橢圓知識點和常見題型解析版

1、橢圓知識點和常見題型1、定義：平面內(nèi)與兩個定點尸】，尸2的距離之和等于常數(shù)(大于忸1死|)的點的 軌跡稱為橢圓.即:| 崢 | + 時|=2/(2。>|瓦。|)。這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在3軸上焦點在1y軸上圖形xA標(biāo)準(zhǔn)方程W+4=l(以 >b>0) a b4+4二i(以b >。) a b范圍-a <x 且一& Jy Wb頂點A(-。，0)、%口)Bj(O-6). B2 (0»陽(0,一)、A2 (0,a)B(F0)、B式瓦0)軸長短軸的長=啰 長軸的長=2a隹占，。八八、月(-4,

2、0)、月(c,0)月(0,-0、/3)焦距內(nèi)周=2cd 二言)對稱性關(guān)于X軸、尸軸、原點對稱離心率j 77e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁e = = .jl -(0 <e < 1)a 丫 a通徑焦半徑公式題型一：求橢圓的解析式例1已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0),并且經(jīng)過 值,一。點P求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.方法二:解：因為橢圈的焦點在x軸上，設(shè)號 + 由于c=2,所以_/=4"乂點仔T)在美惻上聯(lián)立方押a弊得a2 = 10,/=6閃此所求加的標(biāo)準(zhǔn)方程為小白IV2b2方法'：F解：因為橢圈的焦點在X軸匕 設(shè),、營=1 - >() 弋由橢圓的定

3、義知 12"超+ 2)+(1J+超-2),«J | 定義法 | 所以。=Vio.又因為 8 = 2 ,所以 b2 =/ -e2 =10-4 = 6因此，所求橢圈的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+上=1106例2橢圓的一個頂點為A(2,0),其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2解：(1)當(dāng).4(2,0)為長軸端點時，a = 2,b=,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:二+=1 ；41(2)卦(2,0)為短軸端點時，6=2,。=4 , 22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:丁 + TT-二1 14162222綜上所述,描圖的標(biāo)準(zhǔn)方程是1+4-=1或三+當(dāng)=1414 16例3.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過

4、點 P(-3,0)、Q(0z-2)；(2)長軸長等于20,離心率等于4長軸在X94例3解：(1)由題意，a = 3 b = 2 , 軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為c 3(2)由己知，2a = 20 , e = -= a 5= 10 ,c = 6 f / = 10" - 6" = 64»所以橢圜的標(biāo)準(zhǔn)方程為總+/1或總+l題型二：求軌跡例1、如圖，在圓 *2 + y 2 = 4 上任取一點P作X軸的垂線段PD, D為垂足。當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？例2解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（xj）,因為點乂的坐標(biāo)是（-5,0）,所以，直線3的斜率舄“=上（

5、工-5）x + 5同理，直癡斜率%=三（工壬5）.才一5（“雜點、.（可不要；由己知有上X上=_為=±5）x + 5 x-59/化簡，得點M的軌跡方程為二十魯= l（x#±5）25 10。一 V例3已知B、C是兩個定點，WQ = 6,且AABC的周長等于16,求頂點A的軌跡 方程.例3解:如圖,以直線BC為x軸，線段BC的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則 8（3,0）（3,0） 設(shè)頂點A的坐標(biāo)為（x,j，）7，yAB + AC-BC = 16,忸4|十|。| = 10,?,由橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程知識可知 匚+/-=1又YA、B、C三點不共線，.”力才 16二所求的點的軌跡方

6、程為二十二二l（j，/0）2516求曲線方程的步驟是什么？（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為 Cv, y）;（2）找出限制條件p（M；（3）把坐標(biāo)代入限制條件,列出方程/（招）=0;（4）化簡方程/（X, y）=0;（5）檢驗（可以省略,如有特殊情況，適當(dāng)說明）建、設(shè)、限、代、化題型三：求參數(shù)的范圍例1知橢圓的離心率求k的值例1解：當(dāng)橢圓的焦看鬲制上時，a2 =k + 8 b? =& 得 c2 = k-z由e2 1得：左=4當(dāng)橢圓的幅點在V軸上時，a2 =9，b2 =k + 8 ,得。2=1一七.由e = ），得=；，即氏= 2.2944,滿足條件的k = 4或左二.4練

