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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末試題一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意得,在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,該點在第四象限.故選:D.2.《2023年五一出游數(shù)據(jù)報告》顯示,濟南憑借超強周邊吸引力,榮登“五一”最強周邊游“吸金力”前十名榜單.其中,濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)接待游客100萬人次,濟南動物園接待游客30萬人次,千佛山景區(qū)接待游客20萬人次.現(xiàn)采用按比例分層抽樣的方法對三個景區(qū)的游客共抽取1500人進行濟南旅游滿意度的調(diào)研,則濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)抽取游客()A.1000人 B.300人 C.200人 D.100人〖答案〗A〖解析〗依題意濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)應(yīng)抽取游客(人).故選:A.3.設(shè)為兩個平面,則的充要條件是()A.過的一條垂線B.垂直于同一平面C.內(nèi)有一條直線垂直于與的交線D.內(nèi)有兩條相交直線分別與內(nèi)兩條直線垂直〖答案〗A〖解析〗對于A,根據(jù)面面垂直的判斷定理,過的一條垂線,則,若,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,則內(nèi)垂直于交線的直線垂直于,故A正確;對于B,若垂直于同一平面,則可能平行,也可能相交,故B錯誤;對于C,內(nèi)有一條直線垂直于與的交線,如圖,,,但不垂直于,故C錯誤;對于D,如圖,,且與相交,,且與相交,,,但,故D錯誤.故選:A.4.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球,其中3個紅球,2個白球,從中不放回地依次隨機摸出2個球,則第二次摸到紅球的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球,其中3個紅球,2個白球,從中不放回地依次隨機摸出2個球,第二次摸到紅球的情況有兩種:①第一次摸到紅球,第二次摸到紅球,概率為:,②第一次摸到白球,第二次摸到紅球,概率為:,則第二次摸到紅球的概率為.故選:C.5.已知的內(nèi)角所對的邊分別為,則角的值為()A. B. C.或 D.無解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可知,,所以,又,所以或.故選:C.6.如果三棱錐底面不是等邊三角形,側(cè)棱與底面所成的角都相等,平面,垂足為,則是的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心〖答案〗D〖解析〗如圖所示:因為平面,側(cè)棱與底面所成的角都相等,則故故是的外心.故選:D.7.已知銳角的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,,,則的周長的取值范圍為()A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因為,,由正弦定理,即,所以,,所以,因為為銳角三角形,所以,所以,則,所以,因為,所以或(舍去),所以,所以,所以,即,所以,即的周長的取值范圍為.故選:C.8.在四棱錐中,底面,底面為正方形,.點分別為平面,平面和平面內(nèi)的動點,點為棱上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得均最小時,平方和最小,過點分別作平面,平面,平面的垂線,垂足分別為,連接,因為面,平面,所以,因為底面為正方形,所以,又因為,平面,所以面,因為平面,則,又因為點在上,則點應(yīng)在上,同理可證分別位于上,從而補出長方體,則是以為共點的長方體的對角線,則,則題目轉(zhuǎn)化為求的最小值,顯然當(dāng)時,的最小值,因為四邊形為正方形,且,則,因為面,面,所以,所以,則直角三角形斜邊的高,此時,則的最小值為.故選:B.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù),則下列說法中正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為,則,故A正確;,故C正確;,故B錯誤;,故D正確.故選:ACD.10.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,則下列說法正確的是()A.事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”相等B.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”互斥C.事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”互為對立事件D.