2022-2023學年山東省濟南市高一下學期期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市2022-2023學年高一下學期期末試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意得，在復平面上對應的點為，該點在第四象限.故選：D.2.《2023年五一出游數據報告》顯示，濟南憑借超強周邊吸引力，榮登“五一”最強周邊游“吸金力”前十名榜單．其中，濟南天下第一泉風景區(qū)接待游客100萬人次，濟南動物園接待游客30萬人次，千佛山景區(qū)接待游客20萬人次．現采用按比例分層抽樣的方法對三個景區(qū)的游客共抽取1500人進行濟南旅游滿意度的調研，則濟南天下第一泉風景區(qū)抽取游客（）A.1000人 B.300人 C.200人 D.100人〖答案〗A〖解析〗依題意濟南天下第一泉風景區(qū)應抽取游客（人）.故選：A.3.設為兩個平面，則的充要條件是（）A.過的一條垂線B.垂直于同一平面C.內有一條直線垂直于與的交線D.內有兩條相交直線分別與內兩條直線垂直〖答案〗A〖解析〗對于A，根據面面垂直的判斷定理，過的一條垂線，則，若，根據面面垂直的性質定理，則內垂直于交線的直線垂直于，故A正確；對于B，若垂直于同一平面，則可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，內有一條直線垂直于與的交線，如圖，，，但不垂直于，故C錯誤；對于D，如圖，，且與相交，，且與相交，，，但，故D錯誤.故選：A.4.袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，2個白球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則第二次摸到紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，2個白球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，第二次摸到紅球的情況有兩種：①第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，概率為：，②第一次摸到白球，第二次摸到紅球，概率為：，則第二次摸到紅球的概率為．故選：C．5.已知的內角所對的邊分別為，則角的值為（）A. B. C.或 D.無解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可知，，所以，又，所以或.故選：C.6.如果三棱錐底面不是等邊三角形，側棱與底面所成的角都相等，平面，垂足為，則是的（）A.垂心 B.重心 C.內心 D.外心〖答案〗D〖解析〗如圖所示：因為平面，側棱與底面所成的角都相等，則故故是的外心.故選：D.7.已知銳角的內角，，所對的邊分別為，，，，，則的周長的取值范圍為（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因為，，由正弦定理，即，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，則，所以，因為，所以或（舍去），所以，所以，所以，即，所以，即的周長的取值范圍為.故選：C.8.在四棱錐中，底面，底面為正方形，．點分別為平面，平面和平面內的動點，點為棱上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得均最小時，平方和最小，過點分別作平面，平面，平面的垂線，垂足分別為，連接，因為面，平面，所以，因為底面為正方形，所以，又因為，平面，所以面，因為平面，則，又因為點在上，則點應在上，同理可證分別位于上，從而補出長方體，則是以為共點的長方體的對角線，則，則題目轉化為求的最小值，顯然當時，的最小值，因為四邊形為正方形，且，則，因為面，面，所以，所以，則直角三角形斜邊的高，此時，則的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復數，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，則，故A正確；，故C正確；，故B錯誤；，故D正確.故選：ACD.10.先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，則下列說法正確的是（）A.事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”相等B.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”互斥C.事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”互為對立事件D.事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立〖答案〗AD〖解析〗先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，樣本空間中共含有：正正、正反、反正、反反4個樣本點，事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”在每次隨機試驗中同時出現或同時不出現，故這兩個事件相等，A正確；事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”能同時發(fā)生，不是互斥事件，B錯誤；除事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”外還可能出現“一次正面，一次反面”，故這兩個事件不互為對立事件，C錯誤；先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，顯然第一次的結果不會影響第二次的結果，所以事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立，D正確.故選：AD.11.某學校為了調查高一年級學生每天體育活動時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.平均數的估計值為30B.眾數的估計值為35C.第60百分位數估計值是32D.隨機選取這100名學生中有25名學生體育活動時間不低于40分鐘〖答案〗BD〖解析〗由頻率分布直方圖可知平均數的估計值為，A錯誤；由頻率分布直方圖可知的頻率最大，因此眾數的估計值為，B正確；由頻率分布直方圖得從第一組到第六組的頻率依次是，，，，，，所以第60百分位數估計值在內，所以，解得，C錯誤；隨機選取這100名學生中體育活動時間不低于40分鐘的人數為，D正確.