7、習(xí)1 .方程4/ +野2 =1的曲線是焦點在y軸上的橢圓,求k的取值范圍.10解：方程4* +處2=1化為±+ f = 1 4 k曲線是焦點在歹軸上的橢圓，且左> 0k 4即0<女<4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1直線與圓錐曲級曲雉位戢喘蠹需罌蠹篇繇）直線與圓錐曲線相交腕長問題利用一般弦長公式（鋤）利用兩點間距離公式鶴瑣）2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：.從幾何角度看：（特別注意）要特別注意當(dāng)直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線 只有一個交點；當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點。（2）.從代數(shù)角度看：設(shè)直線L的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到

8、以/+也+。= °。 .若也0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸進線平行或重合； 當(dāng)圓錐曲線是拋物線時，直線L與拋物線的對稱軸平行或重合。 .若口=°,設(shè)A=/4?？? A>°時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點，相交。b.& 二 °時，直線和圓錐曲線相切于一點，相切。c.AHO時，直線和圓錐曲線沒有公共點, 相離。題型四：直線與橢圓的位置關(guān)系例1：直線y=kx+l與橢圓 丁+ - = 1恒有公共點, 求m的取值范圍。例解法一，y = fcr +1 解:* /+ =15 m=> (w + 5 必)+ lOfcr + 5- 5m =

9、 0 = (10*y 4(帆 + 5左 ° 乂5 5 工 07M2 +(5V-1)tm 之 0vw>0,. 54221_利恒成立, /. l-/w< 0 /. m>,且"？羊 5解法二,直線> = Ax + l恒過定點（0,1） 且與橢圓總有公共點，.定點必在橢圓上或或者橢圓內(nèi).0 < < 1, /. m > 1 且m * 5mX2 y1例2:已知橢 云 +鼠=1圓，直線公-5丁 + 40 = 0,橢圓上是否存在一點，到直線的距離最小?最小距離是多少?例2解：設(shè)直線加平行千人則何寫成4t-5y+k = O4.t-5><

10、+ =0由方程組，幺y2 1- =1 9消卻 得25/ + 8米+產(chǎn)225 = 0由 = （）,得64/-4x25（爐-225） = 0解得匕=25, k,=-25由圖可知k=25一直線"為：4x-5y + 25 = 0直線，”與橢圓的交點到直線的距離最近。且="="兩斥于41思考：最大的距離是多少?|4。+ 25| 65 r-弦長問題直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點，化解這個難點的方法是：設(shè)而不求，根據(jù) 根與系數(shù)的關(guān)系，進行整體代入。即當(dāng)直線（斜率為k）與圓錐曲線交于點時，則如Ljl + k* ki-L71 + k2 后+叼一 4勺町P-+血2），一 4

11、yl少題型四：弦長公式例1：己知斜率為1的直線L過橢圓 之長.= l的右焦點，交橢圓于A, B兩點，求弦AB例1解:由橢圓方程知:a、4/=1,1=3.右焦點F（有,0）直線防程為:y = x-&：.ab=演一5=Ji+mqa+引2_羯5十二例2已知點分、月分別是橢圓七十匕=1的左、右 焦點，過馬作傾斜角為f禽直.求耳通的面積.4例2解：.橢畫5 + r = 1的兩個恁點坐標(biāo)和（T，0）,生（1，。）:.直線AB的方速為J，=K1設(shè)/（X，川,Bg, y2） y-x-i 由小 , 消去并化簡整理得43x2 - 4x = 0 Xj + x, = -,x/2以劇=#巧+（員-yj =&qu

12、ot;（巧-xj =M（*i +f）' T巧=點寫到直線45的距離"=五 v2二年“：4網(wǎng)4拒我=?答：的面積等于g|A約=2。;例3如圖，已知橢圓 ax1 +by2 = 1與直線x+y-l=0交于A、B兩點，AB的中點M與橢圓中心連線的斜率是2 試求a、b的值。例3 解:消J-得：(a +-2bx+b-l = 0Va=4Z>2-4(a+/>)(£>-1)>0- ab<a + b物(演,乂)1(0乃)2bb-.,+.r2=_,VX2=_a+b a+b.1，=:.b = &a又W同=jl+必Ja +)，-4x吊 b 2 r-：.2

13、42 =&J(2)紀(jì)a =：力=日Y a+b Q+b33題型五：中點弦問題例1：已知橢圓§ +京1（必分0）截直線y=kr+m所得弦的中點坐標(biāo)為（xoryo ）,求直線的斜率 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點問題，常用設(shè)而不求的思想方法.例1解設(shè)橢圓方程為了+7=l(o>»>0),直線片kr+m與橢圓交于4,B(xt , yi),則-尊01+力坐-»）8+4室1-修）由6地2f 2）3（靖_/）=0即號絲=_1 2x - x2 a. G _乂一乂 _ b- N+f bl % ' KAB _2；_2 -七一 W。Ji+Ji a %點評關(guān)于中點弦