事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立〖答案〗AD〖解析〗先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,樣本空間中共含有:正正、正反、反正、反反4個樣本點,事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”在每次隨機試驗中同時出現(xiàn)或同時不出現(xiàn),故這兩個事件相等,A正確;事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”能同時發(fā)生,不是互斥事件,B錯誤;除事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”外還可能出現(xiàn)“一次正面,一次反面”,故這兩個事件不互為對立事件,C錯誤;先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,顯然第一次的結(jié)果不會影響第二次的結(jié)果,所以事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立,D正確.故選:AD.11.某學(xué)校為了調(diào)查高一年級學(xué)生每天體育活動時間情況,隨機選取了100名學(xué)生,繪制了如圖所示頻率分布直方圖,則下列說法正確的是()A.平均數(shù)的估計值為30B.眾數(shù)的估計值為35C.第60百分位數(shù)估計值是32D.隨機選取這100名學(xué)生中有25名學(xué)生體育活動時間不低于40分鐘〖答案〗BD〖解析〗由頻率分布直方圖可知平均數(shù)的估計值為,A錯誤;由頻率分布直方圖可知的頻率最大,因此眾數(shù)的估計值為,B正確;由頻率分布直方圖得從第一組到第六組的頻率依次是,,,,,,所以第60百分位數(shù)估計值在內(nèi),所以,解得,C錯誤;隨機選取這100名學(xué)生中體育活動時間不低于40分鐘的人數(shù)為,D正確.故選:BD.12.如圖,已知三棱錐可繞在空間中任意旋轉(zhuǎn),為等邊三角形,在平面內(nèi),,,,,則下列說法正確的是()A.二面角為B.三棱錐的外接球表面積為C.點與點到平面的距離之和的最大值為D.點在平面內(nèi)的射影為點,線段長的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項,在中,,,,由余弦定理可得,即,即,因為,解得,取的中點,連接、,如下圖所示:因為為等邊三角形,為的中點,所以,,又因為,,、平面,所以,平面,因為平面,所以,,所以,二面角的平面角為,因為為的中點,所以,,故也是邊長為的等邊三角形,所以,,又因為,所以,,則,故二面角為,A對;對于B選項,設(shè)、的中心分別為點、,分別過點、作、,設(shè),因為,,,、平面,所以,平面,因為,則平面,同理,平面,所以,為三棱錐的外接球球心,由等邊三角形的幾何性質(zhì)可知,,同理,,因為,,,,所以,四邊形為正方形,且,又因為,因為,,則,則,所以,三棱錐的外接球半徑為,因此,三棱錐的外接球的表面積為,B對;對于C選項,設(shè)點在平面內(nèi)的射影點為,連接,因,,則,故點、、、四點共面,因為,則,又因為,,、平面,則平面,又因為平面,故平面與平面重合,又因為,、,故,設(shè),其中,又因為,則,所以,,,所以,點與點到平面的距離之和,因為,則,故當(dāng)時,即當(dāng)時,取最大值,C錯;對于D選項,,,由余弦定理可得,其中為銳角,且,因為,則,故當(dāng)時,取得最大值,且,D對.故選:ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.一組數(shù)據(jù)1,2,4,5,8的第75百分位數(shù)為_________.〖答案〗〖解析〗因為,所以第百分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù),即為.故〖答案〗為:.14.在正方體中,直線與直線夾角的余弦值為_________.〖答案〗〖解析〗如圖,連接,在正方體中,有,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以為直線與直線夾角或其補角,設(shè)正方體棱長為,則,所以為等邊三角形,所以,故直線與直線夾角的余弦值為.故〖答案〗為:.15.在圓中,已知弦,則的值為_________.〖答案〗2〖解析〗如圖,設(shè)圓心,為半徑,為弦,故在上的投影為,.故〖答案〗為:.16.已知的重心為,面積為1,且,則的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗如圖:設(shè),則,則,因的重心為,所以,,,設(shè),,則,設(shè),,此時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是兩個單位向量,夾角為,設(shè).(1)求;(2)若,求的值.解:(1)因為是兩個單位向量,夾角為,所以,所以.(2)因為,所以,即,即,.18.已知正三棱柱棱長均為,為的中點.(1)求證:平面;(2)求點到平面的距離.解:(1)連接交于點,連接,則正三棱柱中是平行四邊形,所以為的中點,又為的中點,所以,平面,平面,所以平面.(2)過作,垂足為,由題意可得,,,所以,所以,所以的面積,因為正三棱柱中平面平面,又平面平面,平面,且,所以平面,即到平面的距離為,又的面積,所以,又,所以,解得,所以點到平面的距離為.19.獨立事件是一個非常基礎(chǔ)但又十分重要的概念,對于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)計學(xué)至關(guān)重要.它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬,當(dāng)時被定義為彼此不相關(guān)的事件.19世紀(jì)初期,皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式.