質(zhì)點(diǎn)，放在汽車水平車廂的前部，如圖所示，已知木箱與汽車車廂底板之間的動摩擦因數(shù)為。初始時(shí)，汽車和木箱都是靜止的?，F(xiàn)在使汽車以恒定的加速度開始啟動沿直線運(yùn)動。當(dāng)其速度達(dá)到后做勻速直線運(yùn)動。要使木箱不脫離車廂，距汽車車廂尾部的距離應(yīng)滿足什么條件？【例】如圖所示，在光滑桌面上疊放著質(zhì)量

11、為薄木板和質(zhì)量為的金屬塊。的長度。上有輕線繞過定滑輪與質(zhì)量為的物塊相連。與之間的滑動摩擦因數(shù)，最大的靜摩擦力可視為等于滑動摩擦力。忽略滑輪質(zhì)量及與軸間的摩擦。起始時(shí)令各物體都處于靜止?fàn)顟B(tài)，繩被拉直，位于的左端（如圖所示），然后放手，求經(jīng)過多長時(shí)間后從的右端脫離（設(shè)的右端距滑輪足夠遠(yuǎn)）（）?！纠恳粓A環(huán)套在一均勻圓木棒上，的高度相對的長度來說可以忽略不計(jì)。和的質(zhì)量都等于，和之間的滑動摩擦力為（）。開始時(shí)豎直放置，下端離地面高度為，在的頂端，如圖所示。讓它們由靜止開始自由下落，當(dāng)木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運(yùn)動，并且碰撞前后的速度大小相等。設(shè)碰撞時(shí)間很短，不考慮空氣阻力，問：在再次著地前，要使不脫離，至少應(yīng)該多長？ 答案：； 解：開始釋放后，、一起做自由落體運(yùn)動，設(shè)其到達(dá)地面前瞬間的速度為。 由機(jī)械能守恒：； 與地面撞擊后，環(huán)將做加速運(yùn)動（設(shè)其加速度為），而將做減速運(yùn)動（設(shè)其加速度為），當(dāng)?shù)乃俣葴p為0后，反向又以加速，直到再次落地，由對稱性可知：此時(shí)的速度依然為。 由牛頓第二定律，對：； 對：； 故它們運(yùn)動的時(shí)間為：； 此時(shí)：棒運(yùn)動的位移為0，環(huán)相對于棒運(yùn)動的位移，對環(huán)：有：；棒的長度：，即。 4、最大靜摩擦力也會造成臨界和極值問題，此時(shí)有：。ABF【例】如圖所示，質(zhì)量分別為和的兩物體、疊放在一起，放在光滑的水平地面