14、問題，一般采用兩種方法解決：（1）聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設(shè)而不求，從而簡化運算.利用“點差法”求解，即若橢圓方程為料弦=1,直線與橢圓交于點山）、B(X29 yi)9且弦4B的中點為M的o, yo),則由一得加什彳一式)+。2(工彳丘)=0,.yi-yi _尤 xi+xi _P_ xo*xi-X2- a1 y+yi a2 yo這樣就建立了中點坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決.例2：已知橢圓 哥+q=1，過點P(2, 1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程.方法1鼾：設(shè)所求直線的方程為尸一1 = &(1-2) 代入橢圓方程并整理，得(4公 +

15、 1)/-8(2*2-41 + 4(2* 1好一】6-0.設(shè)直線與橢圓的交點為ACn，V).BCx».則n,工是上面的方程的四個根.,力+4=端不產(chǎn).TP為弦AB的中點，.2=紅舁=嗯字,解得£一一：二所求直畿的方程為#+2y-4=0. 韋達(dá)定理一*斜率書達(dá)定理法：利川歷達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)選簫法二:設(shè)直線號橢圓交點為4(工|,»)加(，力)，則,'P 為弦 AB 的中點.q+H2=4.yi+»-2又：A,B 在橢圓上.；H+4y = 16.xi+4W = 16.兩式相減，得cd-Y+4(y-/)-o.即(F+才?)5 -4 )+41yi+&

16、gt;»)(»/)=0.KZJX,-<xi+.xt)-± 即 "-十.G -g 4(y)+y? )2Z'所求直線方程為廠一+(£-2),即r+2j-4=0.點方法:利用端點在曲笈I坐標(biāo)滿足方葬,作功構(gòu)造 出中點坐標(biāo)和斜率.(點茶法)解法三:設(shè)所求直線與蛹圓的一交點為人ao).：另一個交點為B(4才,2則在橢圓上./+4，= 16,(4-t)24-4(2-)»-16 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y>4=0從而A,B在直線x+2y-4=0 I.而過a,b兩點的直線旦只:n'一條

17、工所求直線的方程為x+2y-4=O, 解后反思：中點弦時跪求解關(guān)鍵在于充分利用“中點”這 一條料，火活運用中戊坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，題型六：定值問題1 .與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍的討論常用以下方法(1)結(jié)合圓錐曲線的定義，利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；(2)不等式(組)求解法，根據(jù)題意結(jié)合圖形(如點在曲線內(nèi)等)列出所討論的參數(shù) 適合的不等式(組)，通過解不等式(組)，得出參數(shù)的變化范圍；(3)函數(shù)值域求解法，把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，選一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為 自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍；(4)構(gòu)造一個二次函數(shù)，利用判別式求解；(5)利用不等式，若能將問題轉(zhuǎn)化為“

18、和為定值”或“積為定值”，則可以用基本 不等式求解；_例L (定點問題)已知橢圓C:£ + * = l(a>b>0)的離心率為乎，M(石,一是橢圓 C上的一點.（1）求橢圓。的方程；（2）過點P（-4,0）作直線/與橢圓C交于不同兩點4、B, A點關(guān)于x軸的對稱點為O,問 直線5。是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.例 1【詳解】（1） ； £= N, a2=b2+c2y *,«a2 = 4Z?2» A = 1,a 2心 b2L 1x2將彳)代入橢圓C,.護=1,.C：L+y2=l. 24(2)顯然A6斜率存在，設(shè)46方程

19、 為：y = k(x+4),X- 2 = 4- =>(l+4k2)x2 + 32k2x+64k2 -4 = 0,J = %(x + 4),， 1 = 16 192/ >0，<.設(shè)A(x，yJ, B(x2,y2) ,；.Xl + x2=-32k21 + 4公64/4“ + M (x xj, .=()時 x = % +x2yY -_ 2姐占 + 4k(8 +x2)M + K %(占+占)+ 8%n/64公一4、, 32k2、32F + 8k + 32&32M + 4/)+ 以(彳/)28&3 8A - 128k3&（-巖E +以 l + 4k 直線5。過定點（1,。）.例2 （定值問題）已知直線不一2+ 2 = 0經(jīng)過橢圓。：+ 三 =1（。人 0）的左頂點 a- b-A和上頂點O,設(shè)橢圓。的右頂點為B.（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率。的值;（2）設(shè)點S是橢圓上位于x軸上方的動點，求證：直線AS與BS的斜率的乘積為定值.【詳解】（1）由己知得，橢圓。的左頂點為A（2,0）,上頂點為0（0,1）,:« = 2 , b = l