對任意兩個事件與,如果成立,則稱事件與事件相互獨立,簡稱為獨立.(1)若事件與事件相互獨立,證明:與相互獨立;(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動,每輪活動由甲、乙各答一題,已知甲每輪答對的概率為,乙每輪答對的概率為.在每輪活動中,甲和乙答對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響,求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率.解:(1)證明:已知事件與事件相互獨立,則,因為,且事件與事件互斥,所以,所以,由事件獨立性定義,與相互獨立.(2)設(shè)分別表示甲在兩輪活動中答對1道題,答對2道題的事件,分別表示乙在兩輪活動中答對1道題,答對2道題的事件,根據(jù)獨立性假定,得,設(shè)“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”,則,且與互斥,與,與分別相互獨立,所以,所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.20.某社區(qū)工作人員采用分層抽樣的方法分別在甲乙兩個小區(qū)各抽取了8戶家庭,統(tǒng)計了每戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間(單位:分鐘),其中甲小區(qū)的統(tǒng)計表如下,住戶序號12345678所需時間200220200180200220設(shè)分別為甲,乙小區(qū)抽取的第戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間,分別為甲,乙小區(qū)所抽取樣本的方差,已知,其中.(1)若,求和的值;(2)甲小區(qū)物業(yè)為提高垃圾分類效率,優(yōu)先試行新措施,每天由部分物業(yè)員工協(xié)助垃圾分類工作,經(jīng)統(tǒng)計,甲小區(qū)住戶每戶每天用于垃圾分類的時間減少了5分鐘.利用樣本估計總體,計算甲小區(qū)試行新措施之后,甲乙兩個小區(qū)的所有住戶近7天用于垃圾分類的總時間的平均值和方差.參考公式:若總體劃為2層,通過分層隨機抽樣,各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:;,總的樣本平均數(shù)為,樣本方差為,則.解:(1)由題意可知:,得:,,得,解,得或,因為,故.(2)設(shè)甲小區(qū)試行新措施之后,甲小區(qū)抽取的第戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間為,則,則,,.21.如圖1,在等腰中,分別為的中點,過作于.如圖2,沿將翻折,連接得到四棱錐為中點.(1)證明:平面;(2)當(dāng)時,求直線與平面所成的角的正弦值.解:(1)取線段中點為,連接,因為是線段中點,在△AOB中,,且,由題意知AO⊥BC,又DE⊥BC,AO、DE在面ACED內(nèi),則,且,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,因為,所以,因為平面,所以平面,同理平面,因為平面,所以,又DF//EG,所以,因為,是線段中點,所以,因為平面,所以平面.(2)直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角,做平面于點,連接,取中點,連接,所以是在平面內(nèi)的射影,所以是直線與平面所成的角,易知的面積為,因為平面,平面,所以平面平面,由題意,易知為等邊三角形,因為為中點,所以,又平面平面,平面,所以平面,則,即點到平面的距離為,所以,因為,所以平面,因為平面,所以,,所以,所以中,,則,所以,則,因為,所以,所以,所以,故直線與平面所成的角的正弦值為.22.射影幾何學(xué)中,中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影,如圖,為透視中心,平面內(nèi)四個點經(jīng)過中心投影之后的投影點分別為.對于四個有序點,定義比值叫做這四個有序點的交比,記作.(1)證明:;(2)已知,點為線段的中點,,求.解:(1)在、、、中,,所以,又在、中,,又在、中,,所以,又,,,,所以,所以.(2)由題意可得,所以,即,所以,又點為線段的中點,即,所以,又,則,,設(shè),且,由,所以,即,解得①,在中,由正弦定理可得②,在中,由正弦定理可得③,且,②③得,即④,由①④解得,(負值舍去),即,,所以.山東省濟南市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末試題一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意得,在復(fù)平面上對應(yīng)的點為,該點在第四象限.故選:D.2.《2023年五一出游數(shù)據(jù)報告》顯示,濟南憑借超強周邊吸引力,榮登“五一”最強周邊游“吸金力”前十名榜單.其中,濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)接待游客100萬人次,濟南動物園接待游客30萬人次,千佛山景區(qū)接待游客20萬人次.現(xiàn)采用按比例分層抽樣的方法對三個景區(qū)的游客共抽取1500人進行濟南旅游滿意度的調(diào)研,則濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)抽取游客()A.1000人 B.300人 C.200人 D.100人〖答案〗A〖解析〗依題意濟南天下第一泉風(fēng)景區(qū)應(yīng)抽取游客(人).故選:A.3.設(shè)為兩個平面,則的充要條件是()A.