故選：BD.12.如圖，已知三棱錐可繞在空間中任意旋轉，為等邊三角形，在平面內，，，，，則下列說法正確的是（）A.二面角為B.三棱錐的外接球表面積為C.點與點到平面的距離之和的最大值為D.點在平面內的射影為點，線段長的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，在中，，，，由余弦定理可得，即，即，因為，解得，取的中點，連接、，如下圖所示：因為為等邊三角形，為的中點，所以，，又因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，所以，二面角的平面角為，因為為的中點，所以，，故也是邊長為的等邊三角形，所以，，又因為，所以，，則，故二面角為，A對；對于B選項，設、的中心分別為點、，分別過點、作、，設，因為，，，、平面，所以，平面，因為，則平面，同理，平面，所以，為三棱錐的外接球球心，由等邊三角形的幾何性質可知，，同理，，因為，，，，所以，四邊形為正方形，且，又因為，因為，，則，則，所以，三棱錐的外接球半徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為，B對；對于C選項，設點在平面內的射影點為，連接，因，，則，故點、、、四點共面，因為，則，又因為，，、平面，則平面，又因為平面，故平面與平面重合，又因為，、，故，設，其中，又因為，則，所以，，，所以，點與點到平面的距離之和，因為，則，故當時，即當時，取最大值，C錯；對于D選項，，，由余弦定理可得，其中為銳角，且，因為，則，故當時，取得最大值，且，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一組數據1，2，4，5，8的第75百分位數為_________．〖答案〗〖解析〗因為，所以第百分位數為從小到大排列的第個數，即為.故〖答案〗為：.14.在正方體中，直線與直線夾角的余弦值為_________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，在正方體中，有，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為直線與直線夾角或其補角，設正方體棱長為，則，所以為等邊三角形，所以，故直線與直線夾角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.在圓中，已知弦，則的值為_________．〖答案〗2〖解析〗如圖，設圓心，為半徑，為弦，故在上的投影為，.故〖答案〗為：.16.已知的重心為，面積為1，且，則的最小值為_________．〖答案〗〖解析〗如圖：設，則，則，因的重心為，所以，，，設，，則，設，，此時，則時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知是兩個單位向量，夾角為，設．（1）求；（2）若，求的值．解：（1）因為是兩個單位向量，夾角為，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，.18.已知正三棱柱棱長均為，為的中點．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．解：（1）連接交于點，連接，則正三棱柱中是平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，平面，平面，所以平面.（2）過作，垂足為，由題意可得，，，所以，所以，所以的面積，因為正三棱柱中平面平面，又平面平面，平面，且，所以平面，即到平面的距離為，又的面積，所以，又，所以，解得，所以點到平面的距離為.19.獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統(tǒng)計學至關重要．它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當時被定義為彼此不相關的事件．19世紀初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．（1）若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；（2）甲、乙兩人參加數學節(jié)的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．解：（1）證明：已知事件與事件相互獨立，則，因為，且事件與事件互斥，所以，所以，由事件獨立性定義，與相互獨立.（2）設分別表示甲在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件，分別表示乙在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件，根據獨立性假定，得，設“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”，則，且與互斥，與，與分別相互獨立，所以，所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.20.某社區(qū)工作人員采用分層抽樣的方法分別在甲乙兩個小區(qū)各抽取了8戶家庭，統(tǒng)計了每戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間（單位：分鐘），其中甲小區(qū)的統(tǒng)計表如下，住戶序號12345678所需時間200220200180200220設分別為甲，乙小區(qū)抽取的第戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間，分別為甲，乙小區(qū)所抽取樣本的方差，已知，其中．（1）若，求和的值；（2）甲小區(qū)物業(yè)為提高垃圾分類效率，優(yōu)先試行新措施，每天由部分物業(yè)員工協助垃圾分類工作，經統(tǒng)計，甲小區(qū)住戶每戶每天用于垃圾分類的時間減少了5分鐘．利用樣本估計總體，計算甲小區(qū)試行新措施之后，甲乙兩個小區(qū)的所有住戶近7天用于垃圾分類的總時間的平均值和方差．參考公式：若總體劃為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：；，總的樣本平均數為，樣本方差為，則．解：（1）由題意可知：，得：，，得，解，得或，因為，故.（2）設甲小區(qū)試行新措施之后，甲小區(qū)抽取的第戶家庭近7天用于垃圾分類的總時間為，則，則，，.21.如圖1，在等腰中，分別為的中點，過作于．如圖2，沿將翻折，連接得到四棱錐為中點．（1）證明：平面；（2）當時，求直線與平面所成的角的正弦值．