考研輔導(dǎo)線性代數(shù)行列式

1、第一章 行列式 基礎(chǔ)知識(shí)概要1.階行列式的定義二階行列式.三階行列式. 對(duì)角線法則：階行列式的定義,它是取自不同行不同列的個(gè)數(shù)的乘積的代數(shù)和（共項(xiàng)），其中各項(xiàng)的符號(hào)為，代表排列的逆序數(shù)，簡(jiǎn)記為.階行列式也可定義為，其中為行標(biāo)排列的逆序數(shù).例1.1 計(jì)算行列式（1）；（2）.練習(xí)：計(jì)算下列行列式（1）；（2）（上三角形行列式）；（3）（下三角形行列式）.2. 行列式的性質(zhì)與計(jì)算2.1行列式的性質(zhì)（1）行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等；（2）互換行列式的某兩行(列)得到新行列式則新行列式應(yīng)反號(hào)； 特別地：若行列式中有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零；（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因數(shù)可以提

2、到行列式的外面； 即以數(shù)乘以行列式等于用數(shù)乘以行列式的某一行或某一列； 特別地：若行列式中有一行(列)的元素全為零，則行列式等于零；（4）行列式中如果有某兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零； 特別地：比例系數(shù)為1（5）若行列式的某一列（行）的元素是兩數(shù)之和，例如，第列的元素都是兩數(shù)之和：，則等于如下兩個(gè)行列式之和：.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的倍加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變. 注：（1）交換行列式的第兩行（或列），記作（或）；（2）第行（列）提出公因子，記作（或）；（3）以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作（或）.范德蒙（Vandermonde）行列式注 右

3、邊是“大指標(biāo)減小指標(biāo)”.例1.2 計(jì)算行列式.（答：）練習(xí)：計(jì)算行列式（1）；（答：40）（2）；（答：48）(3) ；（答：160）（4）；（答：）（5）；（答：）（6）；（答：）（7）；（8）.2.2行列式依行（列）展開(kāi)余子式： ，代數(shù)余子式：定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即，或.注：此定理的主要作用是降階.推論 行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即，或.例1.3 用降階的方法解例1.2.練習(xí)：用降階的方法求解上面練習(xí)第（1）題.例1.4 設(shè)，求（1）；（2）.解 （1）.（2）因?yàn)榈拇笮∨c元素?zé)o關(guān)，因此

4、，.練習(xí)：（1）設(shè)，則（a）？（b）（c） （答：0，0，0）（2）設(shè)分別為行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式，試求（a）；（b）；（c）.2.3拉普拉斯（Laplace）展開(kāi)定理定義 在一個(gè)階行列式中，任意選定行（比如第行）和列比如列）（）.位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來(lái)的位置組成一個(gè)階行列式，稱為行列式的一個(gè)階子式，記作，劃去行和列后余下的元素按照原來(lái)的位置組成的階行列式，稱為階子式的余子式，記作.在余子式前面加上符號(hào)后被稱之為的代數(shù)余子式.記作 ，這里.定理1.2 在階行列式中，任意選定列，則.類似地，任意選定行，則.證 （略）注 這是定理1.2的推廣，它仍然是一種降階的思想.例1.4 在行列式中取定1，2行，得到6個(gè)子式， ， ， ， .對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別是， ，.由Laplace展開(kāi)定理可知.例1.5 證明.證 由Laplace定理展開(kāi)，選定第行，得 .注 例1.5的結(jié)論可以簡(jiǎn)記為.練習(xí)：1.計(jì)算（1）； （2）.2. 設(shè)A為n階方陣，B為m階方陣，則為（ ） （A）, （B）, （C）, （D）. 行列式的計(jì)算舉例例1.6 計(jì)算階行列式解法1 .解法2如果，則如果，則.綜合、有：.例1.7 計(jì)算行列式.解 按第一列展開(kāi)， 又，. 例1.8 計(jì)算. 解法1 依第一行展開(kāi) ,