過的一條垂線B.垂直于同一平面C.內(nèi)有一條直線垂直于與的交線D.內(nèi)有兩條相交直線分別與內(nèi)兩條直線垂直〖答案〗A〖解析〗對于A,根據(jù)面面垂直的判斷定理,過的一條垂線,則,若,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,則內(nèi)垂直于交線的直線垂直于,故A正確;對于B,若垂直于同一平面,則可能平行,也可能相交,故B錯誤;對于C,內(nèi)有一條直線垂直于與的交線,如圖,,,但不垂直于,故C錯誤;對于D,如圖,,且與相交,,且與相交,,,但,故D錯誤.故選:A.4.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球,其中3個紅球,2個白球,從中不放回地依次隨機摸出2個球,則第二次摸到紅球的概率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球,其中3個紅球,2個白球,從中不放回地依次隨機摸出2個球,第二次摸到紅球的情況有兩種:①第一次摸到紅球,第二次摸到紅球,概率為:,②第一次摸到白球,第二次摸到紅球,概率為:,則第二次摸到紅球的概率為.故選:C.5.已知的內(nèi)角所對的邊分別為,則角的值為()A. B. C.或 D.無解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可知,,所以,又,所以或.故選:C.6.如果三棱錐底面不是等邊三角形,側(cè)棱與底面所成的角都相等,平面,垂足為,則是的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心〖答案〗D〖解析〗如圖所示:因為平面,側(cè)棱與底面所成的角都相等,則故故是的外心.故選:D.7.已知銳角的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,,,則的周長的取值范圍為()A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因為,,由正弦定理,即,所以,,所以,因為為銳角三角形,所以,所以,則,所以,因為,所以或(舍去),所以,所以,所以,即,所以,即的周長的取值范圍為.故選:C.8.在四棱錐中,底面,底面為正方形,.點分別為平面,平面和平面內(nèi)的動點,點為棱上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得均最小時,平方和最小,過點分別作平面,平面,平面的垂線,垂足分別為,連接,因為面,平面,所以,因為底面為正方形,所以,又因為,平面,所以面,因為平面,則,又因為點在上,則點應(yīng)在上,同理可證分別位于上,從而補出長方體,則是以為共點的長方體的對角線,則,則題目轉(zhuǎn)化為求的最小值,顯然當(dāng)時,的最小值,因為四邊形為正方形,且,則,因為面,面,所以,所以,則直角三角形斜邊的高,此時,則的最小值為.故選:B.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù),則下列說法中正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為,則,故A正確;,故C正確;,故B錯誤;,故D正確.故選:ACD.10.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,則下列說法正確的是()A.事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”相等B.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”互斥C.事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”互為對立事件D.事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立〖答案〗AD〖解析〗先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,樣本空間中共含有:正正、正反、反正、反反4個樣本點,事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”在每次隨機試驗中同時出現(xiàn)或同時不出現(xiàn),故這兩個事件相等,A正確;事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”能同時發(fā)生,不是互斥事件,B錯誤;除事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”外還可能出現(xiàn)“一次正面,一次反面”,故這兩個事件不互為對立事件,C錯誤;先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次,顯然第一次的結(jié)果不會影響第二次的結(jié)果,所以事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立,D正確.故選:AD.11.某學(xué)校為了調(diào)查高一年級學(xué)生每天體育活動時間情況,隨機選取了100名學(xué)生,繪制了如圖所示頻率分布直方圖,則下列說法正確的是()A.平均數(shù)的估計值為30B.眾數(shù)的估計值為35C.第60百分位數(shù)估計值是32D.隨機選取這100名學(xué)生中有25名學(xué)生體育活動時間不低于40分鐘〖答案〗BD〖解析〗由頻率分布直方圖可知平均數(shù)的估計值為,A錯誤;由頻率分布直方圖可知的頻率最大,因此眾數(shù)的估計值為,B正確;由頻率分布直方圖得從第一組到第六組的頻率依次是,,,,,,所以第60百分位數(shù)估計值在內(nèi),所以,解得,C錯誤;隨機選取這100名學(xué)生中體育活動時間不低于40分鐘的人數(shù)為,D正確.