解：（1）取線段中點為，連接，因為是線段中點，在△AOB中，，且，由題意知AO⊥BC，又DE⊥BC，AO、DE在面ACED內，則，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，因為平面，所以平面，同理平面，因為平面，所以，又DF//EG，所以，因為，是線段中點，所以，因為平面，所以平面.（2）直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，做平面于點，連接，取中點，連接，所以是在平面內的射影，所以是直線與平面所成的角，易知的面積為，因為平面，平面，所以平面平面，由題意，易知為等邊三角形，因為為中點，所以，又平面平面，平面，所以平面，則，即點到平面的距離為，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，，所以，所以中，，則，所以，則，因為，所以，所以，所以，故直線與平面所成的角的正弦值為.22.射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內四個點經過中心投影之后的投影點分別為．對于四個有序點，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作．（1）證明：；（2）已知，點為線段的中點，，求．解：（1）在、、、中，，所以，又在、中，，又在、中，，所以，又，，，，所以，所以.（2）由題意可得，所以，即，所以，又點為線段的中點，即，所以，又，則，，設，且，由，所以，即，解得①，在中，由正弦定理可得②，在中，由正弦定理可得③，且，②③得，即④，由①④解得，（負值舍去），即，，所以.山東省濟南市2022-2023學年高一下學期期末試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意得，在復平面上對應的點為，該點在第四象限.故選：D.2.《2023年五一出游數據報告》顯示，濟南憑借超強周邊吸引力，榮登“五一”最強周邊游“吸金力”前十名榜單．其中，濟南天下第一泉風景區(qū)接待游客100萬人次，濟南動物園接待游客30萬人次，千佛山景區(qū)接待游客20萬人次．現采用按比例分層抽樣的方法對三個景區(qū)的游客共抽取1500人進行濟南旅游滿意度的調研，則濟南天下第一泉風景區(qū)抽取游客（）A.1000人 B.300人 C.200人 D.100人〖答案〗A〖解析〗依題意濟南天下第一泉風景區(qū)應抽取游客（人）.故選：A.3.設為兩個平面，則的充要條件是（）A.過的一條垂線B.垂直于同一平面C.內有一條直線垂直于與的交線D.內有兩條相交直線分別與內兩條直線垂直〖答案〗A〖解析〗對于A，根據面面垂直的判斷定理，過的一條垂線，則，若，根據面面垂直的性質定理，則內垂直于交線的直線垂直于，故A正確；對于B，若垂直于同一平面，則可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，內有一條直線垂直于與的交線，如圖，，，但不垂直于，故C錯誤；對于D，如圖，，且與相交，，且與相交，，，但，故D錯誤.故選：A.4.袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，2個白球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則第二次摸到紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球，2個白球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，第二次摸到紅球的情況有兩種：①第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，概率為：，②第一次摸到白球，第二次摸到紅球，概率為：，則第二次摸到紅球的概率為．故選：C．5.已知的內角所對的邊分別為，則角的值為（）A. B. C.或 D.無解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可知，，所以，又，所以或.故選：C.6.如果三棱錐底面不是等邊三角形，側棱與底面所成的角都相等，平面，垂足為，則是的（）A.垂心 B.重心 C.內心 D.外心〖答案〗D〖解析〗如圖所示：因為平面，側棱與底面所成的角都相等，則故故是的外心.故選：D.7.已知銳角的內角，，所對的邊分別為，，，，，則的周長的取值范圍為（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因為，，由正弦定理，即，所以，，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，則，所以，因為，所以或（舍去），所以，所以，所以，即，所以，即的周長的取值范圍為.故選：C.8.在四棱錐中，底面，底面為正方形，．點分別為平面，平面和平面內的動點，點為棱上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗由題意得均最小時，平方和最小，過點分別作平面，平面，平面的垂線，垂足分別為，連接，因為面，平面，所以，因為底面為正方形，所以，又因為，平面，所以面，因為平面，則，又因為點在上，則點應在上，同理可證分別位于上，從而補出長方體，則是以為共點的長方體的對角線，則，則題目轉化為求的最小值，顯然當時，的最小值，因為四邊形為正方形，且，則，因為面，面，所以，所以，則直角三角形斜邊的高，此時，則的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復數，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，則，故A正確；，故C正確；，故B錯誤；，故D正確.故選：ACD.10.先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，則下列說法正確的是（）A.事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”相等B.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”互斥C.事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”互為對立事件D.