故選:BD.12.如圖,已知三棱錐可繞在空間中任意旋轉(zhuǎn),為等邊三角形,在平面內(nèi),,,,,則下列說法正確的是()A.二面角為B.三棱錐的外接球表面積為C.點與點到平面的距離之和的最大值為D.點在平面內(nèi)的射影為點,線段長的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項,在中,,,,由余弦定理可得,即,即,因為,解得,取的中點,連接、,如下圖所示:因為為等邊三角形,為的中點,所以,,又因為,,、平面,所以,平面,因為平面,所以,,所以,二面角的平面角為,因為為的中點,所以,,故也是邊長為的等邊三角形,所以,,又因為,所以,,則,故二面角為,A對;對于B選項,設(shè)、的中心分別為點、,分別過點、作、,設(shè),因為,,,、平面,所以,平面,因為,則平面,同理,平面,所以,為三棱錐的外接球球心,由等邊三角形的幾何性質(zhì)可知,,同理,,因為,,,,所以,四邊形為正方形,且,又因為,因為,,則,則,所以,三棱錐的外接球半徑為,因此,三棱錐的外接球的表面積為,B對;對于C選項,設(shè)點在平面內(nèi)的射影點為,連接,因,,則,故點、、、四點共面,因為,則,又因為,,、平面,則平面,又因為平面,故平面與平面重合,又因為,、,故,設(shè),其中,又因為,則,所以,,,所以,點與點到平面的距離之和,因為,則,故當(dāng)時,即當(dāng)時,取最大值,C錯;對于D選項,,,由余弦定理可得,其中為銳角,且,因為,則,故當(dāng)時,取得最大值,且,D對.故選:ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.一組數(shù)據(jù)1,2,4,5,8的第75百分位數(shù)為_________.〖答案〗〖解析〗因為,所以第百分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù),即為.故〖答案〗為:.14.在正方體中,直線與直線夾角的余弦值為_________.〖答案〗〖解析〗如圖,連接,在正方體中,有,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以為直線與直線夾角或其補角,設(shè)正方體棱長為,則,所以為等邊三角形,所以,故直線與直線夾角的余弦值為.故〖答案〗為:.15.在圓中,已知弦,則的值為_________.〖答案〗2〖解析〗如圖,設(shè)圓心,為半徑,為弦,故在上的投影為,.故〖答案〗為:.16.已知的重心為,面積為1,且,則的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗如圖:設(shè),則,則,因的重心為,所以,,,設(shè),,則,設(shè),,此時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是兩個單位向量,夾角為,設(shè).(1)求;(2)若,求的值.解:(1)因為是兩個單位向量,夾角為,所以,所以.(2)因為,所以,即,即,.18.已知正三棱柱棱長均為,為的中點.(1)求證:平面;(2)求點到平面的距離.解:(1)連接交于點,連接,則正三棱柱中是平行四邊形,所以為的中點,又為的中點,所以,平面,平面,所以平面.(2)過作,垂足為,由題意可得,,,所以,所以,所以的面積,因為正三棱柱中平面平面,又平面平面,平面,且,所以平面,即到平面的距離為,又的面積,所以,又,所以,解得,所以點到平面的距離為.19.獨立事件是一個非?;A(chǔ)但又十分重要的概念,對于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)計學(xué)至關(guān)重要.它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬,當(dāng)時被定義為彼此不相關(guān)的事件.19世紀(jì)初期,皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式.對任意兩個事件與,如果成立,則稱事件與事件相互獨立,簡稱為獨立.(1)若事件與事件相互獨立,證明:與相互獨立;(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動,每輪活動由甲、乙各答一題,已知甲每輪答對的概率為,乙每輪答對的概率為.在每輪活動中,甲和乙答對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響,求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率.解:(1)證明:已知事件與事件相互獨立,則,因為,且事件與事件互斥,所以,所以,由事件獨立性定義,與相互獨立.(2)設(shè)分別表示甲在兩輪活動中答對1道題,答對2道題的事件,分別表示乙在兩輪活動中答對1道題,答對2道題的事件,根據(jù)獨立性假定,得,設(shè)“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”,則,且與互斥,與,與分別相互獨立,所以,所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.20.某社區(qū)工作人員采用分層抽樣的方法分別在甲乙兩個小區(qū)各抽取了8戶家庭,統(tǒng)計了每戶家庭近7天用于垃圾分
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