事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立〖答案〗AD〖解析〗先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，樣本空間中共含有：正正、正反、反正、反反4個樣本點，事件“恰有一次正面向上”與事件“恰有一次反面向上”在每次隨機試驗中同時出現或同時不出現，故這兩個事件相等，A正確；事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”能同時發(fā)生，不是互斥事件，B錯誤；除事件“兩次正面向上”與事件“兩次反面向上”外還可能出現“一次正面，一次反面”，故這兩個事件不互為對立事件，C錯誤；先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，顯然第一次的結果不會影響第二次的結果，所以事件“第一次正面向上”與事件“第二次反面向上”相互獨立，D正確.故選：AD.11.某學校為了調查高一年級學生每天體育活動時間情況，隨機選取了100名學生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.平均數的估計值為30B.眾數的估計值為35C.第60百分位數估計值是32D.隨機選取這100名學生中有25名學生體育活動時間不低于40分鐘〖答案〗BD〖解析〗由頻率分布直方圖可知平均數的估計值為，A錯誤；由頻率分布直方圖可知的頻率最大，因此眾數的估計值為，B正確；由頻率分布直方圖得從第一組到第六組的頻率依次是，，，，，，所以第60百分位數估計值在內，所以，解得，C錯誤；隨機選取這100名學生中體育活動時間不低于40分鐘的人數為，D正確.故選：BD.12.如圖，已知三棱錐可繞在空間中任意旋轉，為等邊三角形，在平面內，，，，，則下列說法正確的是（）A.二面角為B.三棱錐的外接球表面積為C.點與點到平面的距離之和的最大值為D.點在平面內的射影為點，線段長的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，在中，，，，由余弦定理可得，即，即，因為，解得，取的中點，連接、，如下圖所示：因為為等邊三角形，為的中點，所以，，又因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，所以，二面角的平面角為，因為為的中點，所以，，故也是邊長為的等邊三角形，所以，，又因為，所以，，則，故二面角為，A對；對于B選項，設、的中心分別為點、，分別過點、作、，設，因為，，，、平面，所以，平面，因為，則平面，同理，平面，所以，為三棱錐的外接球球心，由等邊三角形的幾何性質可知，，同理，，因為，，，，所以，四邊形為正方形，且，又因為，因為，，則，則，所以，三棱錐的外接球半徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為，B對；對于C選項，設點在平面內的射影點為，連接，因，，則，故點、、、四點共面，因為，則，又因為，，、平面，則平面，又因為平面，故平面與平面重合，又因為，、，故，設，其中，又因為，則，所以，，，所以，點與點到平面的距離之和，因為，則，故當時，即當時，取最大值，C錯；對于D選項，，，由余弦定理可得，其中為銳角，且，因為，則，故當時，取得最大值，且，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一組數據1，2，4，5，8的第75百分位數為_________．〖答案〗〖解析〗因為，所以第百分位數為從小到大排列的第個數，即為.故〖答案〗為：.14.在正方體中，直線與直線夾角的余弦值為_________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，在正方體中，有，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為直線與直線夾角或其補角，設正方體棱長為，則，所以為等邊三角形，所以，故直線與直線夾角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.在圓中，已知弦，則的值為_________．〖答案〗2〖解析〗如圖，設圓心，為半徑，為弦，故在上的投影為，.故〖答案〗為：.16.已知的重心為，面積為1，且，則的最小值為_________．〖答案〗〖解析〗如圖：設，則，則，因的重心為，所以，，，設，，則，設，，此時，則時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知是兩個單位向量，夾角為，設．（1）求；（2）若，求的值．解：（1）因為是兩個單位向量，夾角為，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，.18.已知正三棱柱棱長均為，為的中點．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．解：（1）連接交于點，連接，則正三棱柱中是平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，平面，平面，所以平面.（2）過作，垂足為，由題意可得，，，所以，所以，所以的面積，因為正三棱柱中平面平面，又平面平面，平面，且，所以平面，即到平面的距離為，又的面積，所以，又，所以，解得，所以點到平面的距離為.19.獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統(tǒng)計學至關重要．它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當時被定義為彼此不相關的事件．19世紀初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．（1）若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；（2）甲、乙兩人參加數學節(jié)的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．解：（1）證明：已知事件與事件相互獨立，則，因為，且事件與事件互斥，所以，所以，由事件獨立性定義，與相互獨立.（2）設分別表示甲在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件，分別表示乙在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件，根據獨立性假定，得，設“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”，則，且與互斥，與，與分別相互獨立，所以，所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.20.某社區(qū)工作人員采用分層抽樣的方法分別在甲乙兩個小區(qū)各抽取了8戶家庭，統(tǒng)計了每戶家庭近7